示范教案(2.2.1 向量加法运算及其几何意义)

2.2平面量线运三目通经历向量加法的探究,掌向量加法概念合物理学实际理解向量加法的意义能练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,能作出已知两向量的和向在应用动中,理解向量加法满足交换律和结合律表述两个运算律的几何意掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、起点向量、共终点向量.通本节内容的学习让学生认识事物之间的相互转化培养学生的数学应用意识会数学在生活中的作用.培学生类比、迁移、分类、归纳等能重难教学重点向量加法的运算及其何意教学难点对向量加法法则定义理教过导新思1.(习导入)上一节,们一起学习了向量的有关概念,确了向量的表示方,解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念并触了这些概念的辨析判断.外,量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运这一节,我们先学习向量的加.思2.(问导)年陆和台湾没有直,此春节探亲,先从台北到香再从香港到上海,这两次位移之和是什么样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活:北走20米,再向西走15米,再向东走5米最后向南走10米怎样计算他所在的位置此导入新课.推新新探提问①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加,猜想向量的加法应怎样定义向量的加法？②猜想向量加法的法则是什?与的运算法则有什么不同?图活:量是既有大小、又有方向的教师引导学生回顾物理中位移的概,位移可以合成,图某象从A点经B点到点两次位移BC的结,与A点直接到点的位移结相力也可以合成老师引导让学生共同探究如下的问:图表示橡皮条在两个力的作用,沿着的向伸长了；图2(2)示撤去F

1和F用一个力F作用在橡皮条上,使皮条沿着相同的方向伸长相同长.2改变力F与F的小和方向,复以上的实验,你能发现F与之的关系吗12力F对皮条产生的效果与力F与F共作用产生的效果相,理学中把力F叫F与1F的力2合力与、有样的关系呢由发现力F在以F、为边的平行四边122形的对角线上并且大小等于平四边形对角线的.数的加法启发我从运算的角度看F以认为是F与F的即位移、力的合成看作向量12的加法

图2

讨结:向量加法的定:如图3,知非零向量a,在平面内任取一点A,作

AB

=

=,向量

叫做与b的和,记作+b即+=

AB

+

=

图求两个向量和的运算,叫做向量的加法.②向量加法的法:向量加法的角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法运用这一法则时要特别注“首尾相”即第二个向量要以第一个向量的终点为起,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终的向量即为和向.0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模向量加法的平行四边形法则图如图4,以同一点O为点的两个已知向量、邻边作平行四边,以为起点的对角线

OC

就是b的和.我们把这种作两向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法力的合成可以看作向量加法的物理模.提问①对于零向量与任一向量的加结果又是怎样的呢？②两共线向量求和时,用三角形法则较为合.在数轴上表示两个向量,它们的加法与数的加法有什么关？③思考+a存着怎样的关系？④数的运算和运算律紧密联系,算律可以有效地简化运算.类似地向的加法是否也有运算律?活观实际例子,教师启发学生思考,并时点拨,诱,探向量的加法在特殊情况下的运算,线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合即对任意∈,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任向量a,b的法是否也满足交换律和结合?引学生画图进行探讨结:对于零向量与任一向量我们规定a=a=a.②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点在轴上的两个向量加它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线.③当b不线,+b|<|b|(三角形两边之和大于第三边;当b共线且方向相同时a|+|b|;当ab共且方向相反|aab|(或b|-|其中当向量a的度大于向量的长度时+b|=|a|-|b当量a的度小于向量的长度,a|=||.一般地我们+bab④如图5,作

AB

=a,

AD

=b以ABAD为邻边作

则

=

.因为

=

AB

+

AD

=+,

=

AD

+

=所以abb

如图6,因为

AD

=

+

=(

AB

+

)+

=(a+)+,AD

==

AB

+

BD

=

AB

+(

+

)=+(+c所a+bc=a+(+).综上所述向量的加法满足交换律和结合.图5

图应示思1例如7,知向量、b,作向量a+b活教师引导学生,学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向加法的作图中,生体会作法中在平面内任取一点O的依据—它体现了向量起点的意.在向量作图,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起放在一,用三角形法则作图则要求首尾相图

图

图解作法一:在平面内任取一点如图8),

=a,

AB

=则

OB

=+b作法二:在平面内任取一点O(如图作OA=b以OA、OB为边作变训

连则OC=ab.化简:

+

AB

;(2)

DB

+

+

;(3)

AB

+

+

+

+

活:据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相再运用向量加法的结合律调整运算顺,后相解

+

AB

=

AB

+

=

++BC=BC+CDDB=(BC+CDBDDB=.

AB

+

+

+

AB

+

+

+

+

FA=

+

+

+

FA

=

AD

+

+

FA

=

+

FA

=0.点:善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向例长两之间没有大桥的地常常通过轮渡进行运.图所示一艘船从长江南岸A出发,km/h速度向垂直于对岸的方向行,时江水的速度为向东km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速保留两有效数)(2)求船实际航行的速度的大小与(用与江水速度间的夹角表,确到度

图

图11活本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用这的问题在物理中已有涉及这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向与某一方向所成角的大小引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图从而与初中学过的解直角三角形建立联.解如图所,

AD

表示船速,

AB

表示水速以AD、AB邻边作

则

表示船实际航行的速(2)在△ABC中,

AB|=5,所以

|=|AB

2|2

2

2

29

≈5.4.因为tanCAB=

292

由计算器得CAB=70°.答船实际航行速度的大小约为方向与水的流速间的夹角为点:向量法解决物理问题的步骤先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问变训用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边.图12活本是一道平面几何题如用纯几何的方法去思考题不难解决,如用向量法来解,不思路清晰且运算简单将互相平分利用向量表达以为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.师引导学生探究怎样用向量法解决几何问并在解完后总结路方.证:如图设边形对角线AC、BD相于点O,

AB

=

+

OB

=

DO

+

OC

AC与BD互平,=,=DO,AB=,因此

AB

∥

且

AB

|,即四边形ABCD是行边.点证一个四边形是平行四边形时,需证明=DC

或

AD

=

即可而要证明一个四边形是梯需证明ABDC共线且

AB|≠|DC思2例如13,O为六边形ABCDEF中心作出下列向:

+

OC

;(2)

+

;(3)

+

活教师导学生由向量的平行四边形法则(三形法则)作出应的向量.师一定要让学生亲自动手操作对思路不清的学生教师适时地给予点拨指.图13解(1)因四边形OABC是OA、邻边的平行四边OB是对角线,故

OA

+

OC

=

OB

(2)因=故+与BC方向同长度为的度的,故

+

=

AD

(3)因

OD,故OA+=OA+OD=0.点:量的运算结合平面几何知,长度和方向两个方面做文章应深刻理解向量的加、减法的几何意义.例在江某渡口江水以12.5km/h的度向东流渡船的速度是km/h,渡要垂直地渡过长其航向应如何确定？活如图渡的实际速度AC、速与速AB应满足

AB

+

AD

=

图14解设

AB

表示水流速,

AD

表示渡船的速度,

表示渡船实际垂直过江的速以为一,AC为对角线作平行四边形

AD

就是船的速.在eq\o\ac(△,Rt)ACD中∠ACD=90°,|ABAD∠答渡船的航向为北偏西点:根据题意画出草,是解决问题的关.变训已知O是边形ABCD内点若

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=0则边形ABCD怎样的四边点是边形的什么

点活:判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关如平行、相等等;而要判断点O该四边形的什么就必须找到该点与四边形的边或对角线的关.图15解如图15设点O是一四边形ABCD内一且

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=0,A作AE连结ED,则四边形AEDO为行四边,设OEAD的点为M,过BBFOC,则四边形为行边形,设BC的交点为N,于是M、分是AD、BC的中点∵

OA

+

OB

+

OC

+

OD

OA

+

OD

=

OA

+

AE

=

OE

OB

+

OC

=

OB

+

BF

=

∴

OE

+

=0,即与OF的度相,方向相∴MON三共,即点在与BC的点连线上.同理,点O也与DC的中点连线.∴点是边形ABCD对中点连的交且该四边形可以是任意四知训课本本节练习.解直接在教科书上据原图作此处从略)直接在科书上据原