2017-2018学年高中数学必修4全册学案含解析人教A版

2017^2018学年人教A版高中数学

必修4全册学案解析

目录

令第一章三角函数i.i.i任意角

令第一章三角函数1.1.2蝗制

令第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定

义

令第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及

其应用

令第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系

令第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一

令第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二

令第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象

令第一章三角函数L4.2正弦函数余弦函数的性质一

令第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二

令第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象

令第一章三角函数1.5函数y=Asinwx+(p的图象一

令第一章三角函数1.5函数y=Asinwx+(p的图象二

令第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用

令第二章平面向■2.1平面向■的实际背景及基本概念

令第二章平面向■2.2.1向■加法运算及其几何意义

令第二章平面向■2.2.2向■减法运算及其几何意义

令第二章平面向■2.2.3向■数乘运算及其几何意义

令第二章平面向■2.3.1平面向■基本定理

令第二章平面向■2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平

面向■的坐标运算

令第二章平面向■2.3.4平面向■共线的坐标表示

令第二章平面向■2.4.1平面向・数■积的物理背景及其含义

令第二章平面向,2.4.2平面向・数■积的坐标表示模夹角

令第二章平面向,2.5平面向・应用举例

令第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式

令第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1

令第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式2

令第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式

令第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换

1.1.1任意角

层析教材，新知无师自通

知识点,角的分类

7

［提出问题］

问题1:当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确.在调

整的过程中，分针转动的角度有什么不同？

提示：旋转方向不同.

问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作,

做上述动作时，运动员分别转体多少度？

提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°,顺时针方向旋转了900°.

［导入新知］

角的分类

1.按旋转方向

名称定义图形

正角按逆时针方向旋转形成的角上

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转形成的角-----A⑻

2.按角的终边位置

(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角;

(2)角的终边在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限.

［化解疑难］

1.任意角的概念

认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边.

(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、

负角和零角.

(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字.

①要明确旋转方向；

②要明确旋转角度的大小；

③要明确射线未作任何旋转时的位置.

2.象限角的前提条件

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

1

知识点二终边相同的角

［提出问题］

在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°,

390°,-330°.

问题1：这三个角的终边位置相同吗？

提示：相同.

问题2：如何用含30°的式子表示390°和-330°?

提示：390°=1X360°+30°,-3300=-1X3600+30°.

问题3：确定一条射线防，以它为终边的角是否唯一？

提示：不唯一.

［导入新知］

终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S=

{切户=a+h360°,4GZ},即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角a与整数

个周角的和.

［化解疑难］

所有与角。终边相同的角，连同角。在内可以用式子360°+a,AdZ表示，在

运用时需注意以下几点.

(1)A是整数，这个条件不能漏掉.

(2)a是任意角.

(3)公360°与a之间用“+”连接，如4•360°—30°,A6Z应看成4•360°

+(-30°),AGZ.

(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等

的角终边一定相同.

i0j颂3

象限角的判断

［例1］已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角,

并指出它们是第几象限角.

(1)-75°；(2)855°；(3)-510°.

［解］作出各角，其对应的终边如图所示：

2

(1)由图①可知：一75°是第四象限角.

(2)由图②可知:855°是第二象限角.

(3)由图③可知：-510°是第三象限角.

［类题通法］

象限角的判断方法

(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象

限角.

(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°〜360。范围内，转化后的角在第几象限，

此角就是第几象限角.

［活学活用］

在直角坐标系中，作出下列各角，在0°〜360°范围内，找出与其终边相同的角，并

判定它是第几象限角.

(1)360°；(2)720°；(3)2012°；(4)-120°.

解：如图所示，分别作出各角，可以发现：

(1)360°=0°+360°,(2)720°=0°+2X360°,因此，在0°〜360°范围内，这

两个角均与0°角终边相同.所以这两个角不属于任何一个象限.

(3)2012°=212°+5X360°,所以在0°~360°范围内，与2012°角终边相同的

角是212°,所以2012°是第三象限角.

(4)-120°=240°-360°,所以在0°~360°范围内，与一120°角终边相同的角是

240°,所以一120°是第三象限角.

呼终边相同的角解风

［例2］(1)写出与。=一1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一

720°W£V360°的元素万写出来.

(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.

3

y=0x

y--x

①②

(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.

［解］⑴与角。=—1910°终边相同的角的集合为

{£|£=一1910°+人360°,Aez}.

■720°W-V360。,

...一720°W-19100+k>360°<360°,

3636

故k=4,5,6.

4=4时，B=_\910°+4X360°=-470°.

〃=5时，£=一19100+5X360°=一110°.

A=6时，£=一1910°+6X360°=250°.

(2)①在0°-360°范围内，终边在直线y=0上的角有两个，即0°和180°,因此，

所有与0°角终边相同的角构成集合S={B|£=0°+"・360。，AeZ},而所有与180°

角终边相同的角构成集合W={£|£=180°+"・360°,kWZ},于是，终边在直线y=0

上的角的集合为5=61)£={0尸=八180°,ACZ}.

②由图形易知，在0°〜360°范围内，终边在直线y=-x上的角有两个，即135°和

315°,因此，终边在直线尸一x上的角的集合为5={尸|万=135°+4・360°,AGZ}U

{fi\^=315°360°,4GZ}={万|£=135°+A«180°,k^Z}.

③终边在直线y=x上的角的集合为{£|£=45°+A•180°,4GZ},结合②知所求角

的集合为5={£|£=45°+A«180°，4CZ}U{£|万=135°+A«180°,4dZ}={^|£

=45°+2A-90°,RWZ}U{£|£=45°+(2A+1)-90°,Z}={£I£=45°+

4•90°,A-GZ).

⑶终边落在如位置上的角的集合为{a|a=90°+45°+八360°,AGZ}={a1«

=135°+A«360°,A6Z},

终边落在切位置上的角的集合为{£|£=-30°+八360°,ASZ},

故阴影部分角的集合可表示为{a1—30°+A-360°WaW135°+A・360°,AeZ).

［类题通法］

4

1.常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.

2.区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界：

(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角a,£,写出所有与a,足终边

相同的角；

(3)用不等式表示区域内的角，组成集合.

［活学活用］

1.将下列各角表示为<z+A-360°(Aez,o°Wa<360。)的形式，并指出是第几象

限角.

(1)420°；(2)-495°；(3)10200.

答案：(1)420°=60°+360°第一象限角

(2)-495°=225°-2X360°第三象限角

(3)1020°=300°+2X360°第四象限角

2.已知角a的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角a的取值范围.

题型三确定〃。吟所在的象限

［例3］若。是第二象限角，则2。，£■分别是第几象限角？

［解］(1)：。是第二象限角，

/.90°+k>3600<a<180°+八360°(AGZ),

，180°+k'720°<2a<360°+k-720°(AEZ),

•••2a是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

(2)Va是第二象限角，

.,.90°360°<a<180°360°(%GZ),

5

a

・・・45。+4780。<y<90°+A*180°(MZ).

①当4=2〃(〃£Z)时，

45°+n•3600<y<90°+/;•360°(AGZ),

a

即了是第一象限角；

②当A=2"+1(〃WZ)时，

a

225°+n-360°<y<270°+n•360°(〃GZ),

a

即万是第三象限角.

a

故万是第一或第三象限角.

［类题通法］

1.na所在象限的判断方法

确定〃。终边所在的象限，先求出的范围，再直接转化为终边相同的角即可.

2.?所在象限的判断方法

已知角。所在象限，要确定角5■所在象限，有两种方法：

a

(1)用不等式表示出角一的范围，然后对〃的取值分情况讨论：被〃整除；被〃除余1;

n

被“除余2；……；被〃除余〃一1.从而得出结论.

(2)作出各个象限的从原点出发的〃等分射线，它们与坐标轴把周角分成4〃个区域.从

x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4〃个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就

aa

是根据a终边所在的象限确定一的终边所落在的区域.如此，一所在的象限就可以由标号

nn

区域所在的象限直观地看出.

［活学活用］

已知角a为第三象限角，试确定角2。，•分别是第几象限角.

答案：2。可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角孩•可能是第

二象限角或第四象限角

修补短板，拉分题一分不丢

6

金尊系列,

偏翘四/

1.角的概念的易错点

［典例］下列说法中正确的是()

A.三角形的内角必是第一、二象限角

B.第一象限角必是锐角

C.不相等的角终边一定不相同

D.若£=0+★•360°(AGZ),则。和£终边相同

［解析］90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限

角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确.对于D,

由终边相同的角的概念可知正确.

［答案］D

［易错防范］

1.若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，

不属于任何象限.若忽视此点，则易错选A.

2.锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它

不是锐角.若混淆这两个概念，则易误选B.

3.当角的范围扩充后，相差人360。JeZ)的角的终边相同.若忽视此点，易错选C.

4.解决好此类问题应注意以下三点：

(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容.

(2)弄清锐角和象限角的区别.

(3)对角的认识不能仅仅局限于0°〜360°.

［成功破障］

下列说法：

①锐角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是负角；

③第二象限角大于第一象限角；

④第二象限角是钝角；

⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角.

其中正确命题的序号为.

答案：①

10回屈,嗨自主演练，百炼方成钢

［随堂即时演练］

7

1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是（）

A.120°B.-120°

C.240°D.-240°

答案：D

2.与一457。角的终边相同的角的集合是（）

A.{a|0=457°+A*360°,AGZ）

B.{。|a=97°+^«360°,AeZ}

C.{a|a=263°+%•360°,AGZ}

D.{。|。=一263°360°,AGZ}

答案：C

3.下列说法中正确的序号有.

①一65°是第四象限角；②225°是第三象限角；

③475。是第二象限角；④一315°是第一象限角.

答案：①②③④

4.在0°-360°范围内与一1050°终边相同的角是,它是第象限

角.

答案：30。一

5.试写出终边在直线y=fx上的角的集合S,并把S中适合不等式一

180°Wa<180°的元素a写出来.

答案：S={a|a=120°+A«180°,k^Z}适合不等式一180°Wa<180°的元素

a为一60°,120°

［课时达标检测］

一、选择题

1.-435°角的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：D

2.终边在第二象限的角的集合可以表示为（）

A.{a|90°<^<180°}

B.{a|90°+k-180°<ff<180°+k>180°,AGZ}

C.{o|-2700+A*1800<<7<-180°180°,AGZ}

D.{a|-270°+4・360°<o<-180°+A-360°,AeZ}

答案：D

3.若a是第四象限角，则一a一定是（）

8

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案：A

4.集合1。=4・90°,MZ｝中各角的终边都在（）

A.x轴非负半轴上

B.y轴非负半轴上

C.x轴或y轴上

D.x轴非负半轴或y轴非负半轴上

答案：C

5.角a与角£的终边关于y轴对称，则。与£的关系为（）

A.。+£="•360°,kQZ

B.。+£=4・360°+180°,ACZ

C.。一£="・360°+180°,AeZ

D.。一£=360°，kJZ

答案：B

二、填空题

6.已知角。=一3000°,则与角。终边相同的最小正角是.

答案：240°

7.如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是度，分针所转成的角度是

________度.

答案：一5-60

8.已知角2。的终边在x轴的上方，那么。是第象限角.

答案.一或二

三、解答题

9.如果。为小于360。的正角，这个角。的4倍角的终边与这个角的终边重合，求

8的值.

解：由题意得40=360°,AeZ,

A36=k-360°,9=k-120°,

又0°V，V360°,；.。=120°或，=240°.

10.已知a,£都是锐角，且。+£的终边与一280°角的终边相同，a-£的终边

与670°角的终边相同，求角a,力的大小.

解：由题意可知，

a+£=-280°+A*360°,AGZ.

Va,£都是锐角，，0°<。+£<180°.

9

取A=l,得。+£=80°.①

a-£=670°+%•360°,"GZ,

「a,£都是锐角，

.*.-90°<a-j?<90°.

取衣=一2,得a—£=一50°.②

由①得a=15°,£=65°.

［能痂提硼题

11.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合.

解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得

(1){a|30°+4•360°Wa<150°+A・360°,AGZ}；

(2){a|1500+4•360°WaW390°+4・360°,AEZ).

10

1.1.2弧度制

层析教材，新知无师自通

知识点,角度制与弧度制

7

［提出问题］

问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？

提示：1°.

问题2：半径为1的圆的周长是2n,即周长为2n时，对应的圆心角是360°,那么

弧长为人时，对应的圆心角是多少？

提不：180°.

问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？

提示：确定.

［导入新知］

1.角度制与弧度制

(D角度制

①定义：用度作为单位来度量角的单位制.

②1度的角：周角的总作为一个单位.

oOU

(2)弧度制

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角.

2.任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是。

3.角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角。所对弧的长为/,那么，角。的弧度数的绝对值是|

_7

f

［化解疑难］

角度制和弧度制的比较

(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制.

(2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同.

(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大

小无关的值.

(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即”)不能省略，而用“弧度”作为单位

11

度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.

知识点二角度与弧度的换算

［提出问题］

问题1：周角是多少度？是多少弧度？

提不：360°,2n.

问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？

提示：180°,n.

问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？

提示：n=180°.

［导入新知］

1.弧度与角度的换算

角度化弧度弧度化角度

360°=2nrad2五rad=360°

180°=j_radnrad=180°

1rad=（攀）*=57.30°

1--rad^O.01745rad

loOlAl

2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

JIn2-3n5Ji

nnn

弧度0TTT~2

［化解疑难］

角度与弧度互化的原则和方法

(1)原则:牢记180°=>rad,

充分利用1°=7777rad,

LoU

1rad=(粤)进行换算.

(2)方法:

设一个角的弧度数为a,角度数为",

（180、n

则arad=.小。；rad.

知识点三弧度制下的扇形的弧长及面积公式

［导入新知］

扇形的弧长及面积公式

12

设扇形的半径为此弧长为/,。(0<a<2页)为其圆心角，则

a为度数a为弧度数

kaR

扇形的弧长I—1801=aR

naR11o

扇形的面积S~360S=-1R=-o#

［化解疑难］

扇形的弧长及面积公式的记忆

(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：Ia\=^l=r\

(2)扇形的面积公式5=权力与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作

高)，可以类比记忆.

锁定考向，考题千变不离其宗

角度与弧度的换算

［例1］把下列角度化成弧度或弧度化成角度:

(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)

解⑴72。=72X孟号

JI

(2)-300°--300X—

loU

⑶2=2-)。=(哪;

［类题通法］

角度与弧度互化技巧

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式nrad=180°是关键，由它可以得到：度数

五1

乂演=弧度数，弧度数Xk=度数.

［活学活用］

H。=爸，试比较。

已知［=15°,£=而，/=1，。=105°a,B,y,©,

的大小.

答案：r<0=(/>

13

题型二扇形的弧长公式及面积公式的应用

［例2］(1)己知扇形的周长为8cm,圆心角为2,则扇形的面积为cm2.

(2)已知一半径为A的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧

度？面积是多少？

［解］(1)4

(2)设扇形的弧长为/,由题意得2羽"=2斤+/,所以/=2(n—1)此所以扇形的圆心

角是，=2(n—1),

扇形的面积是沙

［类题通法］

弧度制下涉及扇形问题的攻略

(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=?r=Ja尸(其中/是扇形的弧长，r是扇形

的半径，。是扇形的圆心角).

(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求

哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是。为弧度.

［活学活用］

已知扇形的周长是30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？

最大面积是多少？

15225

答案：cm时，a=2,扇形面积最大，最大面积为一厂cm：

题型三,用弧度制表示角的集合

[例3]用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

⑴如题图①，•••330°角的终边与一30。角的终边相同,将一30°化为弧度,即

n

兀5兀

而75°=75'丽=五'

14

・・・终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为

n5n

02ke-丁＜。＜2左nkQZ

⑵如题图②，V30-=f,210。=等,这两个角的终边所在的直线相同，因此终边

在直线4?上的角为。kRZ,

o

又终边在y轴上的角为灯十方，kRZ,

从而终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为

71页

0k-si+—<+—>kHk

bZ

［类题通法］

用弧度制表示角应关注的三点

（1）用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度

与弧度的换算.注意单位要统一.

（2）在表示角的集合时，可以先写出一周范围（如一“〜"，。〜2”）内的角，再加上

2kw,A-GZ.

（3）终边在同一直线上的角的集合可以合并为｛x|x=。+4其，A£Z）;终边在相互垂直

JI

的两直线上的角的集合可以合并为卜X=a+在♦5，kUL•.

在进行区间合并时，一定要做到准确无误.

［活学活用］

以弧度为单位，写出终边落在直线尸一X上的角的集合.

3

答案：aa=-TI+AJI,kRZ

修补短板，拉分题一分不丢

等母令系列

度全^如^

1.弧度制下的对称关系

［典例］若角a的终边与角卷的终边关于直线尸入对称，且。6（—4-4”）,则

a=

15

［解析］如图所示，设角《的终边为以，/关于直线y=x对称的射线为阳,

0

则以如为终边且在0至I」2n之间的角为2,

O

JI

故以仍为终边的角的集合为aa=—+2kn,kEL.

o

•/a£(-4n,4n),

A-4IT<^~+2kn<4Ji(AeZ),

o

*吟(AGZ).

VAGZ,

:.k=-2,-1,0,1,

11n5nn7/

•n=--------——-----

••3'3'3'3.

11n5nn7n

［答案］"I-'—亍‘勺'T

［多维探究］

在弧度制下，常见的对称关系如下

(1)若。与万的终边关于x轴对称，贝|Ja+£=2An(AGZ)；

(2)若。与月的终边关于y轴对称，则。+万=(24+1)”(AGZ)；

(3)若a与£的终边关于原点对称，则a—£=(2幺+1)n(ASZ)；

(4)若。与万的终边在一条直线上，则a-B=k"UeZ).

［活学活用］

1.若a和万的终边关于x轴对称，则a可以用B表示为()

A.2左n+£(AreZ)

B.2kn-P(A£Z)

C.An+£(ASZ)

D.kx—。Jez)

答案：B

2.在平面直角坐标系中，。=一《，£的终边与。的终边分别有如下关系时，求£.

16

⑴若a,£的终边关于x轴对称；

⑵若。，£的终边关于y轴对称；

（3）若。，£的终边关于原点对称；

（4）若。，£的终边关于直线x+y=O对称.

2n

答案：（1）,ASZ

H

⑵£=一~—+2kn,AGZ

o

(3)fi=—+2kn,kH

o

JI

⑷£一+2"'AGZ

1sl血屈自主演练，百炼方成钢

［随堂即时演练］

1.下列命题中，错误的是（）

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1°的角是周角的含，1rad的角是周角的上

obUNH

C.1rad的角比1°的角要大

D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

答案：D

2.若。=-2rad,则a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：C

3.-135°化为弧度为,竽化为角度为

O

3

答案：一工兀660°

4.已知半径为12cm,弧长为8ncm的弧，其所对的圆心角为a,则与角。终边相

同的角的集合为.

答案："=弓"+2后，Asz}

3n

5.设角。=一570°,^=—

17

(D将。用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；

(2)将£用角度制表示出来，并在一720°〜0。之间找出与它有相同终边的所有角.

19H

答案：(1)——0在第二象限;

(2)£=108°；在一720°~0°之间与£有相同终边的角的大小为一612°和一252°.

［课时达标检测］

一、选择题

1.下列命题中，正确的是()

A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

B.1弧度是长度为半径长的弧

C.1弧度是1度的弧与1度的角之和

D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角

答案：D

2.1920°化为弧度数为()

1632

A.~B

o-T

l_6n32n

D.『

3o

答案：D

3.系是()

6

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角I).第四象限角

答案：B

4.圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()

JT2兀

A.~B

o-T

C.小D.2

答案：C

5.集合A{。WaW(2A+l)n,AGZ},g{a|-4W。・4},则尸00等于()

A.0

B.{a|—4WQW—n,或OWaW五}

C.{a|—4<a这4}

D.{a|0W。Wn}

答案：B

18

二、填空题

6.用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为.

答案：｛a+贝，AGZ)

7.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的5倍，则该弧所对的圆心角是

原来的倍.

答案：3

8a

8.若角。的终边与三人的终边相同，则在［0,2句上，终边与丁的终边相同的角有

□4

田生2n9n7n19n

答案：V'元‘V'To"

三、解答题

9.已知。=一800°.

(1)把a改写成£+2An(AGZ,0W£〈2n)的形式，并指出a是第几象限角；

(2)求Y，使7与。的终边相同，且一"I",+).

14

解：(1)V-8000=-3X360°+280°,280°=—n,

14n

二a=-800°=-r—+(-3)X2n.

y

14n

：。与角二一终边相同，。是第四象限角.

y

14JT

⑵・・•与。终边相同的角可写为24n+飞一，4£Z的形式，而了与。的终边相同,

14n

Jy=2k”+—^―,km.

(JiJiAn14Jin

又一")，句，,一万＜2衣兀+-^―〈万，kRZ,

入14n4n

解得"=一1,；./=—2n+—^―=——.

10.如图，动点只0从点4(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转T■弧

n

度，点。按顺时针方向每秒钟附弧度，求R。第一次相遇时所用的时间及R。点各自走

19

过的弧长.

JIJT

解：设只。第一次相遇时所用的时间是力，则力•三•+小一"r=2五，

O6

所以t=4(s),

即R0第一次相遇时所用的时间为4s.

尸点走过的弧长为F4-兀X4=一161”，0点走过的弧长为一2广兀义4=8彳几

JJJJ

11.如图，已知扇形的圆心角为120。，半径长为6,求弓形1力的面积.

。1202

解：7120°=777"=-n,

loUo

2

/.7=6X-n=4Ji,

AB的长为4n.

如图所示，作勿_L力昆有8〃姐义切=^><2X6cos30°X3=9小.

S弓形〃A=S扇形OAB_S^aw—12n

・・・弓形力"的面积为12n-9^3.

20

1.2.1任意角的三角函数

第一课时三角函数的定义

层析教材，新知无师自通

知识点一

［提出问题］

使锐角。的顶点与原点。重合，始边与X轴的非负半轴重合，在终边上任取一点只

RMLx轴于M设尸(x,y),\OP\-r.

问题1：角。的正弦、余弦、正切分别等于什么？

提小：sinacosatana

rrx

问题2：对于确定的角a,sina,cosa,tana是否随P点在终边上的位置的改

变而改变？

提示：否.

问题3：若|。|=1,则尸点的轨迹是什么？这样表示sina,cosa,tan。有何优

点？

提示：一点的轨迹是以原点。为圆心，以1为半径的单位圆，即夕点是单位圆与角。

终边的交点，在单位圆中定义sina,cosa,tan。更简便.

［导入新知］

1.任意角三角函数的定义

(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点。为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.

(2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

P(x,y),那么匕叫做a的正弦，记作sina,即sin。=匕工叫做a的余弦，记作cos

21

2.三角函数

正弦、余弦、正切都是以更为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函

数，它们统称为三角函数.

［化解疑难］

对三角函数定义的理解

(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个

比值的集合的对应.

(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围.

(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(%y)在终边上的位置无关,

只由角。的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.

知识点三

［提出问题］

问题1:若角。是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？

提示：若角。为第二象限角，则x<0,y>0,sina>0,cosa<0,tana<0.

问题2：当角。是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？

提示：sina<0,cosa>0,tana<0.

问题3：取角。分别为30°,390。，-330°,它们的三角函数值是什么关系？为什

么？

提示：相等.因为它们的终边重合.

问题4：取。=90°,-90°时，它们的正切值存在吗？

提示：不存在.

［导入新知］

1.三角函数的定义域

2.三角函数值的符号

cosatana

［化解疑难］

22

巧记三角函数值的符号

三角函