第二讲随机变量及其分布

第二讲 随机变量及其分布考试要求1.理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数(F(x)P(Xx))的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用.3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(,2)、指数分布及其应用，其中参数为(0)的指数分布的概率密度为ex,x0,f(x)x0.0,会求随机变量函数的分布.一、分布函数1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量 .2．分布函数：F(x)P(X≤x),＜x＜F(x)为分布函数(1)0≤F(x)≤1F(x)单调不减右连续F(x+0)=F(x)(4) F( ) 0,F( ) 13．离散型随机变量与连续型随机变量离散型随机变量P(Xxi)pi,i1,2,,n,pi≥0,pi1i1分布函数为阶梯跳跃函数.x(2)连续型随机变量F(x)f(t)dtf(x)为概率密度(1)f(x)≥0,(2)f(x)dx1P(aXb)P(aXb)bf(x)a94．几点注意【例1】 设随机变量 X的分布函数为0,x1,F(x)5x7,1x1,16161,x1.则P(X2 1) .【例2】设随机变量X的密度函数为f(x),且f(－x)=f(x),记()和分别是X和FXxFX(x)X的分布函数,则对任意实数x有(A)FX(x)FXx(.)(B)FX(x)FX(x).(C)FX(x)1FXx(.)(D)FX(x)2FX(x)1.【】【例3】设随机变量 X服从参数为 0的指数分布, 试求随机变量 Y=min{X,2} 的分布函数10【例4】设某个系统由 6个相同的元件经两两串联再并联而成 ,且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从参数为 0的指数分布,试求系统正常工作的时间 T的概率分布.【例5】设随机变量X的概率密度为f(x)1|x|,|x|1,0,其他.试求(1)X的分布函数F(x);(2)概率P(2X1).4二、常见的一维分布(1)0-1分布：P(Xk)pk(1p)1k,k0,1.(2)二项分布B(n,p):P(Xk)Cnkpk(1p)nk,k0,1,,n.(3)Poisson分布P()：P(Xke,＞0,0,1,2,.k)k!k(4)均匀分布U(a,b):f(x)b1，a＜x＜b,a其他.０，21(x)2(5)e220,正态分布N(μ，σ)：f(x),2π11ex,＞0,(6)指数分布E():f(x)x＞0.0,其他.(7)几何分布G(p):P(Xk)(1p)k1p,0＜p＜1,k1,2,.(8)超几何分布H(N,M,n):P(Xk)CMkCNnkM,k0,1,,min{n,M}.CNn【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(0<<1),则此人第4次射击恰好pp第2次命中目标的概率为(A)3p(1p)2.(B)6p(1p)2.(C)3p2(1p)2.(D)6p2(1p)2.【】2则P(X1＋)【例7】设X～Ｎ(,σ),(A)随μ的增大而增大.(B)随的增大而减小.(C)随σ的增大而不变.(D)随σ的增大而减小.【】12【例8】设X～Ｎ(2F(x)为其分布函数，0，则对于任意实数a，有,σ),(A)F(a)F(a)1.(B)F(a)F(a)1.(C)F(a)F(a)1.(D)F(a)F(a)1.【】2【例9】 甲袋中有 1个黑球，2个白球，乙袋中有 3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换 n次后，黑球仍在甲袋中的概率 .三、 随机变量函数的分布：离散的情形连续的情形一般的情形13【例10】设随机变量X的概率密度为1,1x0,2