2022-2023学年湖南省娄底市星台实验中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省娄底市星台实验中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】总的事件数是C83，而从正方体的8个顶点中任取3个顶点可形成的等腰直角三角形的个数按所选取的三个顶点是只能是来自于该正方体的同一个面．根据概率公式计算即可．【解答】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，所以共有4×6=24个，而在8个点中选3个点的有C83=56，所以所求概率为=故选：C【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．2.已知实数a，b，c，d成等差数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为（b，c），则a+d等于(

)A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值；数列与函数的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】先求导数，得到极大值点，从而求得b，c，再利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵曲线y=3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，令3﹣3x2=0，则x=±1，经检验，x=1是极大值点．极大值为2．∴b=1，c=2，b+c=3．又∵实数a，b，c，d成等差数列，由等比数列的性质可得：a+d=b+c=3．故选：D．【点评】本题主要考查求函数极值点及数列的性质的应用，考查计算能力．3.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若∥，且则；

②若∥，且∥.则∥；

③若，则∥m∥n；④若且n∥,则∥m.其中正确命题的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B①正确；②中当直线时，不成立；③中，还有可能相交一点，不成立；④正确，所以正确的有2个，选B.4.已知全集U=R，集合A={x|lg（x+1）≤0}，B={x|3x≤1}，则u（AlB）=

（

）

A．（,0）（0,+）

B．（0,+∞）

C．（-∞，-1]（0，+∞）

D．（-1,+∞）参考答案：C略5.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6. 一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为(

)A．

B．1

C．

D．

参考答案：7.已知,则下列不等式中总成立的是

A B

C.

D

参考答案：A略8.对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”充要条件；

②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“”是“”的充分条件；

④“”是“”的必要条件.

其中真命题的个数是(

).

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B9.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积S=π，高h==，故体积V==，故选：C．10.已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设的最大值是

.

参考答案：略12.若复数z＝(i为虚数单位)，则|z|=

．参考答案：；

13.若满足约束条件则的最小值为______________．参考答案：0略14.数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{}的11项和为_____.参考答案：-66.15.若，则__________．参考答案：16.公差不为0的等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=．参考答案：13【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差d≠0，由a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，可得2a1+2d=8，，联立解出即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．则a5=1+3×4=13．故答案为：13．17.若函数在区间上的最大值为4，则的值为_________.

参考答案：1或–1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设当时，函数的值域为，且当时，恒有，求实数k的取值范围．参考答案：令t=2，由x1，则t∈（0，2，则原函数y=t-2t+2=（t-1）+1∈[1，2]，即D=[1，2]，由题意：f（x）=x2+kx+54x，法1：则x2+（k-4）x+50当x∈D时恒成立

∴

k-2。法2：则在时恒成立，故19.（本小题满分15分）已知抛物线上一个纵坐标为的点到焦点的距离为．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)设点，过作直线分别交抛物线于点和点，直线的斜率分别为，且．写出线段的长关于的函数表达式，并求四边形面积的最小值．参考答案：(Ⅰ)．………5分(Ⅱ)，与抛物线联立可得，，，.……………10分设点到直线的距离分别为，．，．．同理可得，．

……………12分

设，在上单调递增，，当且仅当即时取等号．

四边形面积的最小值为．

……………15分20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且a，b，c成等比数列.是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为e.（Ⅰ）求e；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若点P不与椭圆顶点重合，作轴于M，的平分线交x轴于，试求的值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由，，成等比数列，所以解出（Ⅱ）把点代入椭圆即可得（Ⅲ）由题意可得点，所以.因为为的平分线，即，所以，所以。即可得【详解】（Ⅰ）因为，，成等比数列，所以.解得.又因为，所以.（Ⅱ）因为在椭圆上，所以.所以.因为，所以，所以.（Ⅲ）由题意可得点，所以.因为为的平分线，所以有，即.所以，所以.故.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率、椭圆第二定义、椭圆第二定义的应用，椭圆是高考中常考的题，计算量比较大，在计算时应仔细。21.(本题满分12分)设是函数的一个极值点.（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（Ⅱ）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，，由得单增区间为：；【知识点】导数的应用B12

由得单减区间为：、（Ⅱ）（0,3）（Ⅰ）∵

∴由题意得：，即，∴且令得，∵是函数的一个极值点∴，即故与的关系式（1）当时，，由得单增区间为：；由得单减区间为：、；（2）当时，，由得单增区间为：；由得单减区间为：、；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，在上的值域是，又g（x）=（a2+）ex，在x∈[0，4]上单调递增，

∴g（x）在x∈[0，4]上的值域为[a2+，(a2+)e4]．由于(a2+)-(a+6)=(a-)2≥0，

∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，

必需，解得0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．【思路点拨】（I）利用函数导数与极值的关系即可得出a与b的关系，对a分类讨论即可得出函数f（x）的单调性；

（II）利用单调性分别求出函数f（x），g（x）的值域，f（x）在[0，4]上的值域为[-2（a+3）e3，a+6]．g（x）在x∈[0，4]上的值域为[a2+，(a2+)e4]．由于(a2+)-(a+6)=(a-)2≥0。若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，

必需，解得0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．22.如图,中，，,（1）求证：平面EPB平面PBA；（2）求二面角的平面角正切值的大小．参考答案：解：（1），又，,又，面PAB，面PAB，

4分（2