2022-2023学年高二数学上学期期中期末高效复习课1第四章数列典型例题讲解Word版含解析_第1页
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文档简介

1第四章数列典型例题讲解目录一、基本概念回归二、重点例题(高频考点)高频考点一:根据数列的前几项求通项公式高频考点二:数列的单调性的判断及其应用高频考点三:求数列中的最大(小)项高频考点四:等差数列性质的应用高频考点五:等差数列的综合问题高频考点六:等差数列前项和的性质及其应用角度1:等差数列片段和性质角度2:比值问题(含同角标和不同角标)高频考点七:等差数列前项和的最值问题高频考点八:等比数列性质的应用高频考点九:等比数列前项和的性质高频考点十:数列求通项五类高频考点十一:数列求和六类一、基本概念回归知识回顾1:数列的单调性若数列满足对一切正整数,都有(或者),则称数列为递增数列(递减数列);(1)求数列中最大项方法:当时,则是数列最大项;(2)求数列中最小项方法:当时,则是数列最小项;知识回顾2:数列的前项和(1)数列前项和的概念我们把数列从第1项起到第项止的各项之和,称为数列的前项和,记作,即(2)数列前项和与通项的关系当时,当时,用化简得:所以:知识回顾3:等差数列的四种判断方法(1)定义法(或者)(是常数)是等差数列.(2)等差中项法:()是等差数列.(3)通项公式:(为常数)是等差数列.(可以看做关于的一次函数)(4)前项和公式:(为常数)是等差数列.(可以看做关于的二次函数,但是不含常数项)提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法知识回顾4:等差数列的性质①②,则(特别的,当,有)③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为.④若是公差为的等差数列,则,,,…()组成公差为的等差数列.⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.知识回顾5:等差数列的前项和公式(1)首项为,末项为的等差数列的前项和公式(2)首项为,公差为的等差数列的前项和公式知识回顾6:等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则,,,,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列,中,它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则,。(5)若等差数列的项数为,则,,,知识回顾7:等比数列的判断(证明)1、定义:(或者)(可判断,可证明)2、等比中项法:验证(特别注意)(可判断,可证明)3、通项公式法:验证通项是关于的指数型函数(只可判断)知识回顾8:等比数列常用性质设数列是等比数列,是其前项和.(1)(2)若,则,其中.特别地,若,则,其中.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即,,,…仍是等比数列,公比为().(4)若数列,是两个项数相同的等比数列,则数列,和(其中,,是非零常数)也是等比数列.知识回顾9:等比数列前项和公式若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和知识回顾10:等比数列前项和的性质公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:(1)数列,,,,…组成公比为()的等比数列(2)当是偶数时,当是奇数时,高频考点一:根据数列的前几项求通项公式1.(2022·甘肃·兰州一中高二期中)数列1,,,,的第n项为()A.B.C.D.【答案】D【详解】底数构成等差数列,第n项为;指数构成等差数列,第n项为.所以数列1,,,,的第n项为.故选:D2.(2022·重庆南开中学高二阶段练习)数列的一个通项公式为()A.B.C.D.【答案】D【详解】由题意得,令,A选项:,不合题意;B选项:,不合题意;C选项:,不合题意;D选项:,符合题意故选:D.3.(2022·全国·高三专题练习)数列的一个通项公式是()A.B.C.D.【答案】C【详解】根据题意可知,,……,所以.故选:C.4.(2022·全国·高二课时练习)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.(1),,,;(2),,,;(3)3,4,3,4;(4)6,66,666,6666.【答案】(1);(2);(3);(4).(1)4个项都是分数,它们的分子依次为,分母是正奇数,依次为,所以给定4项都满足的一个通项公式为.(2)4个项按先负数,后正数,正负相间排列,其绝对值的分子依次为,分母比对应分子多1,所以给定4项都满足的一个通项公式为.(3)4个项是第1,3项均为3,第2,4项均为4,所以给定4项都满足的一个通项公式为.(4)4个项,所有项都是由数字6组成的正整数,其中6的个数与对应项数一致,依次可写为,所以给定4项都满足的一个通项公式为.高频考点二:数列的单调性的判断及其应用1.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知数列的前项和,且对任意,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【详解】因为,所以数列为递减数列,当时,,故可知当时,单调递减,故为递减数列,只需满足,因为,所以,解得,.故选:.2.(2022·河北·高三阶段练习)已知数列为递减数列,其前项和,则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】①当时,,②当时,,∴当时,,数列递减,综上所述,若使为递减数列,只需满足,即,解得,故答案为:.3.(2022·上海师大附中高二期中)已知为递减数列,且对于任意正整数n,恒成立,恒成立,则的取值范围是______.【答案】【详解】∵恒成立,又由,∴恒成立,即对于任意正整数n恒成立,∴,所以的取值范围是.故答案为:.4.(2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试)已知数列的通项公式为,若数列是严格递增数列,则实数a的取值范围是_________.【答案】【详解】解:∵数列严格递增,当时,,,∴当时,递增,,即,解得,∴.故答案为:.5.(2022·北京师大附中高二期中)设数列的前项和为,且,,.请写出一个满足条件的数列的通项公式______.【答案】(答案不唯一)【详解】因为,则数列是递增的,又,所以最小,数列从第7项开始为正,而,因此不妨设数列为等差数列,公差为1,,所以,满足条件的数列的一个通项公式.故答案为:(答案不唯一).高频考点三:求数列中的最大(小)项1.(2022·江西·高三阶段练习(文))记数列的前n项和为,,数列是公差为7的等差数列,则的最小项为()A.B.C.D.【答案】C【详解】依题意,,因数列是公差为7的等差数列,则,因此,当时,,而不满足上式,当时,,即当时,,于是当时,数列是递增的,而,,则,所以的最小项为.故选:C2.(2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习)已知数列满足,则数列的最大项为第________项.【答案】4【详解】由题意,,故,令,解得;令,解得;故时,;时,,故数列的最大项为第4项.故答案为:43.(2022·上海·高二期中)已知数列的通项公式为,则取最大值时,___________.【答案】或.【详解】由可得当时,,当时,,当时,,故取最大值时,一定有,设为数列的最大项,则,即,解得,则或,此时,故答案为:或.4.(2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习(理))已知数列是等差数列,.(1)求的通项公式;(2)求的最大项.【答案】(1);(2).(1)设等差数列的公差为,所以有,所以;(2)由(1)可知:,当时,有最大项,最大项为:.5.(2022·重庆八中高三阶段练习)记为等差数列的前项和,若,数列满足,当最大时,的值为__________.【答案】3【详解】设等差数列的公差为d,由题意可得:.所以,两边同时取对数得:令,则.令得:;令得:,所以在上单增,在上单减,所以的最大值在或处取得.而,所以.所以当最大时,的值为3.故答案为:3.6.(2022·全国·高二课时练习)已知数列的通项公式为,(1)讨论数列的单调性;(2)求数列的最大项和最小项.【答案】(1)答案见解析(2)最大项为,最小项为.(1)故,当即时,即,但此时,当即时,即,但此时,而,综上,当时,为减数列,当时,为减数列,即,.(2)由(1)可得中的最大项为,最小项为.高频考点四:等差数列性质的应用1.(2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习(理))已知数列的前项和为,且.若,则()A.116B.232C.58D.87【答案】A【详解】∵,∴,∴为等差数列,∴,∵,∴,∴,故选:A.2.(2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中)在等差数列中,若,则等于(

)A.30B.40C.60D.80【答案】C【详解】解:因为为等差数列,又,且,所以,所以;故选:C3.(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中)已知等差数列的前项和为,若与方程的两个实根,则()A.46B.44C.42D.40【答案】B【详解】因为与方程的两个实根,所以.由等差数列的性质可得:,所以.故选:B4.(2022·全国·高三专题练习)若是等差数列,首项,,,则使前项和成立的最小正整数是A.B.C.D.【答案】D【详解】因为等差数列中,,,所以公差,,,因为,所以,因为,所以,根据等差数列的性质可知,时,;时,.故使前项和成立的最小正整数是.故选:D.5.(2022·全国·高二课时练习)已知等比数列的各项都是正数,且成等差数列,则A.B.C.D.【答案】D【详解】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q,(q>0)由题意可得即q2-2q-3=0,解得q=-1(舍去),或q=3,故故选D.高频考点五:等差数列的综合问题1.(2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20项为()A.172B.183C.191D.211【答案】C【详解】高阶等差数列:1,2,4,7,11,16,22,,令,则数列:1,2,3,4,5,6,,则数列为等差数列,首项,公差,,则则故选:C2.(多选)(2022·浙江·镇海中学高二期中)已知等差数列的公差,当且仅当时,的前项和最大,则()A.B.C.D.【答案】ABD【详解】当且仅当时,最大,当时,;当时,,,解得:,;;;;ABD正确;,则当时,;当时,;当时,;C错误.故选:ABD.3.(2022·上海中学高二期中)已知等差数列满足,,记表示数列的前n项和,则当时,n的取值为______.【答案】【详解】,故,,故,故,,.,故.故答案为:4.(2022·北京市翔宇中学高三期中)等差数列满足,.(1)求的通项公式和前项和;(2)设等比数列满足,,求数列的前项和.【答案】(1);(2)【详解】(1)设等差数列的公差为,由,可得,,解得:,可得:,.(2)设等比数列的公比为,由足,,可得:,,解得:,则数列的前项和为:.5.(2022·陕西西安·高二期中)设为数列的前项和,.(1)求的值及数列的通项公式;(2)判断这个数列是否是等差数列.【答案】(1),.(2)数列为等差数列,理由见解析【详解】(1)解:当时,,当且时,,也满足,故对任意的,.(2)解:对任意的,.因此,数列为等差数列.6.(2022·全国·高三专题练习)设等差数列的前项和为.(1)已知,,求.(2)已知,,求.(3)已知,求.【答案】(1)2700(2)(3)66【详解】(1)由题意得:(2)由题意得:公差,故(3)由题意得:7.(2022·福建莆田·高二期中)设是等差数列,,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)记的前项和为,求当为何值时,取得最小值.(3)求数列的前项和的值.【答案】(1)(2)或(3)【详解】(1),,成等比数列,,设等差数列的公差为,则,解得:,.(2)由(1)得:,当或时,取得最小值.(3),,是以为首项,为公差的等差数列,.高频考点六:等差数列前项和的性质及其应用角度1:等差数列片段和性质1.(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列的前项和为,且,,则()A.15B.23C.28D.30【答案】D【详解】由等差数列片段和的性质:成等差数列,∴,可得,同理可得,∴,可得.故选:D2.(2022·江苏·西安交大苏州附中高二阶段练习)设等差数列的前n项和为,若,,则()A.28B.32C.16D.24【答案】B【详解】由等差数列前n项和的性质,可得,,,成等差数列,∴,解得.∴2,6,10,成等差数列,可得,解得.故选:B3.(2022·全国·高三专题练习)设等差数列的前项和为,若,,则等于()A.-3B.-12C.-21D.-30【答案】D【详解】由等差数列的性质知:成等差数列,∴,则,可得.同理:,即,得.故选:D4.(2022·上海·高二课时练习)等差数列前10项的和为10,第11项至第20项的和为,则第21项至第30项的和是_______.【答案】【详解】设该等差数列为,其公差为,前项和为.前10项的和为,则由第11项至第20项的和为,所以,即,所以则第21项至第30项的和是:故答案为:角度2:比值问题(含同角标和不同角标)1.(2022·北京·北理工附中高二期中)已知两等差数列,,前n项和分别是,,且满足,则()A.B.C.D.【答案】B【详解】两等差数列,,前n项和分别是,,满足,所以.故选:B2.(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列和的前项和分别为和,且满足,则()A.B.C.D.1【答案】D【详解】由题意,令,∴,故选:D3.(2022·全国·高三专题练习)等差数列和的前n项和分别为与,对一切正整数n,都有,则等于()A.B.C.D.【答案】A【详解】由等差数列的求和公式得,即满足型则可令,故选:A4.(多选)(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为,,且,则使得为整数的正整数可能是()A.B.C.D.【答案】AC【详解】由题意,可得,∵和均为等差数列,∴,同理,,∴,若为整数,则只需,,,.故选:AC.5.(2022·全国·高二课时练习)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=【答案】【详解】试题分析:若Sn是等差数列{an}的前n项和,则也是等差数列;所以也是等差数列,由可设,则,于是可得相邻三项和依次为,即,所以.6.(2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习)数列与均为等差数列,其前项和分别为与,若,则__________,使得为整数的值个数__________.【答案】

【详解】由等差数列的性质可得,,若为整数,且,故能被整除,故或,解得或,所以,使得为整数的值个数为.故答案为:;.高频考点七:等差数列前项和的最值问题1.(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列的前项和为,并且,,若对恒成立,则正整数的值为()A.4B.5C.6D.7【答案】C【详解】由题意可得,所以,又,所以,又可得,所以等差数列的前6项为正数,从第7项起为负数,所以,所以.故选:C.2.(多选)(2022·江苏常州·高三期中)已知等差数列的公差,且.的前项和记为,若是的最大值,则k的可能值为()A.5B.6C.10D.11【答案】AB【详解】,即,又,故数列单调递减,则,∴,故该数列的前项都为正数,且从第7项开始都为负数,故是的最大值,则的可能只为或.故选:AB.3.(2022·陕西·长安一中高二阶段练习(文))已知数列的前项和为,,常数,且对一切正整数都成立.(1)求数列的通项公式;(2)设,,当为何值时,数列的前项和最大?【答案】(1);(2)6.【详解】(1)取,得,,,则,当时,,,上述两个式子相减得:,所以数列是等比数列,当,则.(2)当,且时,令,所以,所以,单调递减的等差数列(公差为)则当时,故数列的前6项的和最大.4.(2022·广东·高三阶段练习)已知是等差数列的前n项和,且.(1)若,求数列的通项公式;(2)若,求当取得最大值时n的值.【答案】(1);(2)4或5.【详解】(1)设等差数列的首项为,公差为d,根据题意有,解得,则;即等差数列的通项公式为.(2)由,得,即,从而,即,从而,则,因为,所以,由得,解得,又,则或,所以当取得最大值时n的值为4或5.5.(2022·福建·莆田第三中学高三期中)设是等差数列的前项和,,.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和的最大值.【答案】(1);(2).【详解】(1)设等差数列的公差为,则,解得,故.(2)因为当时,,当时,,当时,,故当或时有最大值且最大值为.高频考点八:等比数列性质的应用1.(2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中)在等比数列中,,则的值为()A.48B.72C.144D.192【答案】D【详解】数列是等比数列,则,,而,故.故选:D2.(2022·上海市行知中学高三期中)正项等比数列中,存在两项使得,且,则最小值____.【答案】##【详解】在正项等比数列中有,由等比数列的性质知,即,解得或(舍),则,可得,其中.所以,当且仅当,即时等号成立.故的最小值为:.3.(2022·陕西·武功县普集高级中学高二期中(文))在正项等比数列中,,则______.【答案】2【详解】在正项等比数列中,,所以,所以,,.故答案为:24.(2022·四川省通江中学高二期中(文))若等比数列的各项均为正数,且,则___________.【答案】2022【详解】因为是等比数列,所以,即,所以故答案为:20225.(2022·全国·高二课时练习)在各项均为正数的等比数列中,,则的最大值是__.【答案】【详解】根据题意,在各项均为正数的等比数列中,,即,∴,当且仅当,即公比为1时等号成立,故的最大值是.故答案为:.高频考点九:等比数列前项和的性质1.(2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习)一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为()A.180B.108C.75D.63【答案】D【详解】由题意得S7,S14-S7,S21-S14组成等比数列48,12,3,即S21-S14=3,∴S21=63.故选:D2.(2022·全国·高三专题练习)设等比数列的前项和为,若,则()A.B.C.D.【答案】C【详解】解:因为数列为等比数列,则,,成等比数列,设,则,则,故,所以,得到,所以.故选:C.3.(2022·全国·高三专题练习)已知等比数列的前项和为,若,,则的值为()A.12B.30C.45D.81【答案】C【详解】显然公比不为-1,是等比数列,则也成等比数列,,,,则,,则.故选:C.4.(2022·全国·高三专题练习)等比数列的首项为1,项数是偶数,所有得奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为()A.4B.6C.8D.10【答案】C【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则,所以,结合等比数列求和公式有:,解得n=4,即这个等比数列的项数为8.本题选择C选项.5.(2022·吉林·辉南县第六中学高二期中)设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,并满足条件,,,下列结论正确的是()A.B.C.是数列中的最大值D.数列无最大值【答案】A【详解】根据题意,等比数列中,,则有,有,又由0,即,必有,由此分析选项:对于A,,故,A正确;对于B,等比数列中,,,则,则,即,B错误;对于C,,则是数列中的最大项,C错误;对于D,由C的结论,D错误;故选:A.6.(2022·全国·高三专题练习)已知是等比数列的前项和,若存在,满足,则数列的公比为()A.B.2C.D.3【答案】B【详解】设数列的公比为,若,则,与题中条件矛盾,故.故选:B7.(多选)(2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末)已知正项等比数列的前n项和为,公比为q,若,则()A.B.C.D.【答案】BC【详解】因为为等比数列,所以也构成等比数列.因为,所以,得.因为,所以,解得.因为,所以,,故A错误,B正确;因为,且,所以,故C正确,D错误.故选:BC8.(2022·全国·高三专题练习)已知首项均为的等差数列与等比数列满足,,且的各项均不相等,设为数列的前n项和,则的最大值与最小值之差为__________.【答案】##0.75【详解】解:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则解得或,又因为的各项均不相等,所以,则.当n为奇数时,,易知单调递减,最大值为,且;当n为偶数时,,易知单调递增,最小值为,且.所以的最大值为,最小值为,所以的最大值与最小值之差为.故答案为:.9.(2022·全国·高二课时练习)在等比数列中,若,且公比,则数列的前100项和为______.【答案】450【详解】在等比数列中,公比,则有,而,于是得,所以数列的前100项和.故答案为:45010.(2022·全国·高二课时练习)设Sn是等比数列的前n项和,若,则________.【答案】【详解】设等比数列的公比为q,由已知,因为,,,,,.∴.故答案为:.高频考点十:数列求通项五类1.(2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习)已知正项数列的前n项和为,且和满足:(,2,3,…).(1)求的通项公式;(2)设,的前n项和,求证:【答案】(1);(2)见解析.【详解】(1)解:∵,∴,①∴,②①-②得,∴,化简.∵,∴,∴是以1为首项,2为公差的等差数列,∴;(2)证明:由(1)可得,∴∵,∴,∴,即.2.(2022·江苏·南京市励志高级中学高三阶段练习)已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】(1)当时,,又的各项均为正数,所以;当时,得,所以,又的各项均为正数,所以,所以,所以是以1为首项,1为公差的等差数列,所以;(2)由(1)知,,所以,①,②①-②得:所以.3.(2022·新疆·高三期中(文))已知等差数列满足,,数列满足,.(1)求,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1),;(2).【详解】(1)设数列的公差为,由题可得,解得,故;因为满足,,故当时,,故,符合该式,所以;(2)由题可得,设的前项和为,则,故,则即,故.故数列的前项和为.4.(2022·黑龙江·佳木斯一中高三期中)设数列满足,且.等差数列的公差d大于0.已知,且成等比数列.(1)求证:数列为等差数列,并求的通项公式;(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析,(2)【详解】(1)证明:因为,所以,又,所以数列是以4为首项,2为公差的等差数列,则,当则,n=1成立所以;(2)解:由,得,又成等比数列,使用,即,解得(舍去),所以,则,所以.5.(2022·山西大同·高三阶段练习)已知等比数列的前n项和为,且,数列满足,,其中.(1)分别求数列和的通项公式;(2)若,求数列前n项和.【答案】(1),(2)【详解】(1)设等比数列的公比为q,由,得,所以,即,故,当时,,故,故数列的通项公式为;由得,故,,,…,,,以上个式子相乘得,,故,验证也符合上式,所以.(2)由,结合(1)可得,所以,,两式相减得,所以,故.6.(2022·福建·福州三中高三阶段练习)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.(1)求的通项公式;(2)设,求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】(1)由是公差为的等差数列,且,则,即,当时,,两式相减可得:,整理可得,故,将代入上式,,故的通项公式为.(2)由,则.7.(2022·陕西·镇巴中学高二期中(文))已知数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为,所以,又因为,则,所以是首项为,公比为的等比数列,所以,故.(2)由(1)得,所以.8.(2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中)已知数列的首项,且满足.(1)求证:数列为等比数列:(2)若,求满足条件的最大整数.【答案】(1)证明见解析(2)50【详解】(1)证明:由,可得,又故数列为等比数列.(2)由(1)可知,故.令,易知随的增大而增大,,故满足的最大整数为50.9.(2022·安徽宿州·高二期中)已知数列的首项,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)(1)∵,等式两边同时加1整理得又∵,∴∴是首项为2,公比为2的等比数列.∴,∴(2)∵,∴.记的前n项和为则所以相减得整理得.所以10.(2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习)已知数列的通项公式为,(1)求数列的通项公式.(2)若,求满足条件的最大整数值.【答案】(1)(2)99(1)解:因为,所以,则,又,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以,所以;(2)解:由(1)可得,则,由,则,因为函数是增函数,且当时,,当时,,所以满足的最大正整数的值为99.高频考点十一:数列求和六类1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数.(1)证明函数的图像关于点对称;(2)若,求;【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)证明:因为函数的定义域为,设,是函数图像上的两点,其中且,则有,因此函数图像关于点对称;(2)由(1)知当时,,①,②,①+②得,即.2.(2022·全国·高三专题练习)已知函数对任意的,都有,数列满足….求数列的通项公式.【答案】【详解】因为,.故….①….②①+②,得,.所以数列的通项公式为.3.(2022·福建莆田·高二期中)已知数列的前n项和公式为.(1)求证:数列是等比数列;(2)令,求数列的前n项和;【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1)数列的前n项和,,则当时,,即,当时,,解得,所以数列是以首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,,,,当n为偶数时,,于是得,当n为奇数时,,所以.4.(2022·河北·高三阶段练习)已知在等比数列中,,且,,成等差数列,数列满足,,.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【详解】(1)因为,,成等差数列,所以,又因为在等比数列中,,所以,得的公比,所以,解得,故.(2)由,,,得,则是等差数列,因为,所以,则,则.5.(2022·重庆·高三阶段练习)已知数列的各项均为正数,前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求.【答案】(1)(2)【详解】(1)依题意,当时,,解得,当时,由,得①,所以②,①-②得:,所以,因为,所以,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以;(2)由得,所以,所以.6.(2022·陕西·府谷县府谷中学高二期中(理))在数列中,.(1)求的通项公式;(2)若,求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为,则当时,,当时,,与相减,得,所以,又,所以,所以当时,,当时,满足上式,当时,上式不成立,所以(2)知,因为,所以当时,,当时,.显然当时,上式成立,所以.7.(2022·福建三明·高二阶段练习)已知数列的前项和为,满足,是以为首项且公差不为0的等差数列,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.【答案】(1),;(2).【详解】(1)由,取可得,又,所以,则.当时,由条件可得,两式相减可得,,又,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列,故,因为,设等差数列的公差为,则,由成等比数列,所以,又,所以解得,故,(2),,.相减得,所以,所以所以.8.(2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习)设等差数列的前n项和为,已知,,各项均为正数的等比数列满足,.(1)求数列与的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,求.【答案】(1);(2)【详解】(1)设等差数列的公差为,则,解得,,∴;设等比数列的公比为,则,解得,,,∴,(2)由(1)可知∴,则,两式相减得:,∴.9.(2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末)已知数列的前项和为,数列是以为首项,为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】(1)设等差数列的首

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