初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(资料)

精选初中数学比赛专题解说最短路径问题(最全资料)初中数学比赛专题解说最短路径问题【问题概括】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在找寻图（由结点和路径构成的）中两结点之间的最短路径．算法详细的形式包含：①确立起点的最短路径问题-即已知开端结点，求最短路径的问题．②确立终点的最短路径问题-与确立起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确立起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中全部的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【波及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考察．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理AA两点之间线段最短．连AB，与l交点即为P．lPPA+PB最小值为AB．lBB-2-在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．【问题2】“将作法军饮马”

图形原理ABl作B对于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．

AP

BlB'两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB＇．【问题3】作法l1Pl2分别作点P对于两直线的对称点P＇和P＇，连P＇P＇，与两直线交点即为M，N．在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．【问题4】作法l1Q分别作点Q、P对于直P线l1、l2的对称点Q＇和l2P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．

图形原理P'l1MPNl2两点之间线段最短．P''PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．图形原理Q'l1MQ两点之间线段最短．P四边形PQMN周长的最小Nl2值为线段P＇P＇＇的长．P'-3-在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．【问题5】“造桥选址”作法AMmNnB将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M．直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．【问题6】作法ABMaNl将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇，连A＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．在直线l上求两点M、N（M在左），使MNa，并使AM+MN+NB的值最小．【问题7】作法l1P作点P对于l1的对称点l2P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A．

图形原理AA'MmnNB两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．图形原理AA'BlMN两点之间线段最短．A''AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．图形原理l1P'P点到直线，垂线段最短．APA+AB的最小值为线段P＇l2B的长．B-4-在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小．【问题8】作法l1NAl2MB作点A对于l2的对称点A＇，作点B对于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N．为l1上必定点，B为l2上必定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小．

图形原理B'l1ANMBl2两点之间线段最短．A'AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．【问题9】作法图形原理AABlBlP连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．在直线l上求一点P，使PAPB的值最小．

垂直均分上的点到线段两端点的距离相等．PAPB＝0．【问题10】作法图形原理ABAlB作直线AB，与直线l的交l点即为P．P

三角形随意两边之差小于第三边．PAPB≤AB．PAPB的最大值＝AB．-5-在直线l上求一点P，使PAPB的值最大．【问题11】作法图形原理AAlB'BlPB作B对于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．在直线l上求一点P，使PAPB的值最大．

三角形随意两边之差小于第三边．PAPB≤AB＇．PAPB最大值＝AB＇．【问题12】作法“费马点”ABC所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE订交于P，点P即为所求．△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．

图形原理DAEPBC两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．一、基础过关如下图，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食品,求蚂蚁所走的最短程.如右图是一个长方体木块，已知AB3,BC4,CD2，假定一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。-6-3.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNMN的最小值为在菱形ABCD中，AB2，BAD对角线AC上的一个动点，则PE5.如图，在ABC中，ACBC2，

。600，点E是AB的中点，P是PB的最小值为ACB900，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为第1D第2第3CA

D第4第5PCAB6.AB是⊙OE的直B径，AB2AB图(2)OCAB，，OC是⊙O的半径，点D在AC上，D为AC的三均分点，点P是半径OC上的一个动点，则APPD的最小值为7.如图，点P对于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的均分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的C动点，则BM+MN的最小值是．DMADANBOCPB图(3)第8第6第7-7-第9二、例题解说例1：已知：直线y1与y轴交于，与x轴交于，抛x12AD物线y1x2bxc与直线交于、E两点，与x轴交于、2ABC两点，且B点坐标为（1，0）．1）求抛物线的分析式；2）动点P在x轴上挪动，当△PAE是直角三角形且以P为直角极点时，求点P的坐标．3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标．yEABCxDO-8-例2：如图，抛物线yax2bxc的极点P的坐标为1，43，3交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0，3)．（1）求抛物线的表达式．yD（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，获得四边形ADBC．x判断四边形ADBC的形状，并说明原因．EB（3）试问在线段AC上能否存在一点AOF，使得△FBD的周长最小，C若存在，请写出点F的坐标；若不存在，P请说明原因．-9-例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的极点O在座标原点，极点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．例4：如图，在直角坐标系中有四个点,A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求m。n-10-例5：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食品，它爬行的最短路线长为多少？BBCAA-11-练习1：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，忽然发现了蜜糖。问小虫起码爬多少厘米才能抵达蜜糖所在的地点。A’AABB练习2：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场所宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短行程是米．（精准到0.01米）-12-练习3：如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点A出发，沿长方体的表面爬到对角极点C1处（三条棱长如下图），问如何走路线最短？最短路线长为多少？D1C1A11DB1CA24B三、课后提高1．如下图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边AD三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（P）EA．23B．26C．3D．6BC2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．23-13-C．23D．43．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在ADBC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）BN．°B．°．°M．C°A120130C110D1404．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(63，0)．OC均分∠AOB，点M在OC的延伸线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．-14-5．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，y则四边形ABCD的周长最小值为，A此时BC、D两点的坐标分别为．Ox6．已知A（1，1）、B（4，2）．yBP点（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时的坐标；AOx（2）P为x轴上一动点，求PAPB的值最大时P点的坐标；yBAOx-15-（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右侧且CD＝1，y求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；BAOCDx7．点C为∠AOB内一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．ACOB-16-8．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角