8第四章数学史融入中学数学教育的教学案例设计

第四章

数学史融入中学数学教育的教学案例设计第四章数学史融入学数学教的教学案设计4.1课题：复数概念教学过程如下：(1)提出问题。让学生解方程：

x

40学生发现方程的根的判别式

2

程在实数范围内不能求解。教师：如果将数扩展到更大的范围，方程解的情况如何？（2）介绍数的概念的发展数的概念是从实践中产生发展起来的。最早期是建立了自然数的概念，随着生产力的发展，数的概念也得到发展。为了能够表示相反数的概念，人们引进了零和复数即将正整数零负整数构成整数集为了解决分量的问题，规定了一切形如的数，就把整数扩大为有理数Q。量与量之间的比值不能用有理数解决的人们又引入了无理数从解方程

x2x40

发现方程没有实数解，因为负数不能被开放，所以人们又提出了一种新数——虚数。(3)得出复数的概念形如

a(ab)

的数被称为复数b时，就是实数时，就叫做虚数，当

时，叫做纯虚数；a分别叫做负a实部与虚部。--第四章

数学史融入中学数学教育的教学案例设计教师：对于复数概念，其几何意义是什么呢1797年挪威的测量员威赛尔，在1797年的一篇文章中，除了以1为单位的实轴外，还引进一根以为单位的虚轴，将复数

用始点在原点的一条有向线段来表示（如图）ybO1ax4.2课题：求球的体积教学过程如下：（1）提出问题：已知一个球的半径为R求这个球的体积。（2）解答问题，刘徽、祖恒的截面法刘徽在《九章算术》中给出了球体积公V

D

(是求的直径)是错3误的，刘徽分析，园与外切正方形的面积比为（果认为球与其43外切圆柱的体积之比是，并4

，就可以得到上面所说球体体积公式，然而事实上结果的比值不是

。刘徽作出球的两个互相垂直相交的外切圆柱，称他们的公共部分为“牟合方盖方盖”恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切，如果用一个水平面去截它们就得到一个（球的截面它的外切正方--第四章

数学史融入中学数学教育的教学案例设计合方盖”的截面刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的积之比都等于

，因此球体积与它的牟合方盖的体积比都是

，遗憾的是，刘徽未能求出牟合方盖的体积。南北朝数学家祖恒提出一条“缘幂势既同，则积不容异”的原理，并利这一原理求得“牟合方盖”的体积，从而在刘徽的基础上彻底解决了球体积问题。1祖恒的做法是几何如图长为球半径的立方体内挖去牟8合方盖，做几何图（如图立的直四棱锥阳马)，使其高为R,底面时边1长的正方形，这个倒立直角、四棱锥的体积是棱长为正方体的，3则其体积是R

。于是“牟合方盖”的八分之一的体积应是

，整个“牟合方盖”体积为R3。在倒立的直四棱锥高度为l处作截面，则“牟合方1盖”截面的正方形边长为,于是立方体内的“牟合方盖”外部分的8体积为RR2。倒立的直三棱锥l高度处作截面，面积也l。--8牟合方盖牟合方盖8牟合方盖牟合方盖第四章

数学史融入中学数学教育的教学案例设计两个几何体在任一高度处的截面积相等由祖恒原理们的体积相同。1VV正方体合方盖阳马于是

11R3V83

V牟合方盖

163

R

所以球

4

3（3）其它解法阿基米德利用力学原理创造了一种特殊的求积术——平衡法，他的方法是：设球的半径，作球的大圆面以及圆柱、圆锥的轴截面。其中以AB,为两条母线的圆柱与球外切S是圆柱的两底面圆心，圆锥的母NL,分别经过圆柱相应母线与球的切点。延N，在N距离为x处分别割出球、圆柱、圆锥的厚度为的三个薄片（可看成近似的圆柱体们的体积分别是

K球薄片圆柱薄片2圆锥薄片

CDNOABL--第四章

数学史融入中学数学教育的教学案例设计将球薄片与圆锥薄片悬挂在T处，圆柱薄片仍留在原处，以N为支点考虑两边的力矩（不妨设想比重为1）左力矩

2

x右力矩=2x因此，左