2022-2023学年高二数学上学期期中期末高效复习课5第一章空间向量与立体几何章节综合检测（新高考题型提高卷）Word版含解析

5第一章空间向量与立体几何章节综合检测（新高考版提高卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2022·全国·高二课时练习）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由图形结合分析三个向量共面，不构成基底，故选：C2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】连接OM，ON，则．故选：A．3．（2022·全国·高二单元测试）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角点的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】如图，以矩形的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，∵四边形为矩形，和都是正三角形，∴平面，且是线段的垂直平分线.设，则，∴，∴，∴，∴异面直线与所成的角为.故选：A4．（2022·全国·高二课时练习），若三向量共面，则实数（）A．3B．2C．15D．5【答案】D【详解】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．5．（2022·全国·高二专题练习）在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱中，若，点是的中点，，，，，，，，设平面的法向量为，，，，取，则，点到平面的距离．故选：A．6．（2022·全国·高二单元测试）已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（）A．当时，的周长最小B．当λ=0时，三棱锥的体积最大C．不存在λ使得AM⊥MND．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得【答案】B【详解】当时，是的中点，,当时，，,故当时的周长并不是最小的.故A错.当λ=0时，,只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对.当是中点时，平面,又平面，则，故C错.取中点为,则平面,以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为,故设平面的法向量为所以令，则，故，故D不对.故选：B7．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】如图示,设处为沿翻折后的位置，以D为坐标原点，DA,DC分别为x,y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设，由于,故，而，由于,故，则，即；又由在翻折过程中存在某个位置，便得，不妨假设,则，即，即，当将翻折到如图位置时，位于平面ABCD内，不妨假设此时，设垂足为G,作AD的延长线，垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上，DF的长最大，a取最小值，由于，故,所以,而,故，又,故为正三角形，则,而,故,则，故，，则，故的取值范围是，故选：A8．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以，为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．为钝角D．在方向上的投影向量为【答案】BD【详解】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.10．（2022·江苏·淮海中学高二开学考试）如图，在棱长为1的正方体中（）A．与的夹角为B．二面角的平面角的正切值为C．与平面所成角的正切值D．点到平面的距离为【答案】BCD【详解】如图建立空间直角坐标系，则，∴，，即，与的夹角为，故A错误；设平面的法向量为，，所以，令，则，平面的法向量可取，二面角的平面角为，则，所以，故B正确；因为，设与平面所成角为，则，故C正确；因为，设点到平面的距离为，则，故D正确.故选：BCD.11．（2022·黑龙江·哈九中高二开学考试）已知空间三点，设.则下列结论正确的是（）A．若，且，则B．和的夹角的余弦值C．若与互相垂直，则k的值为2；D．若与z轴垂直，则，应满足【答案】BD【详解】依题意，，，对于A，因，而，且，则或，A不正确；对于B，，B正确；对于C，因与互相垂直，则，解得或，C不正确；对于D，，z轴的一个方向向量，依题意，，即，D正确.故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（）A．B．平面C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为【答案】BCD【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，所以，由平面，得，即，化简可得：，所以动点P在直线上，对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；对于选项C：，C选项正确；对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量、、满足，，，，则与的夹角为_________．【答案】##60°【详解】因为，所以，所以，因为，，，所以，所以，因为，所以，故答案为：14．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________．【答案】【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，，所以，所以.故答案为：.15．（2022·全国·高二单元测试）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．【答案】##【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，，所以可得，所以，所以，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.故答案为：.16．（2022·广东·模拟预测）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.【答案】

【详解】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，设正四面体的棱长为，球的半径为.则，，依题可得，球心在上，，代入数据可得，则，，又，，故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，，三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是.以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，，，，，设，，故，，设直线与直线所成角为，∵，∴，又，故，故答案为：，.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）已知空间三点，设.（1）的夹角的余弦值；（2）若向量互相垂直，求实数的值；（3）若向量共线，求实数的值.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【详解】（1）已知空间三点，（2）若向量互相垂直，又，则解得：或（3）向量共线，又当时，当时，，成立，当时，，不成立，故：或18．（2022·湖南·高三开学考试）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)（1）连接，因为四边形是菱形，则，因为，故为等边三角形，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以.因为，所以.又，所以平面.（2）连接，因为是的中点，所以.又因为平面平面，平面平面平面，所以平面.设，因为，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量是，则，取，可得.设直线与平面所成角为所以，∴直线与平面所成角的正弦值是.19．（2022·安徽省宣城中学高二期末）如图，在圆锥中，已知的直径，点是的中点，点为中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(1)连接，如图所示：因为为的中点，所以.又底面底面，所以.因为是平面内的两条相交直线，所以平面(2)以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则.设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，所以设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，所以所以.所以.故二面角的正弦值为.20．（2022·江苏淮安·高二期中）如图，在棱长是2的正方体中，为的中点.(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)(1)解：因为正方体棱长为2，故以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，.因为为的中点，所以，，，所以，所以，即；(2)解：因为，，所以，因为异面直线与所成角是锐角，所以异面直线与所成角的余弦值是.(3)解：设平面的法向量是，则，，即，又，，所以令，则，，所以，又，所以点到平面的距离.21．（2022·湖南郴州·高二期末）如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）是正三角形，为的中点，．又是直三棱柱，平面ABC，．又，平面．（2）连接，由（1）知平面，∴直线与平面所成的角为，．是边长为2的正三角形，则，．在直角中，，，．建立如图所示坐标系，则，，，，．，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．设平面与平面夹角为，则．平面与平面夹角的余弦值为．22．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上．(1)证明：；(2)当平面与平面所成的锐二面角为时，求平面与侧面的交线长．【答案】(1