2021数学苏教版一轮专题突破练（7）概率、统计与其他知识的交汇含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学苏教版一轮专题突破练（7）概率、统计与其他知识的交汇含解析专题突破练(7）概率、统计与其他知识的交汇一、选择题1．（2019·河北衡水中学测试）在区间［1,5]上随机地取一个数m，则方程4x2＋m2y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是()A．eq\f（1，5） B．eq\f(1，4）C．eq\f（3,5) D．eq\f(3，4）答案B解析由方程4x2＋m2y2＝1，即eq\f（x2，\f(1,4)）＋eq\f(y2，\f(1,m2））＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得eq\f(1,4）<eq\f(1，m2),即m2<4，而1≤m≤5，则1≤m＜2,则所求概率为eq\f（2－1,5－1）＝eq\f（1，4）。故选B．2．（2019·昆明模拟）黄金矩形是宽（b）与长(a)的比值为黄金分割比eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(b，a）＝\f（\r（5）－1，2）））的矩形．如图所示,把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH。在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（)A．eq\f（\r（5）－1，2) B．eq\f(3－\r（5)，2）C．eq\r(5)－2 D．eq\f（\r（5)－2,2)答案C解析由题意知,所求概率P＝eq\f（S矩形CEGH，S矩形ABCD)＝eq\f（a－b2，ab）＝eq\f（b，a)＋eq\f(a，b）－2＝eq\r(5）－2。故选C．3．(2019·沈阳质量监测)我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化"校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()A．eq\f(14，15） B．eq\f（1,15）C．eq\f（2，9） D．eq\f(7,9)答案A解析从10部专著中选择2部的所有结果有Ceq\o\al(2，10)＝45（种),所选的2部专著都为魏晋南北朝时期的专著的结果有Ceq\o\al（2，7)＝21（种）,所选的2部专著中只有1部为魏晋南北朝时期的专著的结果有Ceq\o\al（1，7)Ceq\o\al（1,3)＝21（种），所以所求概率P＝eq\f（21＋21，45)＝eq\f（14，15),故选A．4．（2019·南昌模拟)已知函数f（x)＝eq\f（1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0,1,2三个数中任取一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．eq\f（7,9） B．eq\f(1，3）C．eq\f(5，9) D．eq\f(2,3）答案D解析将a记为横坐标，b记为纵坐标,可知有（1,0),（1，1)，（1，2），（2,0），(2,1)，（2,2），(3,0），(3,1)，（3，2），共9个基本事件,而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根．因为f′(x)＝x2＋2ax＋b2，满足题中条件为Δ＝4a2－4b2〉0，即a>b,所以满足条件的有(1,0),(2，0），(2,1)，（3，0）,（3,1),(3,2），共6个基本事件，所以所求的概率为P＝eq\f(6,9）＝eq\f(2，3）.故选D．5．（2020·郑州摸底）从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高（单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172，171,173，150，151,152,160,165,164,179,149,158,159，175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一人,估计该生的身高在155。5～170。5cm之间的概率约为（）A．eq\f（2，5) B．eq\f(1，2)C．eq\f（2,3） D．eq\f（1,3)答案A解析从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155。5～170.5cm之间的学生有8人,频率为eq\f（2，5），故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人,其身高在155.5~170。5cm之间的概率约为eq\f(2，5）.6．(2020·惠州市高三第一次调研)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y），再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最后根据统计个数m估计π的值．如果统计结果是m＝34，那么可以估计π的值为(）A.eq\f（23,7) B．eq\f（47，15)C．eq\f（47，14) D．eq\f（53,17）答案B解析由题意,120个正实数对(x,y）中的x，y满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜y＜1,）)该不等式组表示的平面区域的面积为1。正实数对(x,y）中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y＞1,，x2＋y2－1＜0，,0＜x＜1，,0＜y＜1，））该不等式组表示的平面区域的面积为eq\f（π,4)－eq\f(1，2),则eq\f（π，4)－eq\f（1,2)≈eq\f(34,120),eq\f(π,4）≈eq\f(94，120)，π≈eq\f（47，15)，故选B。7．(2020·贵阳摸底）已知点P(x，y)是约束条件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，，2x－3y＋6≥0，,3x－2y－6≤0））表示的平面区域内的任意一点，如果点P（x，y）落在不等式x－y＋a≥0所表示的平面区域内的概率不小于eq\f(7，8），则实数a的取值范围为（)A．(－∞，1］ B．(－∞，－1]C．［1，＋∞） D．［－1，＋∞）答案C解析如图，满足约束条件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－2≥0，，2x－3y＋6≥0，，3x－2y－6≤0))的区域为△BCD内部及边界(阴影部分）．计算得D(0,2）,B(2,0），C(6,6)，|OD｜＝2，｜OB｜＝2，|BD|＝2eq\r（2）.点C到直线BD的距离为eq\f（10，\r(2））＝5eq\r（2)。得S△BCD＝eq\f（1，2)×2eq\r(2）×5eq\r(2）＝10，当a＝1时，设直线x－y＋1＝0与BD，DC分别交于点E，F，则Eeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2），\f（3，2)）)，F（3,4)．DE＝eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)2＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2）－2))2)＝eq\f（\r（2），2),点F到直线BD的距离为eq\f（5，\r(2））＝eq\f（5\r(2），2)，得S△DEF＝eq\f（1,2）×eq\f(\r（2)，2)×eq\f（5\r（2)，2)＝eq\f(5,4)，此时eq\f（S△DEF，S△BCD）＝eq\f(\f（5，4)，10）＝eq\f（1，8)。在△BCD内部及边界(阴影部分）任取一点P(x，y)，若点P(x，y)落在不等式x－y＋a≥0所表示的平面区域内的概率不小于eq\f(7,8)，则a≥1。故选C．二、填空题8．(2019·成都模拟)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为eq\o（x，\s\up6（－))甲，eq\o(x，\s\up6（－））乙,则eq\o（x，\s\up6(－)）甲〉eq\o（x，\s\up6（－))乙的概率是________。答案eq\f（2，5)解析乙的综合测评成绩为86,87,91，92,94，eq\o（x，\s\up6（－））乙＝eq\f(86＋87＋91＋92＋94，5）＝90，污损处可取数字0，1,2，…,9，共10种，而eq\o（x，\s\up6(－))甲>eq\o(x，\s\up6（－））乙发生对应的数字有6，7，8,9，共4种，故eq\o(x,\s\up6（－))甲〉eq\o(x,\s\up6(－))乙的概率为eq\f(4,10）＝eq\f（2，5)。9．（2019·山东淄博三校联考）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使l1：x＋ay＝3,l2：bx＋6y＝3平行的概率为P1，不平行的概率为P2,若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq\f(65,72)的内部，则实数m的取值范围是________．答案－eq\f(1，6）<m〈eq\f（1,3)解析由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，满足条件的（a，b)为（1,6），(2，3),（3，2)，而所有的(a，b)有6×6＝36种，∴P1＝eq\f(1,12),P2＝eq\f(11，12)，∴eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，12)－m））2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（11，12)))2<eq\f（65，72），解得－eq\f（1，6）<m〈eq\f(1,3)。10．(2019·衡阳联考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2,∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1。若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是________．答案eq\f(6－\r（3)π，6)解析由题可知四个扇形的面积之和刚好为半径为1的圆的面积，此时黑色部分的面积即为菱形面积减去半径为1的圆的面积,从而所求概率为P＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）×2×2sin60°））－π×12，2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)×2×2sin60°））)＝eq\f（6－\r(3)π,6).三、解答题11．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M,当M≥85时，产品为一级品；当75≤M<85时，产品为二级品；当70≤M〈75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组［75，80)[80,85)［85,90)[90,95)频数10304020B配方的频数分布表指标值分组[70，75）[75，80)［80,85)［85,90）［90，95)频数510153040(1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的概率;（2)若这种新产品的利润率y与质量指标值M满足如下关系：y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(t，M≥85，,5t2,75≤M＜85，,t2，70≤M＜75，)）其中t∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,7)))，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看,你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?解(1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a，b，有3件为一级品，记为x，y,z，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：（a，b，x），(a，b，y)，(a，b，z），（a，x，y），（a,x，z），(a，y,z),(b，x，y），（b，x，z），(b，y,z),（x，y,z）．其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为eq\f(6，10）＝eq\f（3,5）.(2）由题知A配方生产的产品平均利润率为E(A）＝eq\f（10＋30×5t2＋40＋20t,100)＝2t2＋0。6t，B配方生产的产品平均利润率为E(B)＝eq\f(5t2＋10＋15×5t2＋30＋40×t，100)＝1。3t2＋0。7t，所以E（A）－E(B)＝0.7t2－0.1t＝0。1t(7t－1），因为0<t<eq\f(1,7），所以E(A）〈E（B)，所以投资B配方的产品平均利润率较大．12．(2019·河南郑州八校联考)某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份201320142015201620172018年份代码t123456年产量y/万件6.66。777.17.27。4(1)根据表中数据，求y关于t的线性回归方程eq\o(y，\s\up6（^))＝eq\o(b，\s\up6（^)）t＋eq\o(a，\s\up6（^))；（2)若近几年该产品每件的价格v（单位：元）与年产量y满足的函数关系式为v＝4。5－0.3y，且每年该产品都能售完．①根据（1）中所建立的回归方程预测该工厂2019(t＝7)年该产品的年产量；②当t（1≤t≤7）为何值时，该产品的年销售额S(单位：元)最大？附：对于一组数据（t1，y1),（t2，y2），…，（tn，yn）,其回归直线y＝bt＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b，\s\up6（^）)＝eq\f(\o(∑，\s\up6（n），\s\do4(i＝1)）ti－\x\to（t）yi－\o(y，\s\up6(－）），\o（∑,\s\up6(n）,\s\do4(i＝1))ti－\x\to（t）2)，eq\o（a,\s\up6（^）)＝eq\o（y，\s\up6（－））－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)。解(1）由题意，得eq\x\to(t）＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6，6）＝3.5,eq\o（y,\s\up6（－）)＝eq\f(6。6＋6.7＋7＋7.1＋7.2＋7。4,6)＝7,eq\o（∑，\s\up6(6)，\s\do4（i＝1）)(ti－eq\x\to(t))（yi－eq\o(y，\s\up6（－)））＝(－2。5)×（－0。4）＋(－1。5)×（－0.3）＋0＋0.5×0。1＋1.5×0.2＋2。5×0.4＝2。8，eq\o(∑，\s\up6（6)，\s\do4（i＝1）)（ti－eq\x\to(t）)2＝(－2。5)2＋（－1.5）2＋(－0.5）2＋0.52＋1.52＋2。52＝17。5。由eq\o（b,\s\up6（^）)＝eq\f（\o(∑，\s\up6(6），\s\do4(i＝1）)ti－\x\to(t)yi－\o（y,\s\up6(－）），\o(∑,\s\up6(6)，\s\do4（i＝1）)ti－\x\to（t）2)，得eq\o(b，\s\up6（^））＝eq\f（2。8，17。5)＝0。16，由eq\o(a，\s\up6（^）)＝eq\o（y,\s\up6(－))－eq\o(b，\s\up6（^））eq\x\to(t），得eq\o(a,\s\up6(^））＝7－0.16×3.5＝6。44，所以y关于t的线性回归方程为eq\o（y,\s\up6(^)）＝0。16t＋6.44.(2)①由(1)知eq\o（y，\s\up6（^)）＝0。16t＋6。44,当t＝7时，eq\o(y，\s\up6(^）)＝0。16×7＋6.44＝7。56，所以预测该工厂2019年该产品的年产量为7.56万件，②当年产量为y时,年销售额S＝(4.5－0。3y）y×104＝(－0.3y2＋4。5y）×104＝[－0.3（y－7。5)2＋16.875]×104，由题知y∈{6.6,6.7，7，7。1,7。2，7.4，7。56},所以当y＝7.56，即t＝7时，年销售额最大，即2019年的销售额最大．13．（2020·杭州摸底)某省医学部门为了解某市医生对2019年5月8～10日在浙江杭州国际博览中心召开的“中国医师协会检验医师年会暨第十四届全国检验与临床学术会议"的关注度，从该市的医学部门中，年龄在30岁到55岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的年龄频率分布直方图．在这100人中关注度分成“非常高”和“一般”，已知这100人中关注度“非常高”的人数与年龄的统计结果如表所示：年龄［30,35)[35,40)[40，45)［45,50）［50,55］关注度“非常高”的人数144172119关注度“非常高”的人数与年龄统计表（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数;（2）根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,据此表,判断能否在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对此次会议的关注度存在差异？45岁以下45岁及以上总计非常高一般总计(3)