解析几何问题的解题技巧

解析几何问题的解题技巧中等数学解析几何问题的解题技巧薛党鹏( 陕西省西安中学 )(本讲适合高中)的处理问题,但是,的计算.,介绍解析几何中一些常见的解题技巧 .2(y1+y2)-2px.将A(a,b)、B(-a,0)分别代入MM1、MM2 的方程,得(y1-b)y0=by1-2pa 和y0y2=2pa.下面说明直线 M1M2恒过一个定点.联立这两式,消去y0,得(y1-b)2pa=(by1-2pa)y2.回避方程(组)求解灵活运用方程知识解析几何的繁杂运算主要集中在解方程、求交点等方面.如果我们能够充分挖掘几何曲线的代数含义 ,紧扣目标,灵活运用代数方程的知识 (包括消元思想、整体思想、函数思想、同解原理以及方程的轮换对称、韦达定理、判别式、实根分布等 ),回避这些运算,往往可以使问题得到简便解决.例1已知抛物线y=2px及定点2A(a,b)、B(-a,0)(ab≠0,b≠2pa).M是抛物线上的点,设直线AM、BM与抛物线的另一交点分别为M1、M2.求证:当M在抛物线上变动时(只要M1、M2存在且M1≠M2),直线M1M2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.(1998, 全国高中数学联赛 )分析:设M,y2p022整理成M1M2的方程的形式,得y1y2=b(y1+y2)-2pa.b故点Qa,满足M1M2的方程.b所以,直线M1M2恒过点Qa,.说明:此解法借助于轮换对称 ,简化了MM2和M1M2方程的求解过程.例2设一圆和一等轴双曲线交于四点A1、A2、A3、A4,其中A1和A2是圆的直径的一对端点.求证:(1)A3 和A4是双曲线直径的端点 ;双曲线在A3和A4处的切线都垂直于A1A2.(1998, 北京市高二数学竞赛 )y,y2pi2,Mi(i=1,2). 易得直线MM1的方程为y0y1=y(y0+y1)-2px.分析:设双曲线和圆的方程分别为 xy=22a 和x+y+2Dx+2Ey+F=0,交点坐标为(xi,yi),i=1,2,3,4. 这两个方程消去 y得x+2Dx+Fx+2aEx+a=0.4322①同理,直线MM2的方程为y0y2=y(y0+y2)-2px,则xi(i=1,2,3,4)是方程①的根.由韦达定理知,x1+x2+x3+x4=-2D.因为A1和A2是圆的直径的一对端点 ,且圆心的横坐标是 -D,所以,直线M1M2的方程为收稿日期:2002-11-122019 年第4期7x1+x2=-2D,x3+x4=0. 故y3+y4=ax+x=a=0.x3x434因此,该曲线族在直线 y=2x上截得的弦长的最大值l=(22+1)(x1-x2)2=8 于是,A3A4的中点是(0,0).从而,A3和A4是双曲线直径的端点 .A3 处双曲线的切线方程为 x3y+x=2a, 其斜率k=-2.x3x3--,A1A2=2-x12说明:,|2, 进.灵活运用曲线知识解析几何不仅仅是运用代数方法研究几何,更是“数”与“形”的统一、代数与几何的结合.因此,充分挖掘图形的几何结论,灵活运用曲线本身的知识(曲线的定义、性质以及焦半径、曲线系等),也会大大简化解题过程.例4 给定A(-2,2), 已知B是椭圆2又22,3=-x4 和韦达定理知 x1x2x3x1x2x3x4=a,2得kkA1A2=-1,即过

A3的双曲线切线垂直于

A1A2.同理可证

,过

A4的双曲线切线亦垂直于

A1A2.说明:韦达定理对研究直线与曲线、曲线与曲线之间的位置关系有着重要的作用

.例

3给定曲线族22(2sin

θ-cosθ+3)x-(8sin

θ+cosθ+1)y=0,

θ为参数.试求该曲线族在直线

y=2x

上所截得的弦长的最大值 .(1995, 全国高中数学联赛 )分析:把y=2x代入给定曲线族方程得22(2sin

θ-cosθ+3)x-(8sin

θ+cosθ+1)2x=0.解得x1=0,x2=.2sinθ-cosθ+3要使截得的弦最长,就必须使x2的绝对值最大.为了利用正、余弦函数的有界性,将上式变为(2x2- 8)sinθ-(x2+1)cosθ=1-3x2,22得(2x2-8)+(x2+1)sin(θ+φ)25++216=1 上的动点,F是左焦点.当|AB||BF| 取最小值时,求点B的坐标.3(1999, 全国高中数学联赛 )分析:因为椭圆的离心率 e=|AB|+所以,5|BF|=|AB|+|BF|.3e而e为动点B到左准线的距离.故本=1-3x2.因为|sin( θ+φ)|≤1,所以,2x2- 30x2+65≥|1-3x2|.题转化为:在椭圆上求一点 B,使得它到点 A和左准线的距离之和最小 .设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a

、b、c,

则a=5,b=4,c=3,e=,

左准线5l:x=-.3作BN⊥l于点N,AM⊥l于点M.由椭圆定义,有|BN|==|BF|,于是,e3|AB|+|BF|=|AB|+|BN|3≥|AN|≥|AM|为定值,当且仅当B是AM与椭圆的交点即 B-,2时等号成立.2故-8≤x2≤2.中等数学所以,当|AB|+点的坐标为-2|BF| 取最小值时,B3到运算量.从直线和圆锥曲线方程的多种形式中,结合题设特征以及所求目标,选用恰当的形式,也是简化解析几何运算的一种有效途径.例6AC平分CDAC交于FG.求证:∠GAC=(1999,全国高中数学联赛)分析:建立坐标系的方式很多角坐标系,其计算量要小一些 .

,但是以

AC所在直线为

x轴,点

A为坐标原点建立平面直证明:建立如图

2所示的直角坐标系

.设A(0,0),C(c,0),D(d,kd),B(b,-kb),

其中

k,2.说明:在研究二次曲线时 ,切勿忽视第一定义和第二定义的作用 .例4就是在深刻认识解题目标的基础之上 ,灵活运用椭圆的第二定义与平面几何结论获解的 .例5 如图1,已2知点P在圆x+2-4)=,Q 在椭圆9y=12上移动.试求|PQ|的最大值.(1994, 四川省高中数学竞赛 )图1分析:先让点Q在椭圆上固定,显然当PQ 通过圆心O1时,|PQ|最大.因此,要求图2|PQ| 的最大值,只要求|O1Q|的最大值.为直线AD的斜率.再设F(f,0), 则lCDlBF(x-c),(x-f).= ?=-?yd-cyb-f设Q(x,y),则222|O1Q|=x+(y-4).①2因Q在椭圆上,故x=9(1-y).2229+y=1, 即②将式②代入式①得 ,222|O1Q|=9(1-y)+(y-4)=-8y-8y+25=-8y+222+27.因为点Q在椭圆上移动,所以,-1≤y≤1.故当y=-时,2|O1Q|max=3,|PQ|max=3+1.说明:涉及到圆的解析几何问题 ,常需要灵活运用圆的有关性质 .3 建立适当坐标平面 选择正确方程形式坐标系的建立是应用解析法的前提和基础.坐标系的选择(直角坐标系、极坐标系、复平面)与建立(坐标系的定位),都将直接影响从而,E点坐标为,,2bd-df-bc2bd-df- 故kAE=(.bdc+f)-cf(b+d)同理,将b、d互换,k变为-k,可得kAG=.bd(c+f)-cf(b+d) 所以,∠GAC=∠EAC.说明:此题将角相等转化为斜率相等或互为相反数.结合题设中各几何量的关系,建立以AC所在直线为x轴、A为原点的直角坐标系,充分利用对称性,大大减少计算量.例7 设O为抛物线的顶点 ,F为焦点,且PQ为过F的弦.已知|OF|=a,|PQ|=b. 求△OPQ的面积.(1991, 全国高中数学联赛 )分析1:求△ABC的面积,常用的公式有 S=aha或S=absinC.若用前者求222019 年第4期90. 于是,y2=-(y1+y3). 将此式代入式①可得 2pq+y1y3(y1+y3)=0.)已知:(1)半圆的直径AB长为2r;半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足2△OPQ的面积,关键是求点O到PQ的距离,这需要建立直角坐标系,求出弦PQ所在直线的方程,较复杂;若用后者,可以通过建立极坐标系来解决,非常简单.以F为极点,射线FO的反向延长线为极轴建立极坐标系 .则抛物线的方程为=.1- cosθ),则Q(ρ,设P(ρ,P,Q|PQ|=Q==2,+θ)sinθ1-1-cos(即2=b.解得sinθ=2sinθ.bab.为T,AT2a2a3)N,l|||==1.|AM||AN|:|AM|+|AN|=|AB|.(1984, 全国高中数学联赛 )( 提示:以A为极点,AB为极轴建立极坐标系 .θ则半圆的方程为进而可证得结论.)

ρ=2rcos

θ.设

M(ρN(ρM,1)、N,θ2),

可求得

cosθ1+cosθ2=1.平面上给定△A1A2A3和另一点P,定义Aj=Aj+3.作点列P1,P2,⋯,Pn,⋯,使得Pj+1为Pj绕中故S△OPQ=absinθ=a2心Aj+1顺时针旋转120°时所达到的位置(j=0,1,2,).若P1986=P0,求证:△A1A2A3为等边三角形.⋯( 第26届IMO)( 提示:涉及到向量旋转 ,用复数方法.)4. 设双曲线xy=1的两支为C1、C2,正△PQR分析2:建立直角坐标系,使得抛物线有2标准方程y=4ax.将直线PQ的参数方程x=a+tcosθ,代入抛物线方程,得y=tsinθ222tsinθ-4atcosθ-4a=0.有b=|PQ|=|t1-t2|= 故sinθ=2从而,S△OPQ=.b的3个顶点位于此双曲线上.(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;(2)设P(-1,-1)在C2上,Q、R在C1上.求顶.2sin θ点Q、R的坐标.(1997, 全国高中数学联赛 )( 提示:(1)抓住等边三角形的三边中垂线都过absin θ=a2ab.三角形的中心,运用反证法可以推出矛盾 ;(2)注意到点P与坐标原点连线的倾斜角为45°,于是,PQ 、PR 的倾斜角都可求得 (或由P、Q的对称性求解).说明:此题若用直角坐标系和普通方程求解,运算量很大,读者不妨比较一下 .另外,例3若用极坐标求解,运算量也会大大减少.(2+,2-),(2-,2+).)5.设A、B、C、D是一条直线上依次排列的4个练习题求证:若抛物线y=2px的内接△A1A2A3的2不同的点,分别以AC、BD为直径的两圆相交于 X和Y, 直线XY交BC于Z.若P为直线XY上异于Z的两边所在直线A1A2与A2A3都和抛物线x2=2qy相切,则第三边所在直线A1A3也和该抛物线相切.( 提示:设Ai的坐标为,y2pi222一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于 C和M,直线BP与以BD为直径的圆相交于 B和N.试证: