全等三角形创新题赏析

全等三角形创新题赏析武丽虹随着课程改革的不断深入，一大批格调清新、设计独特的开放型、探究型、操作型等创新题纷纷在各地中考试卷上闪亮登场。近年来，有关全等三角形的创新题更令人耳目一新、目不暇接；试题以它的新颖性、思辨性摒弃模式、推陈出新，创造性地描绘了一个绚丽多姿的图形世界。现采撷近两年中考试题归类分析，希望对大家有所帮助和启发。一、条件开放型例1（2022年浙江金华卷）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。你添加的条件是：__________。证明：分析：此题答案不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD。点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性。二、结论开放型例2（2022年福建）如图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论1：结论2：结论3：分析：由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同时有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB等。以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后结论。点评：本题是源于课本而高于课本的一道基本题，可解题思路具有多项发散性，体现了新课程下对双基的考查毫不动摇，且更具有灵活性。三、综合开放型例3（2022年攀枝花市）如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件____________。你得到的一对全等三角形是△________≌△________。证明：分析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一组公共边。因此只要添加以下条件之一：①CE=DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根据SSS或SAS证得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基础上又可以进一步得到△CEB≌△DEB。点评：本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起学生的发散思维，值得重视。四、构造命题型例4（2022年内江市）如图（4），在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE。请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知、求证及证明过程）分析：根据三角形全等的条件和全等三角形的特征，本题有以下两种组合方式：组合一：条件 ①②③ 结论：④组合二：条件 ①②④ 结论：③值得一提的是，若以②③④或①③④为条件，此时属于SSA的对应关系，则不能证得△ABC≌△DEF，也就不能组成真命题。评析：几何演绎推理论证该如何考？一直是大家所关注的。本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性。这种考查的形式值得重视。五、猜想证明型例5（2022年大连市）如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）。（1）连结_________；（2）猜想：_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）分析：连接FC，猜想：AC=CF。由平行四边形对边平行且相等，有AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC；再加上DE=BF，因此，只要连接FC，根据全等三角形的判定定理SAS，容易证得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，从而得到AE=CF。点评：此题为探索、猜想、并证明的试题。猜想是一种高层次的思维活动，在先观察的基础上，提出一个可能性的猜想，再尝试能够证明它，符合学生的认知规律。本题难度不大，但结构较新，改变了传统的固有模式。六、判断说理型例6（2022年山东枣庄市大纲卷）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断△EMC的形状，并说明理由。分析：△EMC是等腰直角三角形。由已知条件可以得到：DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°∠DAB=90°。连接AM。由DM=MB可知MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°从而∠MDE=∠MAC=105°即△EDM≌△CAM。因此EM=MC，∠DME=∠AMC又易得∠EMC=90°所以△EMC是等腰直角三角形。点评：本题以三角板为载体，没有采取原有的那种过于死板的形式，在一定程度上能激发学生的解题欲望——先判断，再说理，试题平中见奇，奇而不怪，独具匠心，堪称好题。七、拼图证明型例7（2022江西省）一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。（1）求证AB⊥ED；（2）若PB=BC。请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。分析：（1）在已知条件的背景下，显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不难得∠APN=∠DCN=90°，即AB⊥ED。（2）由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°又PB=BC及∠PBD=∠CBA根据ASA有△PBD≌△CBA，在此基础上，就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB。点评：本题将几何证明融入到剪纸活动中，让学生在剪、拼等操作中去发现几何结论，较好地体现了新课程下“做数学”的理念。（2）题结论开放，而且结论丰富，学生可以从不同的角度去进行探索，在参与图形的变化过程及探究活动中创造性地激活了思维，令人回味。八、阅读归纳型例8（2022浙江省绍兴市）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C求证：△ABC≌△A1B1C1（请你将下列证明过程补充完整）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D则∠BDC=∠B1D1C1=90∵BC=B1C1，∠C=∠C∴△BCD≌△B1C1D∴BD=B1D1（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。分析：（1）由条件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，又由∠C=∠C1，BC=B1C从而得到△ABC≌△A1B1C1（2）归纳为：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形（或直角三角形或钝角三角形）是全等的。点评：边边角问题是全等三角形判定中的难点，也是学生易出错的内容，要涉及三角形形状的分类。本题构思新颖，创造性地设计了阅读情境，引领学生跨越障碍，引导学生合情推理并总结概括，考查了学生阅读理解、类比、概括等综合能力，同时也培养了学生灵活、精细、严谨的数学思维品质。九、作图证明型例9（2022浙江省湖州市改编）已知Rt△ABC中，∠C=90°（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED。（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_______≌△_______并加以证明。分析：（1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD、作线段AD的垂直平分线，并连接相关线段。（2）由AD平分∠BAC，可以得到∠BAD=∠DAC；由EF垂直平分线段AD，可以得到∠EHA=∠