4不定积分习题与答案

（Ａ）１、求下列不定积分１）

２）

2

３）

(x2)

４）

21

2

５）

2

3

６）

cosxsinx

dx７）

e

x

3x

)

８）

1x

)x２、求下列不定积分（第一换元法）１）

２）

3

2x３）

t

４）

lnxln(ln)５）

dxxsin

６）

e

x

dx

７）

x)dx

８）

3x1

4

９）

sinx

dx

）

x

dx11）

dx2

）

3

xxdx

tan

9x

2

1x4sin2

dx

102x1

arctanxx

、求下列不定积分（第二换元法）1１）

1

2

dx

２）

xdx３）

xx

dx

４）

a

(a0)５）７）

dx(xdx

2

６）８）

1xdx1

2４、求下列不定积分（分部积分法）１）

２

arcsin３）

2xdx

４）

e

dx2５）

xdx６）

７）

xdx

８）

2

５、求下列不定积分（有理函数积分）１）

２）

2x

）

(x2（Ｂ）１、

一曲线通过点

(e2

且在任一点处的切线斜率等于点的横坐标的倒数该曲线的方程。２、

已知一个函数

F()

的导函数为

11

2

x

时函数值为

32

此函数。３、

证明：若

fx)F)，则1f()(ax)(a0)a

。2４、

设

f(x

的一个原函数为

x

，求

dx

。５、

求下列不定积分１）

2

２）

1xdx３）

arctan12

1

４）

x

dx５）

(x

2

2

2

2

)

６）

x

xa

dx）

x1lnx

）

xexx)2

dx（Ｃ）１、求以下积分１）

xee

dx

x)2sinx３）

eex

４）

53

dx５）

58

６）

sinxsinxcos

dx不定积分答（Ａ）

１）

1x

（２）

32

（３）

13

x

x

（４）

xarctan3（５2x

)lnln

（６x)（７）

2

x

3ln

（８）

4(27)74x

２）

18

(3x)

（２）

2(2)3（３）

cost

（４）

lnln（５）

lntan

（６）

（7

)

（８）

34

（9

12xarcsin9x22

122

ln

2x2

x

3

1cos5x10

13

x

2

9ln(92

2

)

12

arctan

10arccosx2

、

lntt

（2

2(cosx)（3）

22

arccos)

axx2aa2

a

2

2

)

1x

2

x

x)

(arcsinxlnx1

2

)

arcsinx

11

2

、

cos

arcsin124

13lnxx3

2x(cos4sin)172

1arctanxx2)36

x

2

sincosx（7

xxxln

132xsin6、

133x27ln32

lnln

lnxx

1lnlnxln(2arctan24x22xx(B)、设线

yf(x)

由导数的几何意义：y

11，x

(2,3)

代入即可。、设数为

F()

，由

F()

11

，得Fx)

f()x，代

32

)

即可解出C。、由设得

Ff(x),Ff(ax)

，故11[F()]),f()F(ax)aa

。４、把

f

凑微分后用分部积分法。５）用倍角公式：

cosx2（２）注意

sinx0

或

sin0

两种情况。（３）利用

arctan

1cotx,1

cot)

。（４）先分子有理化，在分开作三角代换。（５）化为部分分式之和后积分。（６）可令

xa

2

t

。（７）可令

xb)sint,

则

b(b)t

。5arctanx22arctanx22（８）令

1lnx

。分部积分后移项，整理。凑e后部积分，再移项，整理。（１１）令

tan

2

。（１２）变形为

xx

2)

后，令

，再由

1

1x

，两端微分得

1(x2)

2

2tdt

。（Ｃ））解：令

u

ex

，则

ln(1

1

du所以原式

2)duln(1

4u21

2

du2ln(1

arctanueee）解：方法一：原式

x(1x)4

d)2cos2

3

d(tan)1xxtan22

14

1tan2x1xd(tan)tan228tan2方法二：令

tan2方法三：变形为

xdx2(12xcos)

，然后令

cosx再化成部分分式积分。）解：原式

12

xarctand(e)[exarctan

e

(ex)(1

x

)

]611371137（令

e

）[e

x

arctan

x

u

2

du(1

2

)

][exx2xx2

duduu2arctan

x

]

）解：原式

1x343

dx

1)[

dx

)

1

dx

)]1[3

d3

14

d(4(x3(x219

3

34）解：原式

xx

dx

(x(x2

x))2

，令

ux

2

12

1242u2

142

ln

xx

x22x2

）解：原式

12sinxcosx2sinxx

1cos)22xx