2022届云南省西双版纳州高三下学期4月第二次适应性测试数学（文）试题（解析版）

绝密★启用前西双版纳州2022届高三下学期4月第二次适应性测试数学（文科）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．考生作答时请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．已知i是虚数单位，若，，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若是钝角且，则（）A．B．C．D．4．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（）A．B．C．D．5．若正四棱锥PABCD的所有棱长均相等，E为PD中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子个数为（）A．15B．16C．18D．217．设a，，则“”是“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知圆：，圆：，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（）A．B．C．D．10．已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．11．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t后的温度T将满足，其中是环境温度，h称为半衰期．现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（）（，）A．12B．14C．16D．1812．已知函数，，则函数的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，，若，则实数．14．若函数，的最小正周期为，则正实数．15．已知数列的前n项和为，满足，．则．16．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，AB是下底圆面直径，若点C是下底面圆周上的动点，点D是上底面内的动点，则四面体CABD的体积最大值为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在①；②；从①②中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．已知△ABC中内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若．（1）求内角A的大小；（2）设，，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）我国是一个水资源严重缺乏的国家，2021年全国约有60%的城市供水不足，严重缺水的城市高达16.4%．某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照，，…，分成5组，制成了如下频率分布直方图．（1）设该市共有20万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12（t）的用户数；（2）若该市政府希望使85%的居民用户月均用水量不超过标准x（t），试估计x的值（精确到0.01）；（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下：级差水量基数x（单位：t）水费价格（元/t）第一阶梯1.4第二阶梯2.1第三阶梯2.8小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，且，，，E为PD的中点．（1）求证：平面ACE；（2）求四棱锥PABCD的侧面积．20．（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线斜率为0．（1）求b的值；（2）若函数的极大值为，证明：．21．（本小题满分12分）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，（1）求抛物线C的方程；（2）过曲线：上一点P引抛物线的两条切线，切点分别为AB，，求△OAB的面积的取值范围（O为坐标原点）．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题记分。22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值．23．（本小题满分10分）已知函数．（1）当，时，解不等式；（2）若函数的最小值是2，证明：．西双版纳州2022届高三下学期4月第二次适应性测试数学（文科）参考答案1．【答案】D【解析】依题意，，所以，故选D．2．【答案】D【解析】依题意，复数对应的点是，故选D．3．【答案】A【解析】因为是钝角，所以．则．4．．【答案】B【解析】不妨用表示两次投掷的基本事件，其中x代表第一次投掷的点数，y代表第二次投掷的点数．故所有投掷的结果所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），……，（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1）（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15种．所以第一次点数大于第二次点数的概率．故选B．5．【答案】D【解析】如图，连接AC，BD，交于点O，则O为BD中点．又E为PD中点所以．因此CEO或其补角为所求角．设正四棱锥棱长为2，则，，，所以，故选D．6．【答案】C【解析】设第一个人分得橘子最少的人分到的橘子个数为，则．解得，．故分得橘子最多的人所得的橘子个数是18．7．【答案】A【解析】在R上递减．若，则，故，充分性成立；若，则，故，故．故必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选A．8．【答案】B【解析】由得．因为两圆的半径均为1，则，则即．所以点P的轨迹方程为．所以点P的轨迹方程为．9．【答案】A【解析】由程序框图，其执行结果如下：（1），：，，执行循环体；（2），：，，执行循环体；（3），：，，执行循环体；（4），：，，执行循环体；（5），：，，跳出循环体，输出；则框内条件应为．10．【答案】C【解析】设椭圆右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则．因为，可得．所以，则，．由余弦定理可得即，故椭圆的离心率，故选C．11．【答案】C【解析】依题意可令，，，，代入式子得：，解得．又把代入式子得，则，∴．故选C．12．【答案】B【解析】依题意函数，，则函数在上递增，在上递减．因此在上，．故选B．13．【答案】【解析】易得，因为．所以解得．14．【答案】2【解析】，所以解得．故答案为：2．15．【答案】160【解析】因为，当时，两式相减化简得：．当时，，，解得．则．16．【答案】【解析】由题意得圆台高为，所以动点D到圆面的距离为定值，因为动点C到AB的最大距离为2，则．17．（本小题满分10分）解：（1）若选①由正弦定理及【说明】①写出正弦定理正确形式，判1分②正弦定理形式错误0分得【说明】①直接得到边角互化的正确等式判1分，②边角互化的其他错误结论判0分则．【说明】①写清楚判1分，②边角互化的其他错误结论判0分得．【说明】①写清楚，判2分，②或者其他错误结论判0分因为，所以．【说明】①结论正确得到，判结论分1分，②结论正确得到等其他错误答案判结论分1分．若选③由得．由正弦定理【说明】①写出正弦定理正确形式，判1分②不写得，只写正弦定理判1分。得．【说明】①边角互化得到．判1分②边角互化错误判0分因为所以．【说明】①不写清楚，或者，只要化简得到，判1分②化简得不到或者等价形式判0分即．【说明】①能体现辅助角公式得到，判2分；②得其他形式例如或者其他错误结论判0分。因为，所以得．【说明】①书写规范：因为，所以得.判1分；②不写因为，所以直接下结论得到．判1分；③只写．判1分（2）由，及正弦定理且，得．【说明】①第二问只写对正弦定理公式不带入具体数据，判0分；②直接带入数据得到正确表达式，判1分化简得．【说明】①化简得到，判1分；②化简得到其他非的正确等价形式判0分因为，则或．【说明】①不写因为，写对了或，判1分②只写或其中一个判0分．若则．则.若则．则．所以△ABC的面积为或．【说明】①写对了三角形面积公式判1分；②分类讨论后能得到两个正确答案并作答正确判3分；③分类讨论过程正确，结论正确，未作答△ABC面积为或．扣结论分1分，判2分。18．（本小题满分10分）解：（1）由频率分布直方图可得．解得．【第1、2分说明】①写清楚（频率/组距）*组距之和等于1或体现概率和为1的其他等价形式，结果正确判2分②概率之和为1的式子列正确，结果错误判1分。③若以“”形式书写：列式和结果都正确判2分；列式正确结果错判1分，列式错结果错判0分。居民用户月均用水量不超过12（t）的频率为．所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12（t）的用户数为：（万）；【第3、4分说明】①第一个列式结果0.8正确，结果写了16不写单位判2分②若书写为“”：结果正确判2分，列式对结果错判1分③第一个结果“0.8”正确，“16”的结果错判1分④第一个结果“0.8”错误判0分（2）由频率分布直方图知居民用户月均用水量不超过12（t）的频率为：0.80．月均用水量不超过16（t）的频率为0.92．【第5分说明】①过程中只体现正确答案“0.92”或其正确的分式形式，不体现“0.8”判1分。②过程中只体现正确答案“0.8”，不体现“0.92”判0分。则85%的居民用户月均用水量不超过的标准．故．【第6、7分说明】．①过程中不说明“”．直接列出“”、“”、“”等正确式子判2分。②过程中体现了“”，列式错误判1分。③过程中不体现“”，列式错误判0分。解得，即x的值为13.67（t）．【第8分说明】①答案不写单位不扣分。②“13.67（t），13.67”以外的其他结果判0分。（3）因为．【第9分说明】①过程中体现了“19.6”及“32.2”或正确的分式形式，判1分。②只体现“19.6”或“32.2”的单边数据的判0分③“19.6”、“32.2”两个数据都没有的判0分所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费．设小明家上个月的用水量为m（t），由．【第10、11分说明】①过程中不说明“在第二阶梯收费”．直接列出正确式子的判2分。②过程中体现了“在第二阶梯收费”，但列式错误判1分。③过程中不说明“在第二阶梯收费”，且列式错误判0分。得（t）．所以小明家上个月的用水量为18（t）．【第12分说明】①答案正确得小明家上个月的用水量为18（t），18，判1分；②结果错误，判0分。19．（本小题满分10分）解：（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，【说明：作图，给1分】因为底面ABCD是矩形，所以O为BD中点．【说明：说出O为BD中点，给1分】又E为PD中点，所以．【说明：能写出即可给这2分】又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．【说明：如果没有写出平面ACE，扣1分；只缺平面ACE，不扣分】（2）因为底面ABCD，所以，又底面ABCD是矩形，，且，所以平面PAB．所以．同理，平面PAD．所以．所以侧面均为直角三角形．【说明：只要考生能说清楚这几个侧面三角形是直角三角形，有过程（不一定完整）即可给这3分；如果不能全对，写对两个给1分，写对三个给2分】因为，，，所以．【说明】这两条线段长求对1条给1分，如果考生没直接写出，但是在计算面积时用对了也不扣分。所以四棱锥P-ABCD侧面积【说明：结论正确，给1分】【第（2）问另一写法】（2）因为底面ABCD，所以，又底面ABCD是矩形，，且，所以平面PAB．所以．同理，平面PAD．所以．所以侧面均为直角三角形【说明】只要考生能写清楚这四个侧面三角形是直角三角形，有过程（不一定完整）即可给这3分；如果不能全对，写对两个给1分，写对三个给2分。因为，，，所以，，，，【说明】如果考生分别求4个侧面的面积，对两个或三个给1分，对四个给2分。所以四棱锥P-ABCD侧面积．【说明】结论正确，给1分。20．（本小题满分10分）解：（1）依题意，【说明】求导全对给2分，在求导不全对的情况下，以下情况可以给1分：①写对幂函数法则公式或按幂函数法则计算正确；②写对以e为底的对数函数的求导法则公式或按以e为底的对数函数的求导法则计算正确．由题设知【说明】没有出现这个式子，出现这个式子也给1分．解得．（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知．证明：①若，则当时；当时．故在单调递增在单调递减．【说明】单调区间和对应的单调性全对就得1分，没有写不扣分．此时有唯一极大值．令，解得与矛盾，故舍去．【说明】这一分给在能利用函数的极大值说明矛盾．不一定要出现“”．②若，则，当时；当时；当时．故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．【说明】①单调区间和对应的单调性全对就得1分，没有写不扣分．②此处不能出现并集符号，如、“或”，均不能给这1分．此时有唯一极大值．令，解得与矛盾，故舍去．【说明】这一分给在能利用函数的极大值说明矛盾．不一定要出现“”．③若，则，当时，，故在上单调递增无极大值【说明】单调区间和对应的单调性全对即给1分，没有写不扣分．④若时，则，当时；当时，，当时．故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．此时有唯一极大值．【说明】这一分给在能得到函数的极大值“”令，化简得（*）【说明】这一分给在建立方程“”．解法一：令，若，则．记函数，，则在其定义域上恒成立，所以在其定义域上单调递增，因为，，所以在区间内存在零点使得方程（）成立．所以，所以．【说明】这一分给判断的单调性及判定两个端点函数值的符号正确．解法二：令，若，则．记函数，，则在其定义域上恒成立，所以在其定义域上单调递增，因为，，所以在区间内存在零点使得方程（）成立所以，所以．【说明】这一分给判断的单调性及判定两个端点函数值的符号正确．21．（本小题满分12分）解：（1）依题意得【说明】只要在解答过程中体现了焦点坐标均给这1分。设，由抛物线性质，可得【说明】得到点M的纵坐标就给这1分。因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心纵坐标为1．由已知圆半径也为1，据此可知该圆与x轴相切于点故圆心纵坐标为1．则【说明】只要写对点M的坐标就给这1分。代入抛物线方程得，所以．所以抛物线C的方程为．【说明】出现抛物线方程就给这1分。（2）在曲线：上任取一点，设切