2020高考压轴题-函数与导数核心考点和高考数学椭圆曲线的知识总结

2020高考压轴题一一函数

与导数核心考点和高考

数学椭圆曲线的知识总结

2020高考压轴题-一函数

与导数核心考点

目录

题型一切线型

1.求在某处的切线方程

2.求过某点的切线方程

3.已知切线方程求参数

题型二单调型

1.主导函数需“二次求导”型

2.主导函数为“一次函数”型

3.主导函数为“二次函数”型

4.已知函数单调性，求参数范围

题型三极值最值型

1.求函数的极值

2.求函数的最值

3.已知极值求参数

4.已知最值求参数

题型四零点型

1.零点（交点，根）的个数问题

2.零点存在性定理的应用

3.极值点偏移问题

题型五恒成立与存在性问题

1.单变量型恒成立问题

2.单变量型存在性问题

3.双变量型的恒成立与存在性问题

4.等式型恒成立与存在性问题

题型六与不等式有关的证明问题

1.单变量型不等式证明

2.含有曰与Inx的不等式证明技巧

3.多元函数不等式的证明

4.数列型不等式证明的构造方法

题型一切线型

1.求在某处的切线方程

3x2

例1.12015重庆理20]求函数在点(1，/⑴)处的切线方程.

解：由f(x)=G，彳导尸(x)=—=，切点为(1,；),斜率为尸⑴=£

3333

由f(l)=9得切点坐标为(1，*由尸(1)=9得切线斜率为

33

,切线方程为y—£=Jx—1),即3x—ey=0.

例2.求/)=6++2)在点(1,/⑴)处的切线方程.

111

解：由/3=酬1+2),得尸(x)=ex(—m+,+2)

AAA

由/(l)=3e,得切点坐标为(l,3e),由r(l)=2e,得切线斜率为2e；

「•切线方程为3e=2e(x—1),即2ex-y+e=0.

1—x

例3.求危尸及市在点(0,#0))处的切线方程.

[—X]]

解：由/(x)=/n/口=/n(l_x)_/n(l+x),得/(刈=_*^一注^

由f(0)=0,得切点坐标为(0,0),由尸(0)=—2,得切线斜率为一2；

•・•切线方程为y=-2x,即2x+y=0.

例4.12015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy中，曲线C：y=这与

直线/：片kx+a(a>0)交于M,N两点，当k=0时，分别求C在点M与N处的

切线方程.

解：由题意得：a今,则*=±2加，即M(—2加，a),N(2-\[a,a),

x2x

由/(x)=w，得尸(x)=5，

当切点为例(一2或，a)时，切线斜率为尸(一2m)=一6，

此时切线方程为：q^x+y+a=0；

当切点为N(2^，。)时，切线斜率为尸(2^)=^，

此时切线方程为：\[ax—y—a=0；

解题模板一求在某处的切线方程

⑴写出刎；

⑵求出尸(x)；

⑶写出切点a。，y(x0))；

⑷切线斜率k=r(xo)；

⑸切线方程为y—f(x0)=/^xoXx-xo).

2.求过某点的切线方程

Stepl设切点为(xo,4⑹)，则切线斜率尸的),切线方程为：

y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)

Stepl因为切线过点(a,b),所以b—f(xo)=/'(xoXa—xo),解得xo=xi或x0=X2

Stepl当xo=xi时，切线方程为y-/(xi)=/z(xo)(x—xi)

当Xo=X2时，切线方程为y—f(x2)=f'(XO)(X—X2)

例1.求f(x)=^3+3立点P(2,4)的切线方程.

解：设切点为(Xo，1xo3+^),则切线斜率/(xo)=x()2,

所以切线方程为：y一'|xo3+g=Xo2(X—Xo),

14

32

由切线经过点P(2,4),可得4—§Xo3+§=xo2(2—xo),整理得：x0—3x0+4

=0,解得xo=—l或xo=2

当xo=—"l时，切线方程为：x—y+2=0；

当刈=2时，切线方程为：4x-y-4=0.

例2.求f(x)=x3—4x2+5x—4过点(2,-2)的切线方程.

32

解：设切点为(xo,XO-4XO+5XO-4),则切线斜率r(xo)=3x°2—8X0+5,

所以切线方程为：y—(xo3—4xo2+5xo—4)=(3xo2—8xo+5)(x—xo)»

由切线经过点P(2,4),可得4—(x°3—4x°2+5xo—4)=(3x°2—8x°+5)(2-Xo),

解得x()=l或xo=2

当x0=l时，切线方程为：2x+y—2=0；

当xo=2时，切线方程为：x—y—4=0.

例3.过A(l,m)(mx2)可作月x)=x3—3x的三条切线，求m的取值范围.

解：设切点为(xo,X03—3XO),则切线斜率广(XO)=3XO2—3,切线方程为

y一(xo3-3xo)=(3xo2-3)(x—Xo)

・•・切线经过点

.'-m-(xo3—4xo2+5xo—4)=(3xo2-8xo+5)(1—Xo)»

即：-2xo3+3xo2—3—m=0,即m=-2xo3+3xo2—3

•.・过点A(l,M(mx2)可作f(x)=x3—3x的三条切线，

32

二方程m=-2xo+3xo—3,有三个不同的实数根.

二.曲线H(xo)=—2X(?+3x(?—3与直线y=m有三个不同交点，

H'(xo)=-6x()2+6xo=-6x0(xo—1)

令H'(Xo)>O,则OVxoVl；令H'(Xo)VO,则刈<0或刈>1

.・.H(xo)在(一8,0)递减，在(0,1)递增，在(1,+8)递减，

・•.H(xo)的极小值="(0)=—3,H(xo)的极大值=41)=-2,

由题意得一3VxV—2.

例4.由点(一e,e—2)可向曲线f(x)=/nx—x—1作几条切线，并说明理由.

解：设切点为(xo，/nx0—x0—1)»则切线斜率尸(xo)=；—1,切线方程为

X。

、1,

y-(lnxo-x—1)=(――l)(x—xo)，

QXo

•・,切线经过点(一e,e-2),

1ane

2-(/nxo-xo—1)—(——1)(-e-xo)，即lnxo=~

Xoxo

<.y=/nx与y=(只有一个交点

p

・•・方程/nx°=7有唯一的实数根

Xo

二•由点(一e,e—2)可向曲线/(x)=/nx—x—1作一条切线.

解题模板二求过某点的切线方程

⑴设切点为(x。，/{xo)),则切线斜率7(x。)，切线方程为：

,

y—f(xo)=f(xo)(x—xo)

(2)因为切线过点(a,b),所以b—Hxo)=f'(xo)(a—xo),解得Xo=Xi或Xo=X2

⑶当xo=xi时，切线方程为y—/(xi)=7'(xoXx-xi)

当xo=x2时，切线方程为y—f(X2)=1Hxo)(x—X2)

3.已知切线方程求参数

解题模板三已知切线方程求参数

已知直线Ax+8y+C=0与曲线y=/W相切

⑴设切点横坐标为刖，则

切点纵坐标=切点纵坐标日口成归

切线斜率=切线斜率即错误！

⑵解方程组得X。及参数的值.

例1.函数/3=震+与在(1,/⑴)处的切线方程为x+2y—3=0,求a,b的值.

ealnx,b

解：.•贝刈=干+】，.・尸(X)=错误!一错误！

由题意知：错误!，即错误！

..a=b=l

bexl

例2J(x)=ae*/nx+—q—在(1,#1))处的切线方程为y=e(x—l)+2,求a,b的值.

,bex1111

xxx

解：'.'f(x)=aelnx+x,.-.f'(x)=ae^+lnx)+be¥一

；(1)=2b=2

由题意知:即

l™=—e'ae=e

a=1,b=2

例3.若直线y=kx+b是y=/nx+2的切线，也是产/n(x+l)的切线，求b.

解：设y=kx+b与y=lnx+2相切的切点横坐标为xi，y=kx+b与y=/n(x+l)相切

的切点横坐标为X2，

错误!，由②③得：Xi=Xz+l,

由①一③得：Inxi—/n(x2+1)+2=k(xi—x2),将上式代入得：k=2

：.Xr=2,代入①得：一/"2+2=l+b

.'.b=l—ln2.

例4.若f(x)=5与g(x)=a/nx相交，且在交点处有共同的切线，求。和该切线方

程.

解：设切点横坐标为xo，则错误!，由②得错误!=2a,

代入①得：x»=e2,.'.0=7

乙

•・・切点为④，e),切线斜率为!，，切线方程为x—2ey+e2=0.

例5.已知函数Hx)=x3+ax+/,当a为何值时，x轴为曲线方程y=f(x)的切线.

例6.已知函数f(x)=x2+ax+b和g(x)=e*(cx+cO都过点P(0,2)且在P处有相同切

线y=4x+2,求a,b,c,d的值.

题型二单调型

1.主导函数需"二次求导"型

I不含参求单调区间

例1.求函数加尸乂修一1)一%的单调区间.

解：/(X)的定义域为R

//(x)=ex(l+x)—1—%=(%+1)(^+1)

令尸(x)>0,得xV-l或x>0；令尸(x)VO,得一lVxVO

/(X)的增区间为(一8,—1)和(0,+°°),减区间为(一1,0)o

例2.求函数=在(-8,0)上的单调性.

解：f(x)的定义域为(一8,0)

a,a,,

f'(x)=ex(--i+-+l)=-i(x2+ax-a)

AAA

令尸(x)>0,得x<错误!；令尸(x)VO,得错误!<x<0

f(x)的增区间为(一8,错误!)，减区间为(错误!，0)o

解题模版一|求解函数的单调区间

⑴求出函数的定义域；

⑵求尸(X)；

⑶判断r(x)的正负；

"f(x)=kx+b

注：导函数的形式是有限的尸(x)=axz+bx+c

,二次求导型

⑷写出函数的单调区间.

注：①求单调区间结论一定叙述为Hx)单调区间为…

讨论单调性可叙述为f(x)在某区间增(减)

②多个相同单调性区间要用逗号隔开，不能用U

③单调区间书写时用中括号还是小括号问题

II.主导函数需"二次求导"型

例1.讨论函数f(x)=(x+l)/nx—x+1的单调性.

解：f(x)的定义域为(0,+-)

x+11

f'(x)=lnx+———l=lnx+-

XX

令0(x)=/nx+%x>O),则(p'(x)=^-^=^r

令(p(x)>0,则x>l；令R(x)VO,则OVxVl,

...(p(x)在(0,1)上递减,在(1,+=)上递增.

.".cp(x)>(p(0)=l>0,从而r(x)>0

.•J(x)在(0,+叫上递增.

例2.求函数#x)=xe2r+ex的单调区间.

解：/(x)的定义域为R

fr(x)=(1—x)e2-x+e

令q)(x)=(1—x)e2x+e,则(p,(x)=(x—2)e2x

当x£(—8,2)时,q)f(x)<0,(p(x)在(一8,2)上递减;

当x£(2,+oo)时，d(x)>0,W(x)在(2,+=)上递增；

A(p(x)>(p(2)=—l+e>0

・・./(x)单调增区间为R,无减区间.

例3.求函数人8=姓户的单调区间.

解：f(x)的定义域为(-1,0)U(0,+=)

x-(x+l)/n(x+l)

1冈―(x+l)x2

令(p(x)=x~(x+l)/n(x+1),则(p'(x)=—ln(x+l)

当xG(—l,0)时，d(x)>0,则<p(x)在(-1,0)上递增

.\(p(x)<(p(O)=O

•V，(x)<0

：.f(x)在(一1,0)上递减

当XG(O,+8)时，(p'(x)<0,0(x)在(0,+8)上递减；

.".(p(x)<(p(O)=O

：.f'(x)<0

：.f(x)在(0,+s)上递减

综上所述：f(x)单调递减区间为(一1,0)和(0,+-).

X

例4.求函数H(x)=I/M一0+C的单调区间.

解:"(x)=错误!

,,11—2x~e2x—x+2x2

当xW(O，1)时，H,(x)=----^r=姿

令(p(x)=-e"—x+2x?,xG(O,1)

则d(x)=-2e"—l+4x

(p〃(x)=-4e2x+4=—4(e2x—1)<0,

・・・(//3在(0，1)上递减

(p'(x)<(p,(0)=—3<0

・・・9”)在(0,1)上递减

(p(x)<(p(0)=—1<0,即Hf(x)<0

：.H(x)在(0,1)上递减

,,11—2xe2^—x+2x2

当xe(l,+8)时，H'(x)=--^~=/

令<p(x)=e"—x+2x?,xG(i,+°°)

则(p'(x)=2e2x—l+4x

Vx>l

.".(p'(x)>0

，0(X)在(1,+=)上递增

.,.<p(x)><p(l)=e2+l>0,即H'(x)>0

在口,+8)上递增

综上所述：H(x)在(0,1)上递减，(1,+引上递增.

重要方法一|二次求导求函数单调性

当无法通过不等式判断一阶导函数的正负时，可对"主导”函数再次求导，这

种“再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。

⑴通过判断/lx)的符号，来判断尸区的单调性；

⑵通过赋特殊值找到尸(x)的零点，进而得到r(x)的正负区间.

2.主导函数为"一次函数”型

例1.求函数=GX+1的单调区间.

解：f(x)的定义域为R

f'(x)=ex—a

当出0时，尸(x)>0恒成立，.寸3的增区间为R

当。>0时，令尸(x)>0,则x>/na；令尸(x)V0,则xV/na；

."(x)的增区间为(/na,4-oo),减区间为(一8,Ina)。

综上所述：当出0时，f(x)的增区间为R

当a>0时，f(x)的增区间为(/na,+8),减区间为(一8,Ina)。

1

例2.求函数Hx)=/nx—ax+齐的单调区间.

解：f(x)的定义域为(0,十可

当时，尸(x)20恒成立，.'./(x)的增区间为(0,+°°)

当a>2时，令尸(x)=0,则乂=错误!或*=错误！

令尸(x)>0,则OVxV错误!或x>错误！

令广(x)<0,则错误!〈X〈错误!.

•••/(X)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+8),

减区间为(错误!，错误!)

综上所述：当时，/(X)的增区间为(0,+-)

当。>2时，f(x)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+-°),

减区间为(错误!，错误!)

例3.求函数/M=/nx—ax的单调区间.

解：f(x)的定义域为(0,+-)

当。40时，尸(x)>0,二/(刈的增区间为(0,+~)

当a>0时，令尸(x)>0,则0VxV§；令尸(x)<0,则x>5；

."(X)的增区间为(0,$,减区间为e，+8).

综上所述：当时，f(x)的增区间为(0,+-)

当。>0时，/(x)的增区间为(0,：),减区间为6，+8)。

例4.求函数HX)=GX—(a+1)妨(x+l)(a2—1)的单调区间.

解：f(x)的定义域为(一1,+-)

a+1ax—1

f'(x)=o-x+l=x+1

当一14a40时，ax—140,即尸(x)40

.•J(x)的减区间为(一1,+8)

当a>0时，令—(x)>0,则x>[,令r(x)V0,则一lVxV：,

，f(x)的增区间为弓，+°o),减区间为(一1,

综上所述：当一1"40时，Hx)的减区间为(-1,+8)

11

当。>0时，/(x)的增区间为+8),减区间为(一1,-).

例5.求函数Hx)=xe"x(kH0)的单调区间.

解：f(x)的定义域为/?

f,(x)=(l+kx)ekx

11

当k>0时，/(x)的增区间为(一,，+8),减区间为(一8,—T).

当kVO时，/(X)的增区间为(一8,减区间为(一器，4-00).

综上所述：当k>0时，纲的增区间为(一/+-),减区间为(一8,-1).

当kVO时，f(x)的增区间为(一8,—1),减区间为(一(，+8).

例6.求函数#x)=x—Hnx(aWR)的单调区间.

解：/(x)的定义域为(0,+~)

当Q40时，尸(x)NO,则f(x)的增区间为(0,+-)

当a>0时，令r(x)>0,则x>a,令尸(x)VO,则OVxVa,

.•./(x)的增区间为(a,4-00),减区间为的a).

综上所述：当。40时，f(x)的增区间为(0,+-).

当。＞0时，/(x)的增区间为(a,+8),减区间为(0,a).

重要方法二|一次函数型(一)

当导函数可表示为常见已知函数，(例如：e*,x+1,p必一2刈与一个常参数(例

如：a,2k,也一。)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法

对参数进行分类讨论.

重要方法三|一次函数型(二)二级分类法

当导函数为一次函数(一次项系数为参数)时，可用二级分类法

⑴判断最高次项系数的正负；

⑵判断一次方程的根与定义域端点值的大小.

3.主导函数为"二次函数”型

例L求函数/(x)=x2—2x+a/nx的单调区间.

解：f(x)的定义域为(0,+-)

a2x2~2x+aa-(―2x2+2x)

f'M=2x-2+A-=-------A--------=A-

当ag时，/(x)20,则f(x)的增区间为(0,十8)

当OVaV*寸，令/(x)=0,则乂1=错误!，X2=错误！

令尸(x)＞0,则OVxV错误!，或x＞错误！

令f'(x)＜0,则错误!＜x〈错误!，

."(x)的增区间为(0,错误!)和(错误!,+8)

减区间为(错误!，错误!)

当於0时,令r(x)＞0,则x＞错误!，

令尸(x)VO,则OVx＜错误!，

，f(x)的增区间为(错误!，4-oo),减区间为(0,错误!)

综上所述：当时，f(x)的增区间为(0,十8),

当OVaV式寸，/(x)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+-)

减区间为(错误!，错误!)

当好0时,f(x)的增区间为(错误!，+8),减区间为(0,错误!)

例2.求函数犬刈=割长＞0)单调区间.

解：f(x)的定义域为R

,_丁俨+—―2xe*_丁右-2x+k)_e“伙一(一x2+2刈

,'(X)=―(x2+k)2—=一俨+婷=(x2+k)2

当心1时，尸(x)20,f(x)的增区间为R

当OVk<l时，令r(x)=0,则xLl—'l—k,X2=l+y]l—k

令尸(x)>0,则OVxVL'l—k,或x>l+《l-k

令f(x)<o,则i—di』<xvi+qm,

.♦./(x)的增区间为(0,1—yjl—k)^0(1+y]l—k,+°°)

减区间为(1—,1—k,1+yjl—k)

综上所述：当心1时，f(x)的增区间为R,

当OVkVl时，f(x)的增区间为(0,1—狂耳)和(1+亚3，+8)

减区间为(1—k,1+yjl—k)

例3.讨论函数f(x)=x-]+a(2—/nx)的单调性.

解：/(x)的定义域为(0,+8)

,2a

=错误!

AA

当。42加时，尸(x)20,/(X)的增区间为。+8)

当a>2啦时，令尸(x)=0,则乂1=错误!，X2=错误！

令尸(x)>0,则0<xV错误!，或x>错误！

令尸(x)V0,则错误!VxV错误!，

.••/(X)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+8)

减区间为(错误!，错误!)

综上所述：当出2啦时，/(X)的增区间为(0,+8),

当。>2啦时，f(x)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+8)

减区间为(错误!，错误!)

重要方法四|二次函数型(一)

11

当导函数可表示为常见已知函数(例如：e*,x+-,Jxz-2x)与一个常参数(例如:

a,2k,点一。)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参

数进行分类讨论.

例如：2x2—2x+a,x£(0,+°°)可化为a—(—2x2+2x)

X2—2x+k,xERfc—(―2x2+2x)

x2—ax+2,xG(O,+«>)x+~—a

例4.求函数#x)=(x—k)。的单调区间.

解：/(x)的定义域为R

f'(x)=[2x-2k+^(x2-2kx+k2)《=%(x2—k?。

当k>0时，f(x)的增区间为(一8,—k)和(k,+8),减区间为(一k,k).

当k<0时，/(x)的增区间为(k,-k),减区间为(一8,k)和(一匕十8).

综上所述：当k>0时，f(x)的增区间为(一8,—k)和(k,+°°),

减区间为(一k,k).

当kVO时，f(x)的增区间为(k,-k),

减区间为(一8,k)和(一k,+0°).

例5.求函数Hx)=/nx+ax2+x(aeR)的单调区间.

解：/(x)的定义域为(0,+~)

12ax2+x+l

f'(x)=~+2ax+l=

x

当近0时，尸(x)>0,则力x)的增区间为(0,4-oo).

当aVO时，令尸(x)=0,则乂1=错误!，X2=错误！

(此处Xi<0<X2),故将Xi舍去.

(注意：此处X「X2=/V0,可知一根为正，一根为负)

令尸(刈>0,则OVxV错误!，f(x)的增区间为(0,错误!)

令/(x)>0,则x>错误!，/(x)的减区间为(错误!，+-)

综上所述：当应0时，f(x)的增区间为(0,+-).

当aVO时，/(X)的增区间为(0,错误!)，

减区间为(错误!，+°°).

例6.求函数Hx)=a(x—1)—2/nx的单调区间.

解：/(x)的定义域为(0,4-oo)

a2ax2-2x+a

f'(x)=a+-i--=

AA

当时，尸(x)VO,则/(x)的减区间为(0,+8).

(注意：此处ax2V0,—2x<0,a<0,故ax?—2x+aV0)

当a>0时，由ax?—2x+a=0,得△=4一4。2

⑴当△40,即a”时，尸(x)20,.../(x)的增区间为(0,+8)

⑵当△>(),即OVaVl时,令尸仅)=0,则刈=错误!，X2=错误!

令尸(x)>0,则OVxV错误!或x>错误！

令『(x)VO,则错误!<x<错误！

，f(x)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+-)

减区间为(错误!，错误!)

综上所述：当於0时，f(x)的减区间为(0,十8).

当0<。<1时，f(x)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+可

减区间为(错误!，错误!)

当应1时，f(x)的增区间为(0,+°0)

X—1

例7.求函数#x)=a/nx+而的单调区间.

解：f(x)的定义域为(0,+-).

g(x+l)2+2xax2+(2a+2)x+a

尸(刈=1+4Fx(x+l)2=x(x+l)2

⑴当应0时,尸(x)>0,.寸(刈的增区间为(0,+8).

(注：此处因a20,x>0,所以ax?>。，(2a+2)x>0,a>0,即/(x)>0)

⑵当aVO时，由ax2+(2a+2)x+a=0,得△=8a+4

①当△«()即。4一2时，尸仅)<0,.寸(刈的减区间为(0,+~).

②当△>()即一；Va<0时，令尸(x)=0,

则乂1=错误!，X2=错误！

(注：此处由X1+X2=1>O,xrX2=一的六=-2一］>0,则Xi>0,x2>0)

令r(x)>0,则OVx<错误!或x>错误！

令广(x)VO,则错误!VxV错误！

."(X)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+-)

减区间为(错误!，错误!)

综上所述：当应0时，f(x)的增区间为(0,+~).

当一，VaVO时，

Hx)的增区间为(0,错误!)和(错误!，+中

减区间为(错误!，错误!)

当出一5寸，f(x)的减区间为(0,+-)

重要方法五二次函数型(二)

当二次函数的最高次项系数含有字母时，且不能进行因式分解

⑴判断最高次项系数与零的关系，分为三类

a=0,a>0,a<0

⑵当a=0时，很容易判断正负；

当a>0时，可考虑每一项都为正，从而导数大于0；

当aVO时，考虑△及根与定义域端点值的大小.

x2~k

例如:；

x(kwO)

2ax2+x+l,x^(0,+°0)；

ax2—2x+a,xE(O,+0°)；

ax2+(2a+2)x+a,x£(0,+°0)；

例8.求函数#x)=(l—a)历x—x+聂的单调区间.

解：/(x)的定义域为(0,十8)

1—aax2—x+1—a(x—l)[ax+(a-1)]

r(x)A-1+ox=------A-----------------x--------

(注1：此处主导函数为g(x)=ax2-x+l-a的△=(2。-1/刈

(注2：分类讨论的思想依据①最高次的系数a=0；②△=(),则a=£；③对应

方程的两个根相等，即1=不里，则。=去④让其中的根和区间端点相等，即0

1—o、1

=~^^,即0=1。至此，a的取值被分成了7类,即a<0,o=0,0<a<ya

_1

=r

1

2<o<l,a=l,a>l)

⑴当aVO时，/(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+-)

1-Q

(注3：此处一£—<0<1)

⑵当a=0时，/(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+8)

11—o1—0

⑶当0<。<5时，/(x)的增区间为(0,1)^(­,+~),减区间为(1,—)

(注4：此处OV1V-1)

1

(4)当a=］时，f(x)的增区间为(0,+oo)

11—o1—0

(5)当Q<aVl时，/(x)的增区间为(0,—)^(1,+8),减区间为(丁，1)

1-Q

(注5：此处0V—VI)

(6)当a=l时，f(x)的增区间为(1,十8),减区间为(0,1)

1-Q

(注6：此处一^-VOVl)

(7)当a>l时，/(x)的增区间为(1,+8),减区间为(0,1)

(注7：⑴⑵类可以合并，⑹⑺可以可并)

综上所述：当如0时，f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+~)

11—o1—O

当0<。<5时，f(x)的增区间为(0,1)^(—,+oo),减区间为(1,—)

当a号时，/(x)的增区间为(0,+<>o)

11—Q1—a

当时，f(x)的增区间为(0,工一)和(1,+-),减区间为(丁,1)

当a=l时，f(x)的增区间为(1,+-),减区间为(0,l)o

例9.求函数刎，。％2—(2a+l)x+2/nx的单调区间.

解：/(x)的定义域为(0,4-oo)

.八,,2ax2-(2a+l)x+2(x-2)(ax-l)

/z(x)=ax-(2a+l)+-=；=-----；---------

AAA

(注1：此处主导函数是y=ax2—(2a+l)x+2,A=(2a+1)2—8a=(2a—1)2>0,故

主导函数是可以因式分解的)

111

(注2：分类的思想①。=0；②△=(),即a=5；③两根相等£=2,即a=5；④

11

其中一根与端点相等，即£=0,则0和5就可以将数轴分成5部分，即需要分成

5类)

⑴当。40时，f(x)的增区间是(0,2),减区间(2,+8)

111

(2)当0<。<5时，/(X)的增区间是(0,2)和%+8),减区间(2,-)

⑶当a*时，f(x)的增区间是(0,4-oo)

⑷当寸，/(x)的增区间是(0,｝和(2,4-00),减区间色，2)

综上所述：当时，f(x)的增区间是(0,2),减区间(2,+=)

当OVaV次寸，f(x)的增区间是(0,2)和白，+8),减区间(2,5

当a=£时，f(x)的增区间是(0,十8)

当a>号时，f(x)的增区间是(0,5和(2,+<-),减区间2)

1—QI

例10.求函数f(x)=/nx—ax+一二一1,aS?的单调区间.

重要方法六二次函数型(三)

当二次函数的判别式△?()时，可采用四级分类法.

⑴判断最高次项系数与零的关系.

⑵判断根的判别式与零的关系.

⑶两根的大小比较.

⑷根与定义域端点值的大小比较.

例如：ax2—x+(l—a),x£(0,+«»)；

-ax2+x+o—1,xG(O,+«»)；

ax2+(2a+l)x+2,x£(0,+=)；

1

例11.求函数/(x)=xe*—a(]x2+x)的单调区间.

解：/(x)的定义域为R

/,(x)=(l+x)ex—a(l+x)=(x+l)(ex-a)

⑴当。40时,令尸(x)>0,则x>—l；令尸(x)<0,则x<一l；

，f(x)增区间为(一1,+00),减区间为(一8,—1)

(2)当aVO时,令尸(x)=0,则xi=—1,x2=lna

①当a>：时，f(x)的增区间是(一8,—1)和(/na,+°«),减区间(-1,/na)

②当时，f(x)的增区间是R

③当aV：时，f(x)的增区间是(一8,/na)和(一1,十8),减区间(/na,—1)

综上所述：当时，Hx)增区间为(-1,+8),减区间为(一8,-1)

当。>：时，f(x)的增区间是(一8,—1)和(/na,+8),减区间(-1,Ina)

当。=!时，f(x)的增区间是R

当0<。<5寸，/(x)的增区间是(一8,/na)和(一1,+oo),减区间(小a,-1)

例12.求函数f(x)=(x—a)5Mx+cosx,x€(0,n),a>/的单调区

解：/(X)的定义域为(0,7T)

f,(x)=sinx+(x-a)cosx-sinx=(x—a)cosx

⑴当a次时，令—(x)>0,则xj,7i)；令/(x)VO,则x《(0,.

"(x)的增区间为671),减区间为(0,1

(2)当/〈aVzi时，/(x)的增区间为g,a),减区间为(0,各和(a,兀)

综上所述：当应兀时，f(x)的增区间为《，7T),减区间为(0,9

当紧。〈兀时，f(x)的增区间为有a),减区间为(0,各和(a,兀)

例13.求函数/(x)=(ax2-x)lnx-^ax2+x(a£R)的单调区间.

解：f(x)的定义域为(0,十可

f'(x)=(2ax-1)1nx+ax—1—ax+l=(2ax—1)1nx

⑴当如0时，/(x)的增区间是(0,1),减区间是(1,+°°)

⑵当a>0时

①当.VI,即寸，#x)的增区间是(0,方和(1,+g),

减区间是(点，1)

②当/=1，即寸，/(x)的增区间是(0,4-oo)

③当表>1，即0<。<2时，f(x)的增区间是(0,1)和(表，+8),

减区间是(1,各

综上所述：当时，/(x)的增区间是(0,1),减区间是(1,+8)

111

当。>5时，f(x)的增区间是(0,五)和(1，+8)，减区间是(五，1)

当时，f(x)的增区间是(0,+°<>)

当0VaV〃时，f(x)的增区间是(0,1)和隹，+8),减区间是(1,方

重要方法七|二次函数型(四)

主导函数类似于二次函数形式.

例如：f'(x)=(x+l)(ex—a)；

n

f'(x)=(x—a)cosx,x£(0,TI),a>Q；

//(x)=(2ax-l)/nx,xE(O,+<«)；

4.已知函数单调性，求参数范围

例L函数/(x)=£^N(a>0)为R上单调函数，求a的取值范围.

会、^西-2欧+1)

解：f(x)~(ax2+l)2

.函数y=ax2—2ax+l恒过点(0,1)

f(x)在R上单调

.'.f'(x)>0在R上恒成立，即ax?—2ax+120在R上恒成立

⑴当a=0时，符合题意

⑵当aVO时，不符合题意

⑶当a>0时，只需△=4。2—4a40,即0<a41

综上所述：a的取值范围为［0,1］

例2.函数加0=/秋+1+«»(9£/?)在［2,+8)上是单调函数，求a的取值范围.

解:尸(x)=\T+a

⑴若/(x)在[2,+回上是单调递增，

则f'M=^—^+a>0在[2,+8)上恒成立

AX

11

，a彳一JxG[2,+°<>)

令t=(,则y'—t,tG(O,1],则片[-，0)

:・a>0

⑵若f(x)在2+8)上是单调递减，

[2,+8)

则f'M=~X~~X2+a<0在上恒成立

11

，。方一丁xG[2,+°o)

111

令t=7，贝Uy=t2—t,tc(O,升则yd[一不0)

1

.,皿一疝

综上所述：aG(—8,—^]U[0,+°°)

注：以上两题是不明确函数是增函数还是减函数.

例3.函数Hx)=xe〃x在内单调递增，求k的取值范围.

解：f'(x)=(l+kx)ekx

•.»(x)=xekx在(一1,1)内单调递增，

：.f'(x)>0在(-1,1)内恒成立

，l+kx20初一1,1)内恒成立

即总I即3

例4.函数f(x)=/nx+x2—ax在定义域上为增函数，求a的取值范围.

解：f'(x)=~+2x—a

•.•/(X)在(0,+-)上为增函数，

.,.尸(x)=：+2x—应0在(0,+8)上恒成立

A

1

Aa<~+2x,x£(0,+°0)

当且仅当;=2x,即乂=错误!时，(错误!+2x)mM=2错误！

：.a<2y[2

ax

例5.函数f(x)=R1(a>0)在内单调递增，求b的取值范围.

解：,冈=许乔

由题意知，尸(x)20在(-1,1)上恒成立

：.x2~b<0,xG(-l,1)

b>x2,xd(—1,1)

：.b>l

例6.设f(x)=/nx+§,mGR,若对任意b>a>0,恒成立,求m的

XDU

取值范围.

解：.•・对任意b>a>。，恒成立,

，对任意44。，幽二冬皿@<。恒成立，

b-a

F(x)=f(x)—x=lnx+^—x在(0,+8)上递减

1m..1

•••尸(刈=:一下一140在(0，+一)上怛成反

AX

.".x-m­x2<0,即m2—x2+x,xG(0,+00)

.1

,,m-4

一—，一[xlnxx>a,一,—

w,,j,,e

例7.已知函数"X)=1_X2+2X_3X<A其中。出，如果对于任意xi,xi^R,

且X1VX2,都有HXI)V#X2),求a的取值范围.

解：g(X)=­X?+2X—3在(-8,1)递增，在(1,+8)上递减，且g(x)max=-2

令H(x)=xlnx,则H'(x)=lnx+l,

11

令H，(x)>0,则x>£；令Hlx)V0,则OVxV]

.”(x)在在(0,1上递减，E，+-)递增,

通过画图像可知，|<a<l

重要方法八|已知函数单调性求参数范围(一)

函数在某区间上单调，先结合主导函数判断是增或减.

f(x)在区间M上递增=7a)20在/W上恒成立

f(x)在区间M上递减=尸区40在/W上恒成立

例8.函数f(x)=-++%+2GX在存+可上存在单调递增区间，求a的取值范

围.

2

解：•.》(x)在仔+河上存在单调递增区间

2、

，存在xe(§,+8),使得r(x)=—x2+x+2a>0成“

21111

存在十8),使得。>/2一,x,gpo>(-x2--x)m，n>

:函数)/=$2-$在(|,十8)上的最小值为一2

1

，。〉一§

例9.函数#x)=/nx+(x—a)z,a£R,在[1,2]上存在单调递增区间，求a的取值范

围.

解：由题意知，

存在x£[l,2],使得尸(x)=:+2x—2a>0成立

A

存在x6[l,2],使得。〈方+x

,:y=/+x在[1,2]上单调递增

19

9

例10.函数f(x)="3+x2-x,mSR在[2,+2上存在单调递增区间，求m的取

值范围.

解：由题意知

//(x)=mx2+2x-l>0在[2,+8)有解

1—2x1]

存在X£[2,+8),使得m>[^=q)2—2Q)

令t=]，则y=t2—2t,te(0,

Vmin~X(2)=4

3

重要方法九|已知函数单调性求参数范围(二)

f(x)在区间M上存在单调递增=7区>0在M上有解Q尸(X)max>0

f(x)在区间M上存在单调递减寸尸(x)V0在M上有解=《(x)mmV0

例11•.函数f(x)=x3+(l—a)%2—a(a+2)x+b在(-1,1)上不单调，求a的取值范围.

解:广(x)=3x2+2(l—a)x—a(a+2)=(x-G0[3x+(a+2)p&(—l,1)上有零点

⑴错误!，解得：一1<。<一错误!或一错误!<a〈l

⑵错误!，解得:一5〈。<一错误!或一错误!

综上所述：—5,1)

例12.函数Hx)=x3+(k—l)x2+(k+5)x—l,kCR