2016年中考数学压轴题及解析分类汇编

中考数学压轴题及解析分类汇编

2016年中考数学压轴题及解析分类汇编

2016中考数学压轴：相似三角形问题禽

2016中考数学压轴题函数相似三角形问题（一）

2016中考数学压轴题函数相似三角形问题（二）

2016中考数学压轴题函数相似三角形问题（三）

2016中考数学压轴：等腰三角形问题借

2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题（一）

2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题（二）

2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题（三）

2016中考数学压轴：直角三角形问题I之

2016中考数学压轴题函数直角三角形问题（一）

2016中考数学压轴题函数直角三角形问题（二）

2016中考数学压轴题函数直角三角形问题（三）

2016中考数学压轴：平行四边形问题a

2016中考数学压轴题函数平行四边形问题（一）

2016中考数学压轴题函数平行四边形问题（二）

2016中考数学压轴题函数平行四边形问题（三）

2016中考数学压轴：梯形问题，%

2016中考数学压轴题函数梯形问题（一）

2016中考数学压轴题函数梯形问题（二）

2016中考数学压轴题函数梯形问题（三）

2016中考数学压轴：面积问题'7

2016中考数学压轴题函数面积问题（一）

2016中考数学压轴题函数面积问题（二）

2016中考数学压轴题函数面积问题（三）

2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题（一）

例1、直线y=+l分别交x轴、y轴于4、8两点，△AOB绕点。按逆时针方向

旋转90。后得到△C。。，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.

（1）写出点4、B、C、。的坐标；

（2）求经过4、C、。三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

（3）在直线上是否存在点Q,使得以点2、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若

存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

个y

1-

o-?

图1

思路点拨

1.图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角.

2.用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标.

3.第(3)题判断/4BQ=90°是解题的前提.

4.△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点8的

位置关系分上下两种情形，点Q共有4个.

满分解答

(1)4(3,0),B(0,1),C(0,3),0(-1,0).

(2)因为抛物线^=以2+取+。经过43,0)、C(0,3)、£)(-1.0)三点，所以

9n+3Z?+c=0,a=-\

c=3,解得-b=2,

a-b+c=0.3.

所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=—(x-l)2+4,顶点G的坐标为(1,4).

(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB_LCD.因此AB_LBG,

即NABQ=90°.

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x,3x+l),那么BQ=Jx?+(3x>=土而x.

RtACOD的两条直角边的比为1:3,如果Rt△力BQ与RtZXCOD相似，存在两种情况:

①当些=3时，当第=3.解得x=±3.所以2(3,10),Q,(-3,-8).

BAV10

②当些=!时，然£=L解得X=±L所以cd,2），04（-l,o）.

BA371033-1343

图2图3

考点伸铁

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明二

是BQ="+（3x）2=土厢x.

我们换个思路解答第（3）题：

如图3,作GHJ_y轴，QN_Ly轴，垂足分别为H、N.

通过证明△40B名△BHG,根据全等三角形的对应角相等，可以证明N4BG=90°.

在RtABG/7中，sinZ1-—TL=，cosZ1=—"

V10Vio

①当丝=3时，BQ=3jl6.

BA

在RtZXBQN中，QN=BQ-sinN1=3，BN=BQ-cosNl=9•

当Q在8上方时，0（3,10）;当Q在B下方时，0（-3,-8）.

②当理=1时.，同理得到Q（L,2）,Q4（---°）＞

BA3333

k

例2、Rt^ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数旷=一（%。0）在第一

x

象限内的图像与BC边交于点。（4,m）,与4B边交于点E（2,n）,△BDE的面积为2.

(1)求机与〃的数量关系；

(2)当tan/4="!•时，求反比例函数的解析式和直线A8的表达式；

2

(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线尸。上，在(2)的条件下，如果△AE。

与△EFP相似，求点P的坐标.

思路点拨

1.探求m与n的数量关系，用m表示点8、D、E的坐标，是解题的突破口.

2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是如〃x轴.

3.如果△AE。与相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况.

满分解答

k4-in=k

(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数y=—的图像上，所以《‘

x[2n=k.

整理，得n=2m.

(2)如图2,过点E作垂足为H.在RtZXBEH中，tanZj?E,H=tanZ4=-,

2

EH=2,所以BH=1.因此0(4,m),E(2,2m),8(4,2m+l).

已知△BDE的面积为2,所以,8D-EH=L(/n+l)x2=2.解得m=l.因此D(4,

22

1),E(2,2),8(4,3).

k

因为点。(4,1)在反比例函数y=—的图像上，所以k=4.因此反比例函数的解析

x

式为y=—.

x

[3=42+。，1

设直线AB的解析式为y=kx+b,代入8（4,3）、E（2,2）,得＜解得A=一,

2=2%+》.2

b=l.

因此直线4B的函数解析式为y=；x+l.

图2图3图4

（3）如图3,因为直线丁=3》+1与y轴交于点F（0,1）,点。的坐标为（4,1）,

所以FD〃x轴，NEFP=NEAO.因此△4E0与△£■/；1「相似存在两种情况：

pAFF尺、尺

①如图3,当巴=££时，^=—.解得FP=I.此时点p的坐标为（1,1）.

AOFP2FP

PAFPFP

②如图4,当£2=上时，—=^.解得FP=5.此时点P的坐标为（5,1）.

AOEF2J5

考点伸机

本题的题设部分有条件“RtZVIBC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个

条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

1?

第（1）题的结论m与"的数量关系不变.第（2）题反比例函数的解析式为y=-一，

x

直线4B为y=；x-7.第（3）题FC不再与x轴平行，AAEO与AEFP也不可能相似.

图5

2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)

例3、如图1,已知梯形Q4BC,抛物线分别过点。(0,0)、4(2,0)、B(6,3).

(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

(2)将图1中梯形04BC的上下底边所在的直线。4、CB以相同的速度同时向上平移,

分别交抛物线于点。1、4、G、Bi，得到如图2的梯形O14&C1.设梯形01481cl的面积

为5,4、&的坐标分别为(xi，y。、的，玖).用含S的代数式表示X2—xi，并求出当S=36

时点4的坐标；

(3)在图1中，设点。的坐标为(1,3),动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的

速度沿着线段BC运动，动点Q从点。出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、

Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间

为3是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线48、x轴围成的三角形与直线PQ、直线48、

抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

图1图2

思陈点拨

1.第(2)题用含S的代数式表示X2—X1，我们反其道而行之，用X1，X2表示S.再注

意平移过程中梯形的高保持不变，即九一y1=3.通过代数变形就可以了.

2.第(3)题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的

位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.

3.第(3)题的示意图，不变的关系是：直线力B与x轴的夹角不变，直线48与抛物

线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与力B的交点G在x轴

的下方，或者假设交点G在x轴的上方.

满分解答

(1)抛物线的对称轴为直线x=l,解析式为)=」％2_顶点为“a,_1).

-848

(2)梯形014aCi的面积S=2(--1~^~1吆3=3(七+/)-6,由此得到

玉+%=—^2.由于%_%=3，所以丁2一丁1=一龙;—犬2—x；H—=3.整理，得

38484

-11172

(%)—玉)—(%2—=3.因此得到W-X=.

I+%,=14,\x,=6,

当S=36时，21解得।此时点4的坐标为（6,3）.

-X.=2.x,=8.

(3)设直线AB与PQ交于点G,直线48与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴

交于点F,那么要探求相似的△G/F与△GQE,有一个公共角NG.

在△GEQ中，NGEQ是直线48与抛物线对称轴的夹角，为定值.

在尸中，NG4F是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且NGEQWNGAF.

因此只存在NGQE=/G4尸的可能，△GQEs^GAF.这时NG4F=/GQE=NPQD.

由于tanNGAE=3,tan=—=—＞所以』=」一.解得f=卫.

4QP5-t45-t7

图3图4

例4、如图1,已知点4(-2,4)和点8(1,0)都在抛物线y=〃a2+2〃a+〃上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述抛物线，记平移后点4的对应点为H,点B的对应点为夕，若

四边形44,B'B为菱形,求平移后抛物线的表达式；

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线48'的交点为C,试在x轴上找一个点D,使

得以点夕、C、。为顶点的三角形与△ABC相似.

图1

思路点拨

1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色.第(1)题用在待定系数法

中；第(2)题用来计算平移的距离；第(3)题用来求点B'的坐标、AC和B'C的长.

2.抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变.

3.探求△4BC与△夕CD相似，根据菱形的性质，ZBAC=ZCB'D,因此按照夹角

的两边对应成比例，分两种情况讨论.

满分筹签

(1)因为点4(-2,4)和点B(l,0)都在抛物线y=+2"?x+"上，所以

[4m-4m+n-4,融俎4A

i解得加=——，«=4.

[m+2m+"=0.3

(2)如图2,由点4(-2,4)和点B(l,0),可得4B=5.因为四边形B'B为菱

形，所以2〃=B'B=AB=5.因为＞=一&，-9》+4=-々*+1『+3,所以原抛

333V73

物线的对称轴x=-l向右平移5个单位后，对应的直线为x=4.

因此平移后的抛物线的解析式为y=-g(x-4)2+g.

图2

(3)由点4(-2,4)和点B'(6,0),可得4B'=40.

如图2,由AM〃CM可得力£=勺£,即2=竺£.解得81=有.所以

B'MB'A846

AC=345.根据菱形的性质，在△ABC与CD中，NBAC=NCB'D.

①如图3,当空=老&时,5=6

解得8'。=3.此时。。=3,点。的坐

ACB'D运一加'

标为(3,0).

ADB'DB'D513

②如图4,当丝•时,一二解得8'。=—.此时OD=—,点。的

ACB,C3V533

13

坐标为(一，0).

3

图3图4

考点伸展

在本题情境下，我们还可以探求aB'CD与AABB'相似，其实这是有公共底角的两个

等腰三角形，容易想象，存在两种情况.

我们也可以讨论aB'CD与4CBB'相似，这两个三角形有一组公共角NB,根据对应

边成比例，分两种情况计算.

2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)

例5、如图1,抛物线经过点4(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上的一个动点，过P作PMLx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以

4、P、”为顶点的三角形与△04C相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存

在，请说明理由；

(3)在直线4c上方的抛物线是有一点。，使得△DCA的面积最大，求出点。的坐标.

思路点拨

1.已知抛物线与X轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.

2.数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.

3.按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.

4.把△DC4可以分割为共底的两个三角形，高的和等于。4

满分斛答

(1)因为抛物线与x轴交于4(4,0)、B(1,0)两点，设抛物线的解析式为

y=a(x—1)(*-4),代入点C的坐标(0,-2),解得。=一：.所以抛物线的解析式为

y=-^(x-l)(x-4)=-^x2+|x-2.

(2)设点P的坐标为(x,-工(x—1)(8-4)).

①如图2,当点P在x轴上方时，l<x<4,PM=--(x-l)(x-4),AM=4-尤.

2

AI\4An--(x-l)(x-4)

如果——=—=2,那么'------------=2.解得x=5不合题意.

PMCO4-x

此时点P的坐标为(2,1).

②如图3,当点P在点4的右侧时，x>4,PM=-(x-l)(x-4),AM=x-4.

2

—(x—l)(x—4)

解方程2-----------=2,得尤=5.此时点P的坐标为(5,-2).

x-4

Ifr-iyr-d)

解方程2-----------=-,得x=2不合题意.

x-42

③如图4,当点P在点B的左侧时，x<l,PM=-(x-l)(x-4),AM=4-x.

2

:(x-1)(九-4)

解方程2-----------=2,得x=—3.此时点P的坐标为(—3,—14).

4-x

-(x-l)(x-4).

解方程2-----------=—，得x=0.此时点P与点。重合，不合题意.

4—x2

综上所述，符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

图2图3图4

(3)如图5,过点。作x轴的垂线交4C于£.直线AC的解析式为y=；x—2.

15

设点。的横坐标为m(l<m<4),那么点。的坐标为(加,——加0~+—加一2),点E的

22

坐标为(717,-777-2).所以DE=(-—m2+—m-2)-(―m-2)=--m2+2m.

22222

因此Sg4c=g(-g〃"+2机)x4=-m2+4m=~(m-2)2+4.

当加=2时，△DC4的面积最大，此时点。的坐标为(2,1).

图5图6

考点伸展

第(3)题也可以这样解：

如图6,过。点构造矩形04MN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△

CDN和△4DM的面积.

设点。的横坐标为(m，n)(1<m<4),那么

S=—(2〃+2)x4-—m(Az+2)-—〃(4-m)=-m+2〃+4.

222

1,5,

由于〃=—m~+—m—2,所以S=—〃暝+4机.

22

3

例6、如图1,△力BC中，715=5,AC=3,cosA=—.。为射线加上的点(点D

10

不与点B重合)，作DE//8C交射线。于点E..

(1)若CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2)当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3］当点。在AB边上时,BC边上是否存在点尸，使△4BC与相似？若存在，请

求出线段8F的长；若不存在,请说明理由.

AAA

c」「

B

图1备用图备用图

思路点拨

1.先解读背景图，△力BC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的也是等

腰三角形.

2.用含有x的式子表示3D、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置

不同，DE、MN表示的形式分两种情况.

3.求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符

合题意.

4.第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我

们轻松解题.

满分斛答

AH3

(1)如图2,作力C,垂足为点H.在中，AB=5,cosA=——=—

AB10

31

所以4H=-=-4C.所以垂直平分AC,/\ABC为等腰三角形，AB=CB^5.

22

ADArs

因为CE〃BC,所以——=—；,即2于是得到丁=—x,(x>0).

DBECyx3

网，即匹=归!

(2)如图3,图4,因为DE//BC,所以---=----,----

BCACBCAC53

*7因此小=卡,圆心距皿二~.

图2图3图4

在。M中，=—BD=—y=—x,在ON中，=—CE=—x.

M226N22

①当两圆外切时，2》+!》=空二©.解得X=型或者X=—1O.

62613

如图5,符合题意的解为％=^,止匕时。£=理二工="

13313

②当两圆内切时，

626

当x<6时，解得x=」，如图6,此时E在G4的延长线上，£>£=5(X-3)=15.

737

当x>6时，解得x=10,如图7,此时E在。1的延长线上，0匹=5('-3)=更

33

图5图6图7

(3)因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角

形.

如图8,当以E、尸为△ABC的三边的中点时，OE为等腰三角形OEF的腰，符合题意,

此时BF=2.5.根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF=4.1.

125

如图9,当DE为等腰三角形。EF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时BF=——.

34

图8图9图10图11

考点伸展:第(3)题的情景是一道典型题，如图10,如图11,4H是△ABC的高，。、E、F

为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形.

例7如图1,在直角坐标系xQy中，设点A(0,t),点Q(t,b).平移二次函数

y=-的图象，得到的抛物线尸满足两个条件：①顶点为Q：②与x轴相交于8、C两点

(IOBI<IOC|),连结4B.

(1)是否存在这样的抛物线F,使得=|0卦|。。］?请你作出判断，并说明理由；

3

(2)如果4Q〃BC,且tan/4BO=5，求抛物线产对应的二次函数的解析式.

思路点拨

1.数形结合思想，把=|。印］。。|转化为

2.如果AQ〃BC,那么以。4、4Q为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t=b.

3.分类讨论tan/ABO=3,按照4B、C的位置关系分为四种情况.4在y轴正半

轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；4在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和

两侧两种情况.

满分解答

(1)因为平移>=—a2的图象得到的抛物线尸的顶点为Q(t,b),所以抛物线产对

应的解析式为y=-t(x-/)2+b.

因为抛物线与X轴有两个交点，因此仍>0.

令y=0,得OB=V,OC=t+b

所以|OB|-|OC|=|(-*)(/+*)b|=|〃一2b|=r2=QA2.即/一2=±『.所

以当人=2/时，存在抛物线F使得|OA『=|OB|•|0C|.

(2)因为4Q〃BC,所以t=b,于是抛物线F为y=T(x-f)2+f.解得

X]=t—1,x2=f+1.

①当/>0时，由|O8|<|OC|,得8«-1,0).

如图2,当♦—1>0时，由tanNA30=2=2n=」一,解得，=3.此时二次函数

2\OB\t-\

的解析式为y=-3/+18x-24.

如图3,当1一1<0时，由tanNABO=3=3=」一，解得t=3.此时二次

2\OB\-/+15

图2图3

3

②如图4,如图5,当1<0时，由|03|<|0C|,将一/代工可得z=-g,/=—3.此

时二次函数的解析式为y=|/一s或y=3/+18X+24.

图4图5

考点伸展

第（2）题还可以这样分类讨论：

（JA3

因为AQ//BC1所以t=b,于是抛物线产为y=—f（x—，）-+「.由tanNA80=-----=一,

2

得08=一。4.

3

2,

①把0）代入y=+r,得,=±3（如图2,图5）.

23

②把3（—10）代入y=T（无一f）~+♦,得，=±q（如图3,图4）.

2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题（一）

例1、如图1,已知正方形。力BC的边长为2,顶点2、C分别在x、y轴的正半轴上，

M是BC的中点.P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交48的延长线于点D.

（1）求点。的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△4P。是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、8三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点0作直线ME的垂线，

垂足为"（如图2）.当点P从。向C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过

的路长（不必写解答过程）.

思路点拨

1.用含m的代数式表示表示的三边长，为解等腰三角形做好准备.

2.探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解.

3.猜想点”的运动轨迹是一个难题.不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt

△OHM的斜边长。”是定值，以OM为直径的圆过点H、C.

满分解答

（1）因为PC〃DB,所以上■=也=些=1.因此PM=DM,CP=BD=2—m.所以

BDDMMB

AD=4—m.于是得到点。的坐标为（2,4-/71）.

（2）在△APD中，AD2=（4-m）2,AP2=m2+4,PD~=（2PA/）2=4+4（2-//i）2.

①当4P=4。时，（4一加）2="2+4.解得m=3（如图3）.

2

②当R4=PD时，/+4=4+4（2-朋）2.解得团=_!（如图4）或加=4（不合题意，

3

舍去）.

③当D4=DP时，（4-«t）2=4+4（2-，"）2.解得m=2（如图5）或根=2（不合题意，

3

舍去）.

综上所述，当△力PD为等腰三角形时，m的值为3,2或2.

233

（3）点H所经过的路径长为91乃.

4

考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单:

①如图3,当4P=40时,4"垂直平分PD,那么△PCMs^MBA.所以1=丝=1.因

CMBA2

此PC=—>m=—■

22

②如图4,当R4=P。时，P在4。的垂直平分线上.所以。4=2P0.因此4-m=2m.解

得心=土

3

第（2）题的思路是这样的：

如图6,在Rt^OHM中，斜边0M为定值，因此以0M为直径的。G经过点H,也就是

说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图7,P与。重合时，是点H运动

的起点，NCOH=45°，NCGH=90°.

图6图7

例2如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数),=gx的图象交于点4,且

与x轴交于点B.

(1)求点力和点8的坐标；

(2)过点/作24cLz轴于点C,过点8作直线〃/y轴.动

点P从点。出发，以每秒1个单位长的速度，沿。一C—A工;=_,+7八='

的路线向点4运动；同时直线/从点B出发，以相同速度\/3-

向左平移，在平移过程中，直线/交x轴于点R,交线段B4\/

或线段A。于点Q.当点P到达点4时，点P和直线/都

停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为，秒./

①当t为何值时，以4、P、R为顶点的三角形的面积力2、

为8?

②是否存在以力、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在,

请说明理由.

思路点拨

1.把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题.

2.求"PR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上，P在上运动

时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.

3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论，点尸的每一种位置又要讨

论三种情况.

满分解答

y=一工+7,

(1)解方程组.4得"‘所以点4的坐标是(3,4).

y=/[y=4.

令y=-x+7=0,得x=7.所以点B的坐标是(7,0).

(2)①如图2,当P在OC上运动时，0Wt<4.由S=S梯形。朋―S△心—SAMR=8,

得一(3+7T)X4——x4x(4-f)——xf(7-f)=8.整理，得产-8f+12=0.解得t=2或t=6

222

(舍去).如图3,当P在。1上运动时，的最大面积为6.

因此，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

图2图3图4

②我们先讨论P在0C上运动时的情形，0Wt<4.

如图1,在△AOB中，ZF=45°,ZAOB>45°,0B=7,4B=4五,所以0B>

AB.因此N04B>/40B>/B.

如图4,点P由。向。运动的过程中，OP=BR=RQ,所以PQ〃x轴.

因此N4QP=45°保持不变，NP4Q越来越大，所以只存在NAPQ=NAQP的情况.

此时点4在PQ的垂直平分线上，OR=2G4=6.所以BR=1,t=l.

我们再来讨论P在C4上运动时的情形，4Wt<7.

在△4PQ中，cosNA=g为定值，AP=1-t,AQ=OA-OQ=OA--OR=-t~—•

如图5,当AP=4?时，解方程7T=3—型，得£=色.

338

如图6,当QP=Q4时，点Q在P4的垂直平分线上，4P=2(0R-0P).解方程

7-f=2[(7-r)-(f-4)l-得f=5.

如7,当P2=PQ时，那么cosNA=------因此AQ=2APcosNA.解方程

AP

520%、3z226

—t-----=2(7-z)x—,得St-•

33543

综上所述，C=1或B或5或些时，△APQ是等腰三角形.

843

图5图6图7

考点伸展

当P在。1上，QP=Q4时，也可以用AP=2AQcosNA来求解.

2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)

例3如图1,在直角坐标平面内有点4(6,0),8(0,8),C(—4,0),点M、N分别为线

段4c和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向4方向作匀速运动，点

N以5个单位长度/秒的速度自人向B方向作匀速运动，MN交OB于点P.

(1)求证：MN：NP为定值：

(2)若ABNP与AMNA相似，求CM的长；

(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长.

图1

思路点拨

1.第(1)题求证MN：NP的值要根据点N的位置分两种情况.这个结论为后面的计

算提供了方便.

2.第(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直

角三角形时才可能相似.

3.第(3)题探求等腰三角形，要两级(两层)分类，先按照点N的位置分类，再按

照顶角的顶点分类.注意当N在力B的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况.

4.探求等腰三角形BNP,N在AB上时，NB是确定的，把夹NB的两边的长先表示出

来，再分类计算.

满分解答

(1)如图2,图3,作NQLx轴，垂足为Q.设点M、N的运动时间为t秒.

在RtZVINQ中，AN=5t,NQ=4t,AQ=3t.

在图2中，QO=6-3t,MQ=10-5t,所以MN：NP=MQ：Q0=5：3.

在图3中，QO=3t-6,MQ=5t-10,所以MN：NP=MQ：Q0=5：3.

(2)因为△BNP与△MM4有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一

个钝角三角形，要么是两个直角三角形.只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似.

如图4,△BNPs/\MNA,在Rt/VIMN中，4上=3,所以5f=3.解得

AM510-2r5

-CMo|Q-

图2图3图4

网,OPMPOP2上“八”8

(3)如图5,图6,图7中，一，即nn—.所以OP—t.

QNMNAt55

Q

①当N在AB上时在ABNP中,NB是确定的，BP=8一一t,BN=10-5t.

5

oi()2()

(I)如图5,当BP=BN时，解方程8—2/=10-5/,得/=、.止匕时CM=，.

51717

解方程48_。j45

(II)如图6,当NB=NP时，BE==《(10—5",得/=1.此