北师大九下数学何时获得最大利润导学案

何时获得最大利润学习目标、重点、难点【学习目标】体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。【重点难点】1.应用二次函数解决实际问题中的最值。2.能正确理解题意，找准数量关系。知识概览图新课导引【生活链接】某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是元．根据市场调查，月销售量与销售单价之间满足如下关系：在―段时间内，单价是元时，月销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．【问题探究】请你帮助分析一下，当销售单价是多少时，获利最多?教材精华知识点1二次函数的最值在实际问题中的应用求实际问题中二次函数的最值时，一般是求二次函数的条件最值，这就要求在列函数解析式的同时，应求出自变量x的取值范围．下面我们来研究“生活链接”中的实际问题．设销售单价为x(0＜x≤元，则：月销售量为500＋200－x)＝3200－200x，销售额为x(3200－200x)=3200x－200x2，所获利润为(x－(3200－200x)＝－200x2＋3700x－8000．当销售单价是元时(x＝－)，可以获得最大利润，最大利润是元(y＝)．拓展函数应用题主要考查学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力，把实际问题转化成“函数模型”是解决实际应用问题的关键．知识点2求二次函数最值的方法对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当自变量x为全体实数时，求它的最大值和最小值常用的方法有三种．(1)配方法．y=ax2＋bx＋c=a(x2＋x＋)=a=a若a＞0，则当x＝－时，y最小值=;若a＜0，则当x＝－时，y最大值=．(2)公式法．直接使用上述由配方法得到的结论．(3)判别式法．在y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，把y看做已知数，得到关于x的一元二次方程ax2＋bx＋(c－y)＝0．若x是任意实数，则应有△=b2－4a(c－y)≥0，∴4ay≥4ac－b当a＞0时，y≥，此时y最小值=；当a＜0时，y≤，此时y最大值=．若需要求出x的值，则将y＝代入ax2＋bx＋(c－y)＝0，就可以求出x的值．例如：求二次函数y=x2＋3x＋的最小值．解法1：(公式法)∵a＝＞0,∴当x=－＝－＝－3时，y最小值===－4．解法2：(配方法)∵y＝x2＋3x＋=(x2＋6x＋1)=(x2＋6x＋9－9＋1)=[(x＋3)2－8]=(x＋3)2－4，当x=－3时，y有最小值－4．解法3：(判别式法)∵y=x2＋3x＋，∴x2＋6x＋(1－2y)=0．∴x是任意实数，∴△＝36－4(1－2y)≥0，∴y≥－4，即y有最小值－4．此时x2＋6x＋9=0，即x＝－3．┃规律方法小结┃在求二次函数的最值时，要注意比较利用哪种方法求解更简捷．在解题过程中，通过类比的方法，学会一题多解，选准问题的突破口，寻求最合理的解题方法．求实际问题中的二次函数最值问题时，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按二次函数最值的求法求解．步骤如下：①利用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式；②把关系式转化为二次函数的解析式；③求二次函数的最大值或最小值．课堂检测基础知识应用题1、求二次函数y＝x2－2x－3的最大值或最小值．2、求函数y＝2x2－3x－2的最大值或最小值．3、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元，这种篮球每月的销售量是个；(用含x的代数式表示)(2)判断8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润．如果是，请说明理由；如果不是，求出最大利润，此时篮球的销售单价为多少元?综合应用题4、某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元．设每套设备的月租金为x(元)，租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入一支出费用)为y(元)．(1)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出的设备数(套)的支出费用；(2)求y与x之间的函数关系式；(3)当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该出租多少套机械设备?请简要说明理由；(4)请把(2)中所求的二次函数配方成y=a＋的形式，并据此说明，当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?探索与创新题5、某通讯器材公司销售一种市场需求量较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图2－84所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式；(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)与销售单价x(元)的函数关系式(年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支)．当销售单价x为何值时，年获利最大?并求这个最大值；(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，试画出函数图象，并帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元?6、A，B两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图2－86所示，A调查表明：每个甲鱼池平均年产量由第1年的l万只甲鱼上升到第6年的2万只；B调查表明：甲鱼池个数由第1年的30个减少到第6年的10个．(1)求第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了?请说明理由；(3)哪一年的规模最大?请说明理由．体验中考1、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大?每星期的最大利润是多少?2、随着南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图2－88所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2－89所示．(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、┃分析┃求最值的方法很多，根据需要灵活选用．解法1：由a＝1＞0，知抛物线开口向上，∴当x=－＝=1时，y最小值＝＝＝－4．解法2：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∵a＞0，∴当x＝1时，y最小值=－4．【解题策略】求二次函数的最值时，应根据具体情况选用恰当的方法．在本例中，解法1应用了公式法，而解法2应用了配方法．2、┃分析┃本题可以用判别式法来解．解：把函数y＝2x2－3x－2变形为2x2－3x－(2＋y)＝0．∵x为任意实数，∴△=b2－4ac≥0，即(－3)2＋4×2×(y＋2)≥解得y≥－，∴函数y=2x2－3x－2的最小值为－．【解题策略】用判别式法求二次函数的最大值或最小值，有时比公式法和配方法更简捷．3、┃分析┃明确题目中的数量关系是解题的关键．解：(1)(10＋x)(500－l0x)．(2)设月销售利润为y元，由题意得y=(10＋x)(500－l0x)，整理得y=－l0(x－20)2＋9000．当x＝20时，y的最大值为9000，20＋50＝70．答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的销售单价为70元．【解题策略】月销售利润＝每个篮球的销售利润×每月篮球的销售量，明确这一关系是解此题的关键．4、┃分析┃解决此题的关键是求函数关系式，难点是第(3)问，第(4)问计算比较复杂．解：(1)未租出的设备为套，所有未租出的设备的支出费用为(2x－540)元．(2)y=(40－)x－(2x－540)=x2＋65x＋540．即y与x之间的函数关系式为y=x2＋65x＋540．(3)当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出37套机械设备；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出32套设备．因为出租37套和32套机械设备获得同样的收益，如果考虑减少机械设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套．(4)y＝x2＋65x＋540=(x2－2×325x＋3252)＋540＋×3252=(x－325)2＋，∴当x＝325时，y有最大值．但是，当月租金为325元时，租出机械设备套数为，而不是整数，故租出设备应为34(套)或35(套)．即当月租金为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．【解题策略】认真审题、全面考虑、准确计算．5、┃分析┃(1)一次函数解析式易求得．(2)销售额等于销售单价乘以销售量．(3)结合图象说明．解：(1)设y＝kx＋b，由图象知一次函数图象过点(60，5)，(80，4)，∴解得＋8．(2)z=yx－40y－120=(－x＋8)(x－40)－120=x2＋10x－440=(x－100)2＋60，∴当x＝100时，即销售单价为100元时，年获利最大，最大值为60万元．(3)令z=40，得40=x2＋10x－440，即x2－200x＋9600=0，解得xl=80，x2＝120．画出图象如图2－85所示，由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．【解题策略】认真观察图象获取有用信息．能够在阅读文字，观察图形的基础上，把实际问题抽象为数学问题，根据图象求点的坐标，利用待定系数法求解析式，再列出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题．6、┃分析┃(1)由图象可知，第2年的甲鱼池个数为26，每个甲鱼池平均年产量为万只，出产甲鱼总数为×26=(万只)．(2)规模缩小了，因为第1年出产甲鱼30×l=30(万只)，第6年出产甲鱼2×10=20(万只)．(3)列出yA，yB，总产值是yA·yB，求其最大值即可．解：(1)由图2－86(2)知，第2年甲鱼池个数为26，由图2－86(1)知，第2年每个甲鱼池平均年产量为万只，∴全县出产甲鱼的总数为×26＝(万只)．(2)规模缩小了．因为第一年出产甲鱼30×1＝30(万只)，而第6年出产甲鱼2×10＝20(万只)．(3)由图2－86(1)知，直线yA=kx＋b经过点(1，1)和点(6，2)，将这两点坐标代入，得解得∴yA=＋．同理，由图2－86(2)得yB＝－4x＋34．设第x年规模最大，则yA·yB=＋·(－4x＋34)＝－＋＋．∵a=－＜0，∴当x=－=－＝≈2时，yA·yB有最大值，且最大值是．即第2年规模最大，出产甲鱼万只．【解题策略】此题把图象信息、阅读理解、探索性问题巧妙地综合在一起，要求学生在读懂文字、图形的基础上，把实际问题转化为数学问题，根据图象求点的坐标，利用待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求最大值．体验中考1、┃分析┃本题考查二次函数的最值在实际问题中的应用．解：(1)y＝150－10x，0≤x≤5，且x为整数．(2)W＝(10＋x)(150－10x)＝－10(x－2＋，当x＝2或3时，W取最大值．当x=2时，y＝130，当x＝3时，y=120．因此，为使利润最大且销量较大，应定价为42元，此时最大利润为1560元．2、┃分析┃本题考查利用二次函数解决实际问题中的最大利润问题．解：(1)设y1＝kx，y2=ax2，由图可知2=k·1，2=a·22，解得k＝2，a=.∴y1＝2