2022-2023学年高二数学上学期期中期末高效复习课2第四章数列高频考题实战Word版含解析

2第四章数列高频考题实战实战一：根据数列的前几项求通项公式1．（2019·浙江·温州中学高二开学考试）已知数列的前4项为：1，，，，则数列的通项公式能为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】正负相间用表示，∴．故选：D2．（2022·河南新乡·高二期末（理））数列，，，，，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题可知，数列，，，，，…，每项的分母是项数的平方，奇数项为负，故可得数列的一个通项公式为.故选：A实战二：数列的单调性的判断及其应用1．（2022·浙江大学附属中学高三期中）已知为递增数列，前n项和，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】当时，，当时，，由为递增数列，只需满足，即8>4+λ，解得，则实数的取值范围是，故选：D.2．（2021·全国·高二课时练习）已知数列是递增数列，且其通项公式为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解法1：由是递增数列且，得对恒成立，所以，即.解法2：由是递增数列得，解得.故选：D3．（2021·全国·高二单元测试）已知数列为递增数列，且，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵数列为递增数列，∴对任意的，，即，即恒成立，∴故选：A.4．（2022·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，所以，则，解得：，故选：C实战三：求数列中的最大(小)项1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则中的最大项为（）A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项【答案】C【详解】因为令，得，解得．所以当时，，即，当时，，即，因此当时，最大．故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则中的最大项为（）A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项【答案】C【详解】因为令，得，解得．所以当时，，即，当时，，即，因此当时，最大．故选：C.3．（2021·山西·高二阶段练习）已知数列满足，则的最小项的值是（）A．B．8C．D．【答案】C【详解】解：，令，函数在处有最小值，因为为正整数，且，所以的最小项的值是.故选：C.实战四：等差数列性质的应用1．（2023·重庆璧山·高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（）A．150B．120C．75D．60【答案】D【详解】因为也成等差数列，故，同理因为，所以，故所以.故选：D2．（2021·广东·中山纪念中学高二期中）已知等差数列中，，则数列的前11项和等于（）A．66B．55C．44D．33【答案】D【详解】因为，所以.故选：D．3．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高二期中）已知数列为等差数列，，则（）A．8B．12C．15D．24【答案】B【详解】，故，.故选：B4．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（）A．10B．15C．20D．25【答案】B【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，而，则，等差数列公差，首项，则.故选：B.5．（2022·云南省楚雄天人中学高二阶段练习）记的前项和为，若，且，则当取最小值时（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】因为，即，所以数列是公差为的等差数列，所以数列是递增数列，因为，所以，，所以前和最小.故选：B.6．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）等差数列共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（）A．10B．13C．11D．22【答案】A【详解】等差数列共2n+1个项，其中奇数项有个，偶数项有个，设等差数列的公差为，奇数项和①，偶数项和②，①-②得，则.故选：A7．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.【答案】3【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为,故有,两式相减,因为,故,故.故答案为:3实战五：等差数列前项和的性质及其应用角度1：等差数列片段和性质1．（2021·陕西·无高二期中（理））已知等差数列的前项和为，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为为等差数列，所以成等差数列，因为，设，由，即，则，所以，所以，所以.故选：B.2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））设等差数列的前项和为，若，，则_________【答案】27【详解】.故答案为：.3．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知等差数列前项和为，若，则的值为__________.【答案】0【详解】依题可知成等差，所以，解得：．故答案为：0．4．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】12【详解】由题意得成等差数列，则，得故答案为：12角度2：比值问题（含同角标和不同角标）1．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由．故选：D2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）两个等差数列则=（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为所以，故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为等差数列和的前n项的和分别是和，且，所以.故选：B.4．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，，求______．【答案】【详解】因为等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，，所以设，，∴．故答案为：.5．（2021·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则________；________．【答案】

【详解】．∵数列、均为等差数列，其前项和分别为、，∴可设，，则.故答案为：；．实战六：等差数列前项和的最值问题1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（）．A．第5项B．第6项C．第7项D．无法确定【答案】C【详解】因为，，由等差数列的性质可得，所以，所以该数列的公差，所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，因为，所以，所以绝对值最小的项为，故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为是等差数列，且，得，对于A，，故错误；对于B，，故正确；对于C，，故错误；对于D，，故错误.故选：B.3．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知等差数列的公差，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求的最小值．【答案】(1)(2)-21【详解】（1）∵成等比数列，∴，又，∴，解得，∴；（2），∴．根据二次函数的性质易知，当或时，取得最小值；∴的最小值为；综上，，的最小值为.4．（2021·山东·日照青山学校高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和的最小值.【答案】(1)(2)(1)解：设等比数列的首项为a，公比为q>0，由，得，所以.(2).数列是首项为-5，公差为1的等差数列.方法一：因为公差1>0，数列是首项为负的递增等差数列.由，得，所以.方法二：利用等差数列求和公式得.根据二次函数性质.5．（2021·福建省平和第一中学高二期中）在各项均为正数的等比数列中，公比q∈(0，1)．若，，，数列的前n项和为Sn．(1)求和的通项公式；(2)求当取最大值时n的值．【答案】(1)，；(2)或8.(1)各项均为正数的等比数列中，若，，所以，由于公比q∈(0，1)，解得，所以，解得．所以，．(2)由（1）可知：数列是以4为首项，以为公差的等差数列，所以，则，当，时，；当时，；当，时，，故当或8时，数列取得最大值．实战七：等比数列性质的应用1．（2022·广东广州·高三期中）已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）A．2B．C．D．【答案】B【详解】令公比为，由，故且，所以，则，又，，则，所以，综上，.故选：B.2．（多选）（2022·福建三明·高二阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．B．C．有最大值25D．有最大值【答案】AD【详解】等比数列的各项都为正数，由等比数列的性质可得：，，，，当且仅当时取等号，的最大值是.故选：.3．（2022·上海市大同中学高一期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则______．【答案】100【详解】因为为等比数列,所以,所以,所以,故答案为：.4．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．是数列中的最大值D．数列无最大值【答案】B【详解】当时，则，不合乎题意；当时，对任意的，，且有，可得，可得，此时，与题干不符，不合乎题意；故，故A错误；对任意的，，且有，可得，此时，数列为单调递减数列，则，结合可得，结合数列的单调性可得故，，∴，故B正确；是数列中的最大值,故CD错误故选：B.5．（2022·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A．B．C．是数列中的最大值D．【答案】D【详解】∵数列是等比数列，∴，，∴，∴，又，∴，有：或，当时，，有：，此时：，与矛盾，所以不成立，当时，，有：，综上：，∴数列是，的正项递减数列，∴，所以A错误；∵，，则有，，，，∴，所以B错误；为前项的积，，，，所以C错误；∵又：∴，所以D正确.故选：D.6．（2019·河北唐山·高一期中）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（）A．4B．6C．8D．10【答案】D【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶，则S奇=341,S偶=682,所以，∴，解得n=5，这个等比数列的项数为10，本题选择D选项.7．（2022·江苏省响水中学高二期中）已知数列、满足，其中是等差数列，且，则=_______．【答案】【详解】因为是等差数列，为定值，所以是等比数列.由已知故答案为：8．（2021·河南·高二期中（理））已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，，，则________．【答案】##1.5【详解】由题意得.故答案为：.9．（2020·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________【答案】10【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，，由，解得，因为是公比为的等比数列，则，即，解得，故答案为:10.10．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．【答案】

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8【详解】因为，，成等差数列，所以，所以，又因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，所以，所以，当且仅当即时取“＝”．故答案为：；.实战八：数列求通项五类1．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二期中）已知数列的前项和为(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)当时，求的前项和．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，当时，，当，也满足上式，所以.（2）由（1）知所以=（3）①②由②-①得==2．（2022·河北·高三阶段练习）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题，当时，，即.①当时，②①-②得，所以.当时，也适合，综上，.（2）由（1）知，，则.3．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知数列，，，求.【答案】.【详解】由，，得，所以，，，，，将以上个等式累加，得，所以.当时，显然符合上式，故.4．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（文））已知数列满足，．(1)求，；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)，(2)（1），，，.（2）由得：，，又满足，.5．（2022·河北·模拟预测）已知为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求.【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵.∴，∴，∴；当时，满足上式，所以；（2）由（1）可得，∴.6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.【答案】.【详解】由题意得，当时，，又也满足上式，所以.故.7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，若，求．【答案】(1)(2)．（1）解：由题意，数列满足，当时，，两式相减得到，即，即，所以，令，可得，解得，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，可得，所以数列的通项公式为.（2）解：由，可得，则，所以，两式相减，可得所以.8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.【答案】.【详解】由两边同除以得，令，则，设，解得，，而，数列是以为首项，为公比的等比数列，，得9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.【答案】【详解】令.先求出数列的不动点，解得.将不动点代入递推公式，得，整理得，，∴.令，∴，.∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列.∴的通项公式为.将代入，得.∴.10．（2021·全国·模拟预测）在①，，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知为正项数列的前项和，___________.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)(1)解：（1）若选条件①因为，，所以，即，所以是以为首项，2为公差的等差数列，所以，故.若选条件②.对于，令，得，解得.因为，所以①，当时，②，①②得，所以.因为，所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以，所以.若选条件③.因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，则，当时，，又满足上式，所以，，即的通项公式为.(2)解：由（1）知，所以，得，两式相减得，故.实战九：数列求和六类1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.【答案】【详解】因为，所以.因为数列是等比数列，所以，即.设①，又＋…＋②，①+②，得，所以.2．（2020·全国·高三专题练习）已知定义在已知定义在上的函数上的函数满足①，②，由此可归纳出一个结论“★”，使得数列满足，则此结论★为_____．并求的通项公式．【答案】．或；.【详解】∵，，，即从中得启发：可归纳得：．或．★可验证．由，即，两式相加得：共有个中括号，结合★即有，即得．3．（湖南省常德市五校联盟2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．(1)求数列，的通项公式(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）因为数列满足，，，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，即数列的通项公式为，设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由（1）可知，所以数列的前项和，即．4．（2022·四川省隆昌市第七中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：当时，，解得；当时，由可得，上述两个等式作差可得，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故.（2）解：由题意可知，，因为，则，则数列为等差数列，所以数列的前项和为，所以，.5．（2023·山东省实验中学高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足的前项和为，求证:．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，又，可得方程组，即，又，解得，故．（2），所以因为，所以．所以．6．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以.两式相减，得，即所以当时，，在中，令，得，所以，又满足，所以所以，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且.（2），所以，当时，，当时，，所以.7．（2022·甘肃·西北师大附中高二期中）设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，，成等差数列，所以，即，当时，，即，由，得，所以数列是以为公比的等比数列，则，即，所以，所以；（2）解：，则，因为恒成立，所以，所以的最小值.8．（2022·江西九江·高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.(1)求证；数列是等比数列；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由已知得，又，所以作差得，故所以又当时，，又，故故数列是首项为2，公比为2的等比数列（2）由（1）可知：，故所以综上可知：9．（2022·江苏南通·高二期中）已知数列满足且，．(1)求通项；(2)求数列的前项之和．【答案】(1)(2)【详解】（1）当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，，∴，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，，∴，为偶数∴；（2）记，相减得：∴10．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习）已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则有，两边同时除以得：，，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，则，当时，，符合，故.（2），①②①②得：即，得.11．（2022·山东临沂·高二期末）在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________(1)求数列的通项公式；(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)(1)解：选①设等差数列中，公差为，因为，，所以，解得，所以，选②因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，所以，即，解得所以.选③因为等差数列中，，，所以，即