高斯公式应用

。1、高斯公式在一般物理中的应用数学中的高斯公式是场论中的一个基本公式。它成立了空间某一地区v上的体积分与其界限曲面S上的面积分之间的关系，即PQRpdydzQdzdx（1）xyyzs在物理学中，常用它的矢量形式：divFdvFdsvs式中FPiQjRk在一般物理学中，应用高斯公式能够简短了然地证明某些重要的结论。下边我们就用它来推证有名的阿基米德浮力定律和静电场中的高斯定理。（1）高斯公式推证阿基米德浮力定律在一般物理的教科书中，一般对阿基米德浮力定律都不作严格的数学证明，仅对它作一个说明。可是我们能够依据重力场中静止流体的压强散布，应用高斯公式给出一个证明。一物体浮在液面上，液体表面的平面把浮体表面的关闭曲面S分为两部分S1和S2，也把整个浮体分为两部分。此中浮在液面上的那部分为V1，淹没在液体中的那部分为V2。成立坐标系，取液体表面为xoy平面，Z轴的方向取为竖直向下。作用在曲面S1上的压强就是大气压P0，而作用在曲面S2上的压强则为PP0gz式中P为液体的密度，z为曲面S2上某点处位于液面下的深度。作用在物体上的浮力就是因为作用在物体下部的压强盛于作用在物体上部的压强而产生的，我们来详细计算一下。因为作用在物体表面上任一面元上的压力老是与面元的法向矢量n方向相反，所以有：F浮PdsPdsnssPcosicosjxcoskdssiPdscosjPdscoskPdscossssi(pi)dsj(pj)dsk(pk)dssss式中为n与三个坐标轴的夹角，应用在高斯公式，上式可化为体积分：。1。F浮i(pi)dvj(pj)dvk(pk)dvvvvidvjdvkdvvxvyvz(ijk)dvvxyzP0dvvPdvPdvv1v2P0dv(P0gz)dvv1v20gkdvv2v2gk上式即为我们所熟知的阿基米德浮力定律的数学表达式，它表明：浸在液体里的物体遇到向上的浮力，浮力的大小等于物体所排开的液体的重量。（2）高斯公式推证静电场中的高斯定理静电场中的高斯定理：eEds1qis0(S内)在一般的一般物理教科书中，对高斯定理都不作严格的证明，而是利用电力线的观点加以说明，也有少量书中是采纳引进“立体角”的观点来证明的。其实，应用高斯公式能够很简短地证明高斯定理，并且不需要引进“立体角”的观点。我们先议论单个点电荷的状况。在闭合曲面S内有一点电荷q，它所产生的qr3，则穿出S的电通量为eqrds场强为EEdsr340rs40s注意，此刻我们还不可以利用高斯公式把上式中的面积分化为体积分。因为高斯公式成立的条件要求E在闭合曲面S所包围的地区V内是连续函数。但明显Eqr3在地区V内r=0处（即点电荷q处）不连续。我们可在闭40r曲面S内作一个以点电荷q为中心，以R为半径的小球面S'的方向和S同样都取为外法线方向。那么，在闭合曲面S和S'之间的地区中，r0，E知足连续的条件，于是我们可利用高斯公式来计算经过地区的界限曲面的电通量。e

EdsEdvqr3dv40r。2。由直接计算可得，r0(r0)，所以e0。r3在面积分Eds，曲面的外法线方向在曲面S处与S的外法线方向相同，而在S'曲面处则与S'的外法线方向相反。于是有EdsEdsEdsss'

0所以EdsEdsss'这说明经过包括点电荷的随意闭合曲面的电通量都与经过以该点电荷为中心的任一球面的电通量相等。而经过球面的电通量很简单算出：'eqr3dsq2dsq24R2qs'40r40Rs'40R0所以qe0当点电荷q不在闭合曲面S内时，则在S所包括的V地区内，r0，可直接利用高斯公式求出：eEdsEdvqr3dv0sv40vr对于由一组点电荷q1q2qn所构成的带电系统来说，它们在空间所产生的总场强E是各点电荷独自存在时所产生的场强的迭加：EE1E2En那么经过随意闭合曲面的电通量为：EdsE1dsE2dsEndssssse1e2en式中e1、e2en是各个点电荷的电场经过闭合曲面S的电通量。由上述对于单个点电荷的结论可知：当gi在S内时qiei0当gi在S外时ei0。3。所以e1qiei0(S内)这样就证了然高斯定理。2、高斯公式与散度设空间闭地区是由分片圆滑的闭曲面所围成，若函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)与R(x，y，z)在上拥有一阶连续偏导数，则有高斯公式（散度公式）：(PQQ)dvPdydzQdzdxRdxdy（是的整个界限曲面的外xyz侧）在平时生活中，我们常常有到如图1用榔头钉钉子，图2灯泡或太阳向四周辐射光芒，图3点燃的烟花向四周爆炸等现象。对这些现象进行对照察看，发现都具向四周散射的成效。我们不如对钉子受力会被钉进桌面的现象进行受力剖析，如图4，钉子遇到榔头的力A=(P，Q，R)作用，P，Q，R分别是力A在x，y，z三个坐标轴方向上的分力，力A的作用成效（变化率）等效于分力P，Q，R在座标轴方向上的作用成效（变化率），进而我们可用胸怀A的（散射）作用成效，并称之为散度。所以，我们能够把高斯公式理解成：向量场（包括力场）A=(P，Q，R)经过闭曲面流向外侧的通量（流量或辐射量