拉普拉斯积分变换演示文稿

拉普拉斯积分变换演示文稿当前1页，总共55页。优选拉普拉斯积分变换当前2页，总共55页。31．拉氏变换的概念定义

设函数

当

时有定义，而且积分

（s是一个复参量）

在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数称为函数

的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）记为

F(s)称为

的拉氏变换（或称为象函数）。

一、拉氏变换当前3页，总共55页。4若F(s)是

的拉氏变换，则称

为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为

可以看出，

的拉氏变换，实际上就是

的傅氏变换。

当前4页，总共55页。5例1

求单位阶跃函数

的拉氏变换。

解

由拉氏变换的定义

此积分在

时收敛，且

所以

当前5页，总共55页。6例2

求指数函数

的拉氏变换（k为解

积分在

时收敛，且有

所以

实数）。当前6页，总共55页。72.拉氏变换的存在定理

可以看出，拉氏变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定存在呢？

当前7页，总共55页。8当

时，

的增长速度不超过某一指数函

，使得

成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数）。

拉氏变换的存在定理

若函数

满足下列条件：

在

的任一有限区间上分段连续；

数，亦即存在常数M>0及当前8页，总共55页。9则

的拉氏变换

在半平面

上一定存在，右端的积分在

上绝对收敛而且一致收敛，

并且在

的半平面内，

为解析函数。

当前9页，总共55页。10例3

求正弦函数

（k为实数）的拉解

同样可得余弦函数的拉氏变换：

氏变换。当前10页，总共55页。11例6

求单位脉冲函数

的拉氏变换。

利用性质：

，有

解

当前11页，总共55页。12例7

求函数

的拉氏变换。

解

在实际工作中，求函数的拉氏变换可通过拉氏变换表查得。

当前12页，总共55页。133．拉氏变换的性质

为了叙述方便起见，假定要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为c。以下均设当前13页，总共55页。14a.线性性质

若

是常数，则有

根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。当前14页，总共55页。15

b．

微分性质

证

由定义并利用分部积分法得

这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减去函数的初值。

当前15页，总共55页。16推论:

特别，当初值

时，有此性质使我们有可能将

的微分方程转化为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。当前16页，总共55页。17例

求函数

的拉氏变换。

解

由于

由微分性质有

即

移项化简得

当前17页，总共55页。18例

求函数

的拉氏变换，其中m是正整数

解

由于

而

所以

当前18页，总共55页。19即

而

所以

由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质：

一般地，有

当前19页，总共55页。20例

求函数

的拉氏变换。

解

因为

根据象函数的微分性质

同理可得，

当前20页，总共55页。21c．积分性质

证

设

，则有

，且

由微分性质，有

即

这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。

当前21页，总共55页。22重复应用积分性质可得：

此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质：

或一般地，有

当前22页，总共55页。23例

求函数

的拉氏变换。

解

因为

据象函数的积分性质可知

当前23页，总共55页。24其中

这一公式，常用来计算某些积分。

存在，在象函数的积分性质公式中取s=0，则有如果积分

当前24页，总共55页。25例

求积分

解

因为

且所以当前25页，总共55页。26d．位移性质

若

，则有

证

上式右方只是在

中把s换成

，所以

这个性质表明：一个象原函数乘以指数函数

eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。当前26页，总共55页。27例

求

解

因为

利用位移性质，可得

当前27页，总共55页。28例

求

解

因为

由位移性质得

当前28页，总共55页。295.延迟性质

若

，又

时

则对于任一非负实数

有

或

证

当前29页，总共55页。30由于

时，

，所以上式右端第一个积分为零。对于第二个积分，令

，则

当前30页，总共55页。31函数

与f(t)相比，f(t)是从t=0开始有非零数值，而

是从

开始才有非零数值，即延迟了一个时间

。从它们的图象来讲，

的图象是由f(t)的图象沿t轴向右平移距离而得。象函数乘以指数因子

。

这个性质表明，时间函数延迟的拉氏变换等于它的当前31页，总共55页。32例

求函数

的拉氏变换。

解

由于

根据延迟性质，有

当前32页，总共55页。33二、拉氏逆变换

在实际应用中常会碰到的问题是：已知象函数求它的象原函数f(t)。由拉氏变换的概念可知，函数的拉氏变换就是

的傅氏变换。

当前33页，总共55页。34于是，当

满足傅氏积分定理的条件时，按傅氏积分公式，在

连续点处有:

当前34页，总共55页。35等式两边乘以，并考虑到它与积分变量无关，则

令，有

这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，右端的积分称为拉氏反演积分。当前35页，总共55页。36此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简单。

当前36页，总共55页。37定理

若是函数的所有奇点（适当选取使这些奇点全在的范围内），且当时，，则有

即当前37页，总共55页。38例1：求的逆变换。

解

:

F(s)有两个一级极点

由拉氏反演积分公式得

当前38页，总共55页。39

例2：

求的逆变换。

解:

s=0为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积分公式得当前39页，总共55页。40例3：

求的逆变换。

解

:利用部分分式的方法将F(s)化成

所以当前40页，总共55页。41卷

积

拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分析中起着重要的作用。

当前41页，总共55页。421.卷积的概念傅氏变换中两个函数的卷积是指

在拉氏变换中函数如果都满足条件：当t<0时，

则上式可写成

今后如不特别声明，都假定这些函数在t<0时恒为零。

当前42页，总共55页。43

例1

求函数和的卷积，即求。

解：根据定义得：当前43页，总共55页。44卷积的性质：

当前44页，总共55页。452.卷积定理

假定，满足拉氏变换存在定理中的条件，且，则的拉氏变换一定存在，且或当前45页，总共55页。46推论若满足拉氏变换存在定理中的条件，且，则有

在拉氏变换的应用中，卷积定理起着十分重要的作用。下面举例说明它在求函数的逆变换中的应用。

当前46页，总共55页。47

例2

设，求f(t)。

解:

令则根据卷积定理和例1得

当前47页，总共55页。48例3

设，求f(t)。

解：所以当前48页，总共55页。49

例4

设 ，求f(t)。解：根据位移性质，

所以当前49页，总共55页。50当前50页，总共55页。51微分方程的拉氏变换解法

利用拉氏变换的线性性质和微分性质来解常微分方程，其方法是先取拉氏变换把微分方程化为象函数的代数方程，根据这个代数方程求出象函数，然后再对象函数取逆变换就得出原来微分方程的解。解法的的过程如下图所示。

当前51页，总共55页。52象函数象原函数(微分方程的解)象函数的代数方程微分方程取拉氏逆变换解代数方程取拉氏变换当前52页，总共55页。53例1

求方程的解。满足初始条件解:设L[y(t)]=Y(s)。在方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，得这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解出Y(s)