高中数学三角函数公式大全

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐高中数学三角函数公式大全第一部分集合

1．明白集合中元素的意义．．．．．是解决集合咨询题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？依然因变量的取值？依然曲线上的点？…；2．数形结合．．．．是解集合咨询题的常用办法：解题时要尽量地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数咨询题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想办法解决；3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2；

（2）;BBAABABA=?=??YI注意：讨论的时候别要遗忘了φ=A的事情。

4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数

1．映射：注意①第一具集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。2．函数值域的求法：①分析法；②配办法；③判不式法；④利用函数单调性；

⑤换元法；⑥利用均值别等式

2

2

2

2babaab+≤

+≤；⑦利用数形结合或几何意义（歪率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x

a、xsin、xcos等）

；⑨导数法3．复合函数的有关咨询题（1）复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由别等式

a≤g(x)≤b解出

②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([xgfy=分解为基本函数：内函数)(xgu=与外函数)(ufy=；

②分不研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③依照“同性则增，异性则减”来推断原函数在其定义域内的单调性。4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等咨询题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域对于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．；⑵)(xf是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(xf是偶函数?f(－x)=f(x)⑶奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(=f；

⑷在对于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再推断其奇偶性；6．函数的单调性⑴单调性的定义：

①)(xf在区间M上是增函数,,21Mxx∈??当21xx；

⑵单调性的判定

①定义法：普通要将式子)()(21xfxf-化为几个因式作积或作商的形式，以利于推断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。注：证明单调性要紧用定义法和导数法。7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf=+（其中T为非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一具周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特殊讲明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期

①π2:sin==Txy；②π2:cos==Txy；③π==Txy:tan；

④|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=+=+=TxAyxAy；

⑤|

|:tanωπω=

=Txy；(3)与周期有关的结论

)()(axfaxf-=+或)0)(()2(>=-axfaxf?)(xf的周期

为a2；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：α

xy=（)R∈α；⑵指数函数：)1,0(≠>=aaayx

；

⑶对数函数:)1,0(log≠>=aaxya；⑷正弦函数:xysin=；

⑸余弦函数：xycos=；（6）正切函数：xytan=；⑺一元二次函数：

02=++cbxax；

⑻其它常用函数：

①正比例函数：)0(≠=kkxy；②反比例函数：)0(≠=

kx

k

y；③函数)0(>+

=ax

a

xy；9．二次函数：⑴解析式：

①普通式：cbxaxxf++=2)(；②顶点式：khxaxf+-=2

)()(，

),(kh为顶点；

③零点式：))(()(21xxxxaxf--=。

⑵二次函数咨询题解决需思考的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判不式；⑥两根符号。

二次函数cbxaxy++=2

的图象的对称轴方程是a

b

x2-=，顶点坐标是

???

???--abacab4422，。10．函数图象：⑴图象作法：①描点法（特殊注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：

①平移变换：ⅰ))()(axfyxfy±=→=，)0(>a———左“+”右

“－”；

ⅱ))0(,)()(>±=→=kkxfyxfy———上“+”下“－”；②对

称

变

换

：ⅰ

)

(xfy=??→

?)0,0()

(xfy--=；

ⅱ)(xfy=?→?=0

y)(xfy-=；

ⅲ

)

(xfy=?→

?=0x)

(xfy-=；

ⅳ)(xfy=??→

?=x

y()xfy=；③翻转变换：

ⅰ)|)(|)(xfyxfy=→=———右别动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；

ⅱ)|)(|)(xfyxfy=→=———上别动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数)(xfy=图像的对称性，即证明图像上任意点对于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数)(xfy=与)(xgy=图象的对称性，即证明)(xfy=图象上任意点对于对称中心（对称轴）的对称点在)(xgy=的图象上，反之亦然；

注：①曲线C1:f(x,y)=0对于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;

②曲线C1:f(x,y)=0对于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0对于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,－y)=0;曲线C1:f(x,y)=0对于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0③f(a+x)=f(b－x)（x∈R）→y=f(x)图像对于直线x=

2

b

a+对称；特殊地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）→y=f(x)图像对于直线x=a对称；

12．函数零点的求法：

⑴直截了当法（求0)(=xf的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满脚f(a)f(b)'是增函数；②)(0)(xfxf?>ωA

周期：

π

2=

T频率：f1=

11。几个公式:

⑴三角形面积公式：11

sin22

ABCSahabC?=

=；⑵内切圆半径r=c

baSABC++?2；外接圆直径2R=

;sinsinsinC

c

BbAa==第四部分立体几何

1．三视图与直观图：

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=rhπ2；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rlπ；③体积：V=

3

1S底

h：

⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=lrr)('

+π;③体积：V=

3

1

（S+''SSS+）h；⑷球体：①表面积：S=2

4Rπ；②体积：V=3

3

4Rπ。

3．位置关系的证明（要紧办法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行

的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同向来线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:

cos|cos,|

abθ=rr

⑵直线与平面所成的角：

①直截了当法（利用线面角定义）；②用向量法:

sin|cos,|

ABnθ=uuurr

5.求距离：（步骤Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）点到平面的距离：①等体积法；②向量法：|

|nd=

。

6．结论：

⑴长方体从一具顶点动身的三条棱长分不为a，b，c

，则对角线长为

2ab+2bc+2ca，体积V=abc。

⑵正方体的棱长为a

，全面积为6a2，体积V=a3。

⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。⑷正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：①高：ah36=

；②对棱间距离：a22；③内切球半径：a12

6；④外接球半径：

a4

6

。第五部分直线与圆

1．直线方程

⑴点歪式：)(οοxxkyy-=-；⑵歪截式：bkxy+=；⑶截距式：

1=+b

y

ax；⑷两点式：

1

21

121xxxxyyyy--=--；⑸普通式：0=++CByAx，（A，

B别全为0）。

2．求解线性规划咨询题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

3．两条直线的位置关系：

直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注

2

22111::bxkylbxkyl+=+=21,21bbkk≠=121-=?kk2

1,ll有歪率

已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。4．几个公式⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（3

,3321321yyyxxx++++）；

⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：2

200BACByAxd+++=；

⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是2221BACCd+-=；

5．圆的方程：

⑴标准方程：①2

2

2

)()(rbyax=-+-；②2

2

2

ryx=+。⑵普通方程：02

2

=++++FEyDxyx（)042

2

>-+FED注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D2+E2

－4AF>0；

6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。7．点、直线与圆的位置关系：（要紧掌握几何法）⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）①?=Rd点在圆上；②?Rd点在圆

外。

⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①?=Rd相切；②?Rd相离。⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR>）①?+>rRd相离；②?+=rRd外切；③?+=+；

⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF0,b>0）的渐近线：02222

=-b

yax；②共渐进线xaby±=的双曲线标准方程为λλ(22

22=-b

yax为参数，λ≠0）

；③双曲线为等轴双曲线??=2e渐近线为xy±=?渐近线互

相垂直；

⑸焦点三角形咨询题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3．直线与圆锥曲线咨询题解法：⑴直截了当法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下咨询题：

①联立的对于“x”依然对于“y”的一元二次方程？②直线歪率别存在时思考了吗？③判不式验证了吗？⑵设而别求（代点相减法）：处理弦中点咨询题步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得ΛΛ=--=

2

12

1xxyykAB；

③解决咨询题。

4．求轨迹的常用办法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直截了当法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分平面向量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①a∥b(b≠0)?a=λb（)R∈λ?x1y2－x2y1=0；

②a⊥b(a、b≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；

注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；①a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。⑶cos=

|

|||bab

a?；

⑷三点共线的充要条件：P，A，B

三点共线

?xy1OPxOAyOB=++=uuuruuuruuur

且；

（

理

科

）

P

，

A

，

B

，

C

四

点

共

面

?,xyz1OPxOAyOBzOC=++++=uuuruuuruuuruuur

且。

第八部分数列

1．定义：⑴等差数列

*),2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn∈≥+=?=-?-++为常数）｝｛BnAnsbknann+=?+=?2；

⑵等比数列

N)n2,(n)0(}1n1-n2

n1nn∈≥?=?≠=?

++aaaqqaaan

｛

2．等差、等比数列性质

等差数列等比数列通

项

公

式

dnaan)1(1-+=

11-=nnqaa

前

n

项

和

dnnnaaanSnn2)1(2)(11-+=+=

q

qaaq

qaSqnaSqnnnn--=--=

≠==11)1(1.2;1.11

11时，时，

性质①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq

③

Λ

,,,232kkkkkSSSSS--成AP

③Λ,,,232kkkkkSSSSS--成GP

④Λ,,,2mkmkkaaa++成AP,mdd='④Λ,,,2mkmkkaaa++成

GP,m

qq='

3．数列通项的求法：

⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（nnncaa=-+1型）；⑶

公式法：

⑷累乘法（nn

ncaa=+1型）；⑸构造法（bkaann+=+1型）；⑺间接法（例如：41

141

11=-?

=nnnnnnaaaaaa）；⑻（理科）

数学归纳法。

4．前n项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。5．等差数列前n项和最值的求法：

⑴???

??

????≥≤???≤≥++000011nnnnaaaa或；⑵利用二次函数的图象与性质。第九部分别等式

1．均值别等式：2

2

2

2bab

aa

b+≤

+≤注意：①一正二定三相等；②变形，2

)2(2

22babaab+≤

+≤。2．绝对值别等式：||||||||||||b