设而不求法在三角形问题中的应用

设不法三形题的用“设而不求法”称“增设辅助未知量法”或“参法解题时通常设辅助元，再利用其与未知之间的制约关系，建立方程或数式，然后将未知数消去或代换解决问题，此法不仅泛运用于代数问题中，而且在何问题中也有应用，下面举例说设而不求法在解有关角形的几何问题中的应用．一、三角形角平线交角问题例求：三角形一内角平分线与另一外角平分线的交角等于第三角的一半解析如图1，在△中，、CE分是内角ABC和角∠ACD的平分线，它们交于点．设E＝，＝y，则＝－x，∠＝2(y－x)ACD2y，∴∠A＝ACD－∠ABC＝2y－2(y－x)＝2x＝∠，即∠＝

∠A．点评本通过设两个角的度数两个辅助元即几何问题转化为代数问题，体现了以数助形思想值得注意的是本题有两个姊妹题同样可以借助设不求的方法解决，请看图2、图3（解略二、等腰三角形的应用例2如，在△中，ABC＝110，＝AN．＝，求∠MNP的数．解析设∠A＝，则C＝70x，AMAN，CN，可知AMN和ACNP都1

是等腰三角形．知故而∠°点评初本题条件较少，且已知与未知之间的系并不明朗，但通过设＝x可立即得出其它相角的度数．使几何问题转化为于解决的代数式．例求：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．解析如图，在等腰ABC中AB＝ACBD上AC设∠Ax，则∠＝

180∴∠DBC°－

180x，即A＝∠DBC．点评本的关键是如何利用设参法来解决问题例如，在等ABC中AB＝ACAD＝，求证：∠BAD2EDC解析设∠EDC＝，C＝，则AED＝x＋．∵ABAC，＝，∴＝∠C＝，∠＝∠AEDx＋，∴ADC2x＋．故＝∠ADC－∠B＝＋y－＝2EDC点评在等腰角形的设而不求法中，往往通过顶角或底角的度数，利用三角形内角和定理解决问．本题设法与例类似，用两个未知数将几何问题转化为代数运算，起到了化繁为简的用．三、直角三角形的应用例如，在正方形ABCD中为BC的点为的四等分点连结AE，，EF，说明△AEF是角角形．解析设＝，则由为CD四分点，为BC点，可得BE＝EC，AB＝4x＝．在ABEeq\o\ac(△,Rt)，eq\o\ac(△,Rt)ADF中，勾股定理，得AE2AB2BE

＝20x2EF2＝CE2CF

＝2

，2AD2DF＝．2

故得AE＋2

＝AF2

，∴△是角三角形．点评本题涉勾股定理逆定理的运用，在求边关系时，通过设一线段的长，得出其他各线段长，在收到了“一通而百通”的解效果．例6如8已知△中AB＝6，AC9，AD⊥于，MAD上意一点，求MC2

－MB

的值．解析设＝，＝．∵AD⊥BC，在eq\o\ac(△,Rt)，eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理，得2

＝2

＋

，MB＝MD＋x2∴－MB＝

－

．同理，可知

＝AD

＋，AC＝AD＋DC，即＝AD2＋x

，81AD＋

．∴－MB＝

－

＝－＝．点评注意到题中的两对直角三角形有一公共角边用勾股定理将MC－MB2转化为CD－BD

，即y2

－

，通过设参、等变形、消元等体现方程思想的法，很好地解决了问题，得注意的是，本题通过设参转后最后求出的不是未知x，而是代数式y－的，是设而不求法中解几何题所常用的法．四、求面积例7已：直角角形中，周长为＋，边上的中线为，此直角三角的面积．解析如图9在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝°斜边上的中线CD．由直角三角形斜边上的中线等斜边的一半，知AB＝2．设＝bBC＝a，则a＋b＝

，3

＝＝问题转化为求的，注意勾股定理a＋＝4，利用完全平方式，得＝＋2ab，解得＝，∴

△ABC

ab．点评本如果根据习惯性思维，先求三角形的和高再求面积，则难以得解．于是改变思路求其整，即求底与高的积，巧妙地将何问题又一次转化为代数问题，助勾股定理和完全平公式，用设而不求法解决了这面积问题．波利亚在《怎样题》一书中指出了可能利用它，你是否应引入某个辅助元素？…如果问和某一图形有关，那么他应该张图并在上面标出未知数与已知据，如果对这些对象要给以名称，他应该引入适当符号．适当地注意选择符号，他会被迫考虑这些选择号的对象以数例表明，虽然