2022-2023学年高二数学上学期期中期末高效复习课3第四章数列新（定义文化）高观点必刷必过题Word版含解析

3第四章数列新（定义，文化）高观点必刷必过题一、单选题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（）A．壬寅B．壬卯C．癸寅D．癸卯【答案】D【详解】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1933年到2023年经过90年，且1933年为癸酉，以1933年的天干和地支分别为首项，又，则2023年的天干是癸又，则2023年的地支是卯所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯故选：D2．（2022·江苏南通·高二期中）我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，他是第一个利用数学使音乐公式化的人·十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，从第二个半音开始每一个半音与前一个半音的频率之比为同一个常数，如下表所示，其中，，…，表示这些半音的频率，若半音G与的频率之比为，则与A的频率之比为（）频率半音CDEFGABC(八度)A．B．C．2D．【答案】B【详解】由题可知：，又第二个半音开始每一个半音与前一个半音的频率之比为同一个常数，所以为等比数列，且，所以，所以．故选：B3．（2022·江西·南昌二中高三阶段练习（理））1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行的第31个数是（）A．470B．472C．474D．476【答案】B【详解】利用图中“正方形筛子”给出的信息，第1列是首项为4公差为3的等差数列，第i行是公差为2i+1的等差数列，第7行的第1个数是，第7行是首项为22公差为15的等差数列，所以第7行的第31个数是．故选：B4．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（）A．555B．101C．505D．1010【答案】C【详解】由题意得：，故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为.故选：C5．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））定义：（）为个正数，，…，的“均倒数”.若数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，即，当时，又因为，满足上式，所以.故选：C.6．（2022·宁夏·银川二中高二期中（文））历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（）A．72B．71C．73D．74【答案】A【详解】由题意得，数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，且每周期的6项之和为8，前54项共有9个周期.所以.故选：A.7．（2022·浙江衢州·高三阶段练习）衢州市某中学开展做数学题猜密码益智活动.已知数列的通项，，数列的通项，现将数列和中所有的项混在一起，按照从小到大的顺序排成数列，若满足成立的的最小值为，若该中学密码为计算结果小数点的后6位，则该中学的WiFi的密码为（）A．461538B．255815C．037036D．255813【答案】D【详解】由题意，数列的通项，可得数列由数字，数列的通项，可得数列由数字，当时，，此时数列为，此时；当时，，此时数列为，此时；当时，，此时数列前38项中有的前32项和数列的前6项构成，此时，此时，经验证：，此时，不符合题意，当，此时首次满足，即，又由，所以该中学的的密码为255813.故选：D.8．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（）A．63里B．126里C．192里D．228里【答案】C【详解】由已知，设等比数列首项为，前n项和为，公比为,，则，等比数列首项.故选：C.9．（2022·上海·高二专题练习）已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量与夹角的正切值，则数列{bn}是（）A．单调递增数列且bn＝B．单调递减数列且bn＝C．单调递增数列且bn＝3D．单调递减数列且bn＝3【答案】B【详解】设，，，则，，所以，所以，所以数列是单调递减数列且．故选：B．10．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（）A．387B．388C．389D．390【答案】A【详解】∵数列满足，∴，，，，，，∵在任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，∴其中，之间插入2个3，，之间插入4个3，，之间插入8个3，，之间插入16个3，，之间插入32个3，，之间插入64个3，又，，∴数列的前70项含有前6项和64个3，故．故选：A.11．（2022·上海师大附中高二期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则下列正确的是（）.B．C．D．【答案】D【详解】由题意得，，，，…，，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，故A错误；则，，，，，，得，故B错误；又，故C错误；由，得，故D正确.故选：D.12．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）以意大利数学家莱昂纳多•斐波那契命名的数列满足：，，设其前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】，，…….故选：B二、多选题13．（2022·山西·高三期中）对于正整数，是不大于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：.则（）A．B．数列为等比数列C．数列不单调D．【答案】BC【详解】不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，则数列为2为首项,3为公比的等比数列，故B正确；因为，，所以，故数列不单调递增.又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有（个），所以，故D错误.故选：BC.14．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列满足.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列，记的前项和为，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，被3除后的余数构成一个新数列，数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可得数列是以8为周期的周期数列，故，A正确；且，故，B正确；，C正确；则的前2022项和为，D错误.故选：ABC15．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：、、、、、、、、、、，其前项和为，则下列说法正确的有（）（参考公式：）A．B．第一次出现是C．在中出现了次D．【答案】ACD【详解】对于A，，且，故在第行第个，则，A对；对于B，因为第行最后一个数为，该数为奇数，由，可得，所以，第一次是出现在第行倒数第个，因为，即第一次出现是，B错；对于C，因为第一次是出现在第行倒数第个，在第行至第行，在每行中各出现一次，故在中出现了次，C对；对于D选项，设第行的数字之和为，则，故，D对.故选：ACD.16．（2022·江苏泰州·高三期中）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，下列说法正确的是（）A．第个正方形面积为.B．.C．使得不等式成立的的最大值为.D．数列的前项和对任意恒成立.【答案】BCD【详解】根据题意，，且，故，即，又，故可得，由题可知，故数列是首项为，公比为的等比数列，则，，即第三个正方形的面积为，故A错误，B正确；对C：因为，，故数列是首项为，公比为的等比数列，其为单调减数列，，又，故不等式成立的的最大值为，正确；对：因为，对任意恒成立，正确.故选：.17．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）将各项均为正数的数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数，，，，…构成数列，各行的最后一个数，，，，…构成数列，第行所有数的和为．已知数列是公差为的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，且，，．则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】由已知第行有个数，各行的最后一个数，，，，…构成数列，所以，，，，由此可得，所以，B对，又，，，，，由此可得，因为数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以，，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，所以，，由已知可得，，所以，，所以，A正确，由已知，所以，C错误，所以，D对，故选：ABD.三、填空题18．（2022·福建三明·高二阶段练习）定义各项为正数的数列的“美数”为.若各项为正数的数列的“美数”为，且，则______.【答案】【详解】因为各项为正数的数列的“美数”为，所以.设数列的前项和为，则，所以.当时，，所以，满足式子，所以.又，所以，所以.故答案为：.19．（2022·上海市西南位育中学高二期末）对一切实数，令为不大于的最大整数，若，为数列的前项和，则_______【答案】100【详解】因为，所以当时，；当时，；当时，；当时，；，所以．故答案为：100.20．（2022·新疆·高三期中（文））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将正自然数中，能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则__________．【答案】115【详解】被2除余1的数可表示为，，被3除余1的数列可表示为，则，故公共项为，则为以首项为1，公差为6的等差数列，，，则.故答案为：115.21．（2022·广东佛山·高三阶段练习）对于数列定义：，，，…，（其中），称数列为数列的阶差分数列.如果（常数）（），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是2阶等差数列，且，，，则数列的通项公式为_________.【答案】【详解】根据题意：，，，故，故，，故.故答案为：22．（2022·上海·高二期中）定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”．已知数列有（为常数,且）,它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为_____．【答案】##-0.5【详解】解:当时,,当时,,得到,根据累乘法:;满足n=1情况，故而数列是首项为0,公差为的等差数列,,,,,,.故答案为:23．（2022·上海·高二专题练习）如图，在边长为1的正三角形中，，，，可得正三角形，以此类推可得正三角形正三角形，记，则__．【答案】【详解】因为正三角形的边长为1，所以，在边长为1的正三角形中，，，所以,，由余弦定理得：，同理可求：．所以与相似，相似比为，所以．同理可求：，，．所以，，构成一个首项为，公比为的等比数列，所以．故答案为：．24．（2022·全国·高三专题练习）若项数为的数列满足：我们称其为项的“对称数列”．例如：数列，，，为4项的“对称数列”；数列，，，，为项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，，是公差为的等差数列，数列的最大项等于．记数列的前项和为，若，则___________．【答案】或【详解】，，，…，是以8为末项，2为公差的递增等差数列，所以，解得，所以，根据对称数列的性质，，所以，所以，即，解得或.故答案为：或25．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153【详解】解：因为：1，，，，；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：；第9个六边形数为：．故答案为：153．26．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））若表示整数的个位数字，，数列的前项和为，则______.【答案】1012【详解】由题意知表示正整数n的个位数字,因为，与的个位数字均为0，所以，因为，20的个位数字为0，所以，，即数列为周期性数列，且周期为10，所以，因为，，，，，，，，，，则，故，故答案为：1012.27．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.【答案】100【详解】正项数列为“调和数列”，则可令（为常数），则正项数列为等差数列，公差为则则，则则（当且仅当时等号成立）则的最大值是100故答案为：10028．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）将正整数分解为两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如即为6的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为___________.【答案】【详解】当时，由于，此时，当时，由于，此时，所以的前100项和为.故答案为：四、双空题29．（2022·山东德州·高三期中）定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均值时，取较大整数），令函数，如：.则__________；_________.【答案】

4

【详解】当时，，则，；当时，，则，；当时，，则，；当时，，则，；当时，，此时，包含，，，，共个整数，所以将分组为，，，，，第组有个数，且每一组中所有数之和为，则，当时，则，即在第45组中，且位于第45组中个数的位置上，则.故答案为：①4；②.30．（2022·上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：①数列的前项和；②数列：1，2，3，4，5；③数列：1，2，3，4，5，6.具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.【答案】

①

②【详解】解：对于①，当时，，，2，3，为完全平方数数列具有“性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，具有“性质”，数列具有“变换性质”；对于③，，1都只有与3的和才能构成完全平方数，，2，3，4，5，6，不具有“变换性质”．故答案为：①；②．31．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记为第k行不同涂色种数，则_____，________．【答案】

324

【详解】由分步计数原理知每行的第一个格子有4重涂法，其余每个格子均有3种涂法，故种，，则①，所以②，①-②得，即．故答案为：324，32．（2022·江苏无锡·模拟预测）“刺绣”是一门传统手工艺术，我国已有多种刺绣列入世界非遗文化遗产名录．有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，称为“回纹图”（如图）．某刺绣工在方格形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈(前三次操作之后的图案分别如下图)．若第次操作之后图案所占面积为（即最外围不封口的矩形面积，如），则至少操作_______次，不少于；若每横向或纵向一个单位长度绣一针，称为“走一针”，如图①共走了针，如图②共走了针，如图③共走了针，则其第次操作之后的回纹图共走了______________针（用表示）．【答案】

【详解】由题意得：，令，解得：或（舍去），故至少操作5次；由图形可以看出，第1次操作之后的回纹图共走的针数为，第2次操作之后的回纹图共走的针数为，第3次操作之后的回纹图共走的针数为，第n次操作之后的回纹图共走的针数为故答案为：5，33．（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．【答案】

494【详解】由二项式系数的性质得：第n行的数字之和为，去除所有1的项后所得三角数阵的第n行有n个数字，其和为，而，所以数列的前28项和.故答案为：；49434．（2022·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为