2022-2023学年高二数学上学期期中期末高效复习课1第四章数列典型例题讲解Word版含解析

1第四章数列典型例题讲解目录一、基本概念回归二、重点例题（高频考点）高频考点一：根据数列的前几项求通项公式高频考点二：数列的单调性的判断及其应用高频考点三：求数列中的最大(小)项高频考点四：等差数列性质的应用高频考点五：等差数列的综合问题高频考点六：等差数列前项和的性质及其应用角度1：等差数列片段和性质角度2：比值问题（含同角标和不同角标）高频考点七：等差数列前项和的最值问题高频考点八：等比数列性质的应用高频考点九：等比数列前项和的性质高频考点十：数列求通项五类高频考点十一：数列求和六类一、基本概念回归知识回顾1：数列的单调性若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；（1）求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；（2）求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；知识回顾2：数列的前项和（1）数列前项和的概念我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即（2）数列前项和与通项的关系当时，当时，用化简得：所以：知识回顾3：等差数列的四种判断方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法知识回顾4：等差数列的性质①②，则（特别的，当，有）③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为.④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为的等差数列.⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.知识回顾5：等差数列的前项和公式（1）首项为，末项为的等差数列的前项和公式（2）首项为，公差为的等差数列的前项和公式知识回顾6：等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则，。(5)若等差数列的项数为,则，，，知识回顾7：等比数列的判断（证明）1、定义：（或者）（可判断，可证明）2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）知识回顾8：等比数列常用性质设数列是等比数列，是其前项和．（1）(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．知识回顾9：等比数列前项和公式若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和知识回顾10：等比数列前项和的性质公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列(2)当是偶数时,当是奇数时,高频考点一：根据数列的前几项求通项公式1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）数列1,,,，的第n项为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】底数构成等差数列，第n项为；指数构成等差数列，第n项为.所以数列1,,,，的第n项为.故选：D2．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意得，令，A选项：，不合题意；B选项：，不合题意；C选项：，不合题意；D选项：，符合题意故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】根据题意可知，，……，所以．故选：C．4．（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为，所以给定4项都满足的一个通项公式为.高频考点二：数列的单调性的判断及其应用1．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以数列为递减数列，当时，，故可知当时，单调递减，故为递减数列，只需满足，因为,所以,解得，.故选:.2．（2022·河北·高三阶段练习）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】①当时，，②当时，，∴当时，，数列递减，综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，解得，故答案为：.3．（2022·上海师大附中高二期中）已知为递减数列，且对于任意正整数n，恒成立，恒成立，则的取值范围是______.【答案】【详解】∵恒成立，又由，∴恒成立，即对于任意正整数n恒成立，∴，所以的取值范围是.故答案为：.4．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．【答案】【详解】解：∵数列严格递增，当时，，，∴当时，递增，，即，解得，∴．故答案为：．5．（2022·北京师大附中高二期中）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式______.【答案】（答案不唯一）【详解】因为，则数列是递增的，又，所以最小，数列从第7项开始为正，而，因此不妨设数列为等差数列，公差为1，，所以，满足条件的数列的一个通项公式.故答案为：（答案不唯一）.高频考点三：求数列中的最大(小)项1．（2022·江西·高三阶段练习（文））记数列的前n项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】依题意，，因数列是公差为7的等差数列，则，因此，当时，，而不满足上式，当时，，即当时，，于是当时，数列是递增的，而，，则，所以的最小项为.故选：C2．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项．【答案】4【详解】由题意，，故，令，解得；令，解得；故时，；时，，故数列的最大项为第4项.故答案为：43．（2022·上海·高二期中）已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.【答案】或.【详解】由可得当时，，当时，，当时，，故取最大值时，一定有，设为数列的最大项，则，即，解得，则或，此时，故答案为：或.4．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））已知数列是等差数列，．(1)求的通项公式；(2)求的最大项．【答案】(1)；(2).(1)设等差数列的公差为，所以有，所以；(2)由（1）可知：，当时，有最大项，最大项为：.5．（2022·重庆八中高三阶段练习）记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________.【答案】3【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：.所以，两边同时取对数得：令，则.令得：；令得：，所以在上单增，在上单减，所以的最大值在或处取得.而，所以.所以当最大时，的值为3.故答案为：3．6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，(1)讨论数列的单调性；(2)求数列的最大项和最小项.【答案】(1)答案见解析(2)最大项为，最小项为.(1)故，当即时，即，但此时，当即时，即，但此时，而，综上，当时，为减数列，当时，为减数列，即，.(2)由（1）可得中的最大项为，最小项为.高频考点四：等差数列性质的应用1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，且．若，则（）A．116B．232C．58D．87【答案】A【详解】∵，∴，∴为等差数列，∴，∵，∴，∴，故选:A．2．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）在等差数列中，若，则等于（

）A．30B．40C．60D．80【答案】C【详解】解：因为为等差数列，又，且，所以，所以；故选：C3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）已知等差数列的前项和为，若与方程的两个实根，则（）A．46B．44C．42D．40【答案】B【详解】因为与方程的两个实根，所以.由等差数列的性质可得：，所以.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是A．B．C．D．【答案】D【详解】因为等差数列中，，，所以公差，，，因为，所以，因为，所以，根据等差数列的性质可知，时，；时，.故使前项和成立的最小正整数是.故选：D.5．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则A．B．C．D．【答案】D【详解】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0）由题意可得即q2-2q-3=0，解得q=-1（舍去），或q=3，故故选D．高频考点五：等差数列的综合问题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A．172B．183C．191D．211【答案】C【详解】高阶等差数列：1，2，4，7，11，16，22，，令，则数列：1，2，3，4，5，6，，则数列为等差数列，首项，公差，，则则故选：C2．（多选）（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】当且仅当时，最大，当时，；当时，，，解得：，；；；；ABD正确；，则当时，；当时，；当时，；C错误.故选：ABD.3．（2022·上海中学高二期中）已知等差数列满足，，记表示数列的前n项和，则当时，n的取值为______.【答案】【详解】，故，，故，故，，.，故.故答案为：4．（2022·北京市翔宇中学高三期中）等差数列满足，.(1)求的通项公式和前项和；(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，，解得：，可得：，.（2）设等比数列的公比为，由足，，可得：，，解得：，则数列的前项和为：.5．（2022·陕西西安·高二期中）设为数列的前项和，.(1)求的值及数列的通项公式；(2)判断这个数列是否是等差数列.【答案】(1)，.(2)数列为等差数列，理由见解析【详解】（1）解：当时，，当且时，，也满足，故对任意的，.（2）解：对任意的，.因此，数列为等差数列.6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为.(1)已知，，求.(2)已知，，求.(3)已知，求.【答案】(1)2700(2)(3)66【详解】（1）由题意得：（2）由题意得：公差，故（3）由题意得：7．（2022·福建莆田·高二期中）设是等差数列，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记的前项和为，求当为何值时，取得最小值.(3)求数列的前项和的值.【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1），，成等比数列，，设等差数列的公差为，则，解得：，.（2）由（1）得：，当或时，取得最小值.（3），，是以为首项，为公差的等差数列，.高频考点六：等差数列前项和的性质及其应用角度1：等差数列片段和性质1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．15B．23C．28D．30【答案】D【详解】由等差数列片段和的性质：成等差数列，∴，可得，同理可得，∴，可得.故选：D2．（2022·江苏·西安交大苏州附中高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（）A．28B．32C．16D．24【答案】B【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得.∴2，6，10，成等差数列，可得，解得.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A．-3B．-12C．-21D．-30【答案】D【详解】由等差数列的性质知：成等差数列，∴，则，可得.同理：，即，得.故选：D4．（2022·上海·高二课时练习）等差数列前10项的和为10，第11项至第20项的和为，则第21项至第30项的和是_______．【答案】【详解】设该等差数列为，其公差为，前项和为.前10项的和为，则由第11项至第20项的和为，所以，即，所以则第21项至第30项的和是：故答案为：角度2：比值问题（含同角标和不同角标）1．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】两等差数列，，前n项和分别是，，满足，所以.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且满足，则（）A．B．C．D．1【答案】D【详解】由题意，令，∴，故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）等差数列和的前n项和分别为与，对一切正整数n，都有，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由等差数列的求和公式得，即满足型则可令，故选：A4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【详解】由题意，可得，∵和均为等差数列，∴，同理，，∴，若为整数，则只需，，，.故选：AC.5．（2022·全国·高二课时练习）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，则＝【答案】【详解】试题分析：若Sn是等差数列｛an｝的前n项和，则也是等差数列；所以也是等差数列，由可设，则，于是可得相邻三项和依次为，即，所以.6．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.【答案】

【详解】由等差数列的性质可得，，若为整数，且，故能被整除，故或，解得或，所以，使得为整数的值个数为.故答案为：；.高频考点七：等差数列前项和的最值问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，并且，，若对恒成立，则正整数的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【详解】由题意可得，所以，又，所以，又可得，所以等差数列的前6项为正数，从第7项起为负数，所以，所以.故选：C.2．（多选）（2022·江苏常州·高三期中）已知等差数列的公差，且．的前项和记为，若是的最大值，则k的可能值为（）A．5B．6C．10D．11【答案】AB【详解】，即，又，故数列单调递减，则，∴，故该数列的前项都为正数，且从第7项开始都为负数，故是的最大值，则的可能只为或.故选：AB．3．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，，常数，且对一切正整数都成立.(1)求数列的通项公式；(2)设，，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】(1)；(2)6.【详解】（1）取，得，，，则，当时，，，上述两个式子相减得：，所以数列是等比数列,当，则.（2）当，且时，令，所以，所以，单调递减的等差数列（公差为）则当时，故数列的前6项的和最大.4．（2022·广东·高三阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且．(1)若，求数列的通项公式；(2)若，求当取得最大值时n的值．【答案】(1)；(2)4或5.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，根据题意有，解得，则；即等差数列的通项公式为.（2）由，得，即，从而，即，从而，则，因为，所以，由得，解得，又，则或，所以当取得最大值时n的值为4或5．5．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）设是等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和的最大值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，故.（2）因为当时，，当时，，当时，，故当或时有最大值且最大值为.高频考点八：等比数列性质的应用1．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）在等比数列中，，则的值为（）A．48B．72C．144D．192【答案】D【详解】数列是等比数列，则，，而，故．故选：D2．（2022·上海市行知中学高三期中）正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值____.【答案】##【详解】在正项等比数列中有，由等比数列的性质知，即，解得或（舍），则，可得，其中.所以，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为：.3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期中（文））在正项等比数列中，，则______．【答案】2【详解】在正项等比数列中，，所以，所以，，．故答案为：24．（2022·四川省通江中学高二期中（文））若等比数列的各项均为正数，且，则___________.【答案】2022【详解】因为是等比数列，所以，即，所以故答案为：20225．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．【答案】【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，，即，∴，当且仅当，即公比为1时等号成立，故的最大值是.故答案为：.高频考点九：等比数列前项和的性质1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（）A．180B．108C．75D．63【答案】D【详解】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（）A．12B．30C．45D．81【答案】C【详解】显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，，，，则，，则.故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为，则,所以，结合等比数列求和公式有：，解得n=4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C选项.5．（2022·吉林·辉南县第六中学高二期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A．B．C．是数列中的最大值D．数列无最大值【答案】A【详解】根据题意，等比数列中，，则有，有，又由0，即，必有，由此分析选项：对于A，，故，A正确；对于B，等比数列中，，，则，则，即，B错误；对于C，，则是数列中的最大项，C错误；对于D，由C的结论，D错误；故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（）A．B．2C．D．3【答案】B【详解】设数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，故.故选：B7．（多选）（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（）A．B．C．D．【答案】BC【详解】因为为等比数列，所以也构成等比数列.因为，所以，得.因为，所以，解得.因为，所以，，故A错误，B正确；因为，且，所以，故C正确，D错误.故选：BC8．（2022·全国·高三专题练习）已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为__________．【答案】##0.75【详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则解得或,又因为的各项均不相等，所以，则．当n为奇数时，，易知单调递减，最大值为，且；当n为偶数时，，易知单调递增，最小值为，且．所以的最大值为，最小值为，所以的最大值与最小值之差为．故答案为：.9．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．【答案】450【详解】在等比数列中，公比，则有，而，于是得，所以数列的前100项和．故答案为：45010．（2022·全国·高二课时练习）设Sn是等比数列的前n项和，若，则________.【答案】【详解】设等比数列的公比为q，由已知，因为，，，，，．∴．故答案为：．高频考点十：数列求通项五类1．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且和满足：（，2，3，…）．(1)求的通项公式；(2)设，的前n项和，求证：【答案】(1)；(2)见解析.【详解】（1）解：∵，∴，①∴，②①－②得，∴，化简．∵，∴，∴是以1为首项，2为公差的等差数列，∴；（2）证明：由（1）可得，∴∵，∴，∴，即.2．（2022·江苏·南京市励志高级中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，又的各项均为正数，所以；当时，得，所以，又的各项均为正数，所以，所以，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；（2）由（1）知，，所以，①，②①-②得：所以.3．（2022·新疆·高三期中（文））已知等差数列满足，，数列满足，．(1)求，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）设数列的公差为，由题可得，解得，故；因为满足，，故当时，，故，符合该式，所以；（2）由题可得，设的前项和为，则，故，则即，故.故数列的前项和为.4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高三期中）设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列．(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列，则，当则，n=1成立所以；（2）解：由，得，又成等比数列，使用，即，解得（舍去），所以，则，所以.5．（2022·山西大同·高三阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，，其中．(1)分别求数列和的通项公式；(2)若，求数列前n项和．【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等比数列的公比为q，由，得，所以，即，故，当时，，故，故数列的通项公式为；由得，故，，，…，，，以上个式子相乘得，，故，验证也符合上式，所以．（2）由，结合（1）可得，所以，，两式相减得，所以，故．6．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，则，即，当时，，两式相减可得：，整理可得，故，将代入上式，，故的通项公式为.（2）由，则.7．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又因为，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，故.（2）由（1）得，所以.8．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列为等比数列：(2)若，求满足条件的最大整数.【答案】(1)证明见解析(2)50【详解】（1）证明：由，可得，又故数列为等比数列.（2）由（1）可知，故.令，易知随的增大而增大，，故满足的最大整数为50.9．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)(1)∵，等式两边同时加1整理得又∵，∴∴是首项为2，公比为2的等比数列．∴，∴(2)∵，∴.记的前n项和为则所以相减得整理得.所以10．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，(1)求数列的通项公式.(2)若，求满足条件的最大整数值.【答案】(1)(2)99(1)解：因为，所以，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以；(2)解：由（1）可得，则，由，则，因为函数是增函数，且当时，，当时，，所以满足的最大正整数的值为99.高频考点十一：数列求和六类1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)证明函数的图像关于点对称;(2)若，求；【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，设，是函数图像上的两点，其中且，则有，因此函数图像关于点对称；（2）由（1）知当时，，①，②，①+②得，即.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.【答案】【详解】因为，.故….①….②①+②，得，.所以数列的通项公式为.3．（2022·福建莆田·高二期中）已知数列的前n项和公式为．(1)求证：数列是等比数列；(2)令，求数列的前n项和；【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）数列的前n项和，，则当时，，即，当时，，解得，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，，，当n为偶数时，，于是得，当n为奇数时，，所以.4．（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列中，，且,,成等差数列，数列满足,，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【详解】（1）因为,,成等差数列，所以,又因为在等比数列中，,所以，得的公比，所以,解得，故.（2）由,，，得，则是等差数列，因为,所以，则，则．5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，当时，，解得，当时，由，得①，所以②，①-②得：，所以，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）由得，所以，所以.6．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二期中（理））在数列中，．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则当时，，当时，，与相减，得，所以，又，所以，所以当时，，当时，满足上式，当时，上式不成立，所以（2）知，因为，所以当时，，当时，．显然当时，上式成立，所以．7．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【详解】（1）由，取可得，又，所以，则.当时，由条件可得，两式相减可得，，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得，故，（2），，.相减得，所以，所以所以.8．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，，各项均为正数的等比数列满足，．(1)求数列与的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求．【答案】(1)；(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，∴；设等比数列的公比为，则，解得，，，∴，（2）由（1）可知∴，则，两式相减得：，∴．9．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的首