渗流数学模型

渗流数学模型第一页，共42页。第二章油气渗流的数学模型

建立数学模型的原则运动方程状态方程质量守恒方程数学模型的初边值条件第二页，共42页。第一节建立数学模型的原则建立数学模型的基础油气渗流数学模型的一般结构建立数学模型的步骤

第三页，共42页。

二、油气渗流数学模型的一般结构(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。(2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。(3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。(4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。(5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。(6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。第一节建立数学模型的原则第四页，共42页。三、建立数学模型的步骤1.确定建立模型的目的和要求解决的问题:①压力P的分布②速度v的分布（包括求流量）③饱和度S的分布④分界面移动规律。自变量：空间和时间，(x,y,z)或(r,θ,z)和时间t因变量：压力P和速度v；两相或多相流S分布其它参数：地层物性参数(如渗透率K、孔隙度ф、弹性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如粘度μ、密度ρ、体积系数B等)第一节建立数学模型的原则第五页，共42页。2.研究各物理量的条件和状况过程状况：是等温过程还是非等温过程；系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系统；相态状况：是单相还是多相甚至是混相；流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。

第一节建立数学模型的原则第六页，共42页。3.确定未知数和其它物理量之间的关系运动方程：速度和压力梯度的关系状态方程：物理参数和压力的关系连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与坐标和时间的关系：确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系（如能量转换方程、扩散方程等等）Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T)v=f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体)S=f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)

第一节建立数学模型的原则第七页，共42页。4.写出数学模型所需的综合微分方程(组)用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中，最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程组。5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题7.给出问题的边界条件和初始条件第一节建立数学模型的原则第八页，共42页。

第二节运动方程渗流服从线性规律时，渗流速度为:

其微分形式为：将上式从均质地层的稳定渗流推广到非均质地层的不稳定渗流或写成：第九页，共42页。第三节状态方程

液体的状态方程

气体的状态方程

岩石的状态方程

渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程，由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状态方程”。第十页，共42页。一、液体的状态方程液体具有压缩性，随着压力降低，体积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时液体质量M不变,即微分上式得：将VL、dVL代入(1)式得：

(1)(2)(3)(4)第三节状态方程

第十一页，共42页。分离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式：将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精确性：CL值是一个变量，它随温度和压力不同略有改变;在地下渗流中，油气层温度大致不变，可把CL值看成常数，数量级在10-4(1/MPa)左右。渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流力学过程的数学模型。(5)(6)大气压力(或初始压力)P0下流体的密度

第三节状态方程

第十二页，共42页。二、气体状态方程理想气体(分子无体积、分子间无作用力)状态方程为真实气体的状态方程P—气体压力V—压力P时的气体总体积T—绝对温度R—气体常数n—气体摩尔数z—压缩因子，z=f(P，T)，在给定温度压力下实际气体占有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。第三节状态方程

第十三页，共42页。三、岩石的状态方程

岩石的压缩性对渗流的影响：①压力变化会引起孔隙大小发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数；②由于孔隙大小变化引起渗透率的变化。岩石的压缩性用压缩系数描述：分离变量，Cf取常数，并设P=P0时，φ

=φ0积分不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之间。在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程

△φ—当压力变化ΔP时的孔隙度的改变量

第三节状态方程

第十四页，共42页。第四节质量守恒方程

单相渗流的连续性方程两相渗流的连续性方程

渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单元体内质量应为常数。第十五页，共42页。一、单相渗流的连续性方程微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元，其中M点质量速度在各坐标上分量为ρvx、ρvy、ρvz。第四节质量守恒方程

第十六页，共42页。1.流入流出质量差dt时间经a'b'面流入的质量流量应为：dt时间经a"b"面流出的质量流量为：六面体在dt时间x方向流入流出的流量差为：第四节质量守恒方程

第十七页，共42页。同理，可求得沿y方向、z方向流入流出的流量差分别为：dt时间内六面体内流入与流出的总的质量流量差为：

第四节质量守恒方程

第十八页，共42页。2.单元体内质量变化经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化)六面体内的孔隙体积：流体质量：单位时间内流体质量变化率：dt时间流体质量总的变化为：第四节质量守恒方程

第十九页，共42页。显然dt时间内六面体总的质量变化应等于六面体在dt时间内流入与流出的质量差，即：或上式可写成：

散度，M点单位体积单位时间向包围曲面外流出的流体体积上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒方程（连续性方程）

第四节质量守恒方程

第二十页，共42页。如果是不可压缩流体(即ρ=常数)在刚性孔隙介质中流动(φ=常数)，则

连续性方程为：物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，所以又称稳定渗流的连续性方程。

第四节质量守恒方程

第二十一页，共42页。二、两相渗流的连续性方程1．油水两相渗流的连续性方程

假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发生化学作用，取一个单元六面体dxdydz可对油水两相分别写出质量守恒的连续性方程。对油相来说，在dt时间内单元六面体流出流入的质量差为(1)第四节质量守恒方程

第二十二页，共42页。油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内油被水驱替所引起的结果。若在t时刻六面单元体内油的饱和度为So，t+dt时刻油的饱和度为dt时间内饱和度变化为饱和度变化引起的油相质量变化为

(2)第四节质量守恒方程

第二十三页，共42页。根据质量守恒定律，(1)、(2)式应该相等

可以写为对水相来讲，同样可以得出：

第四节质量守恒方程

第二十四页，共42页。2．油、气两相渗流的连续性方程

在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在dt时间内流入流出的质量差为：由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间变化为：

在压力P下溶有气体的地下原油密度

地下单位体积原油中溶解气质量

第四节质量守恒方程

第二十五页，共42页。根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两相渗流时，油相的连续性方程：对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dt时间内这两部分气体流过单元六面体地层的质量变化为：自由气：溶解气：第四节质量守恒方程

第二十六页，共42页。气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经dt时间的质量变化为：根据质量守恒定律，得或第四节质量守恒方程

第二十七页，共42页。第五节典型油气渗流数学模型建立单相不可压缩液体稳定渗流数学模型弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型

第二十八页，共42页。一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及液体的压缩性(不需要建立状态方程)，等温、稳定渗流。运动方程：连续性方程：将(1)式代入(2)式由于K/μ为常数，故

(1)(2)第五节典型油气渗流数学模型建立第二十九页，共42页。上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称Laplace方程。除用直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。Laplace算子第五节典型油气渗流数学模型建立第三十页，共42页。二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型

假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和连续性方程组成。

运动方程：状态方程：对弹性孔隙介质：对弹性液体：单相液体质量守恒方程：(1)(2)(3)(4)第五节典型油气渗流数学模型建立第三十一页，共42页。将(1)(2)(3)代入(4)，第一项中因为CL、Cf都是很小的数，可略去含CL×Cf项得：式中综合压缩系数，单位岩石体积在降低单位压力时,由孔隙收缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积,可看成是常数

,故第五节典型油气渗流数学模型建立第三十二页，共42页。(4)式第二项由三部分组成:(5)第五节典型油气渗流数学模型建立第三十三页，共42页。同理可得：由此可得：

(6)第五节典型油气渗流数学模型建立第三十四页，共42页。(5)、(6)代入(4)式导压系数，它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率K单位为μm2，液体粘度μ单位为mPa.s，综合压缩系数Ct单位为10-1MPa-1时，导压系数æ的单位为cm2/s，其物理意义为单位时间内压力波传播的地层面积。

二阶抛物线型偏微分方程(或称热传导方程)第五节典型油气渗流数学模型建立第三十五页，共42页。第六节边界条件和初始条件

数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都可能有无穷多个解。要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有：发生这个物理现象的区域和几何形状；影响这个物理现象的物理参数和系数；描述所研究系统的初始状况的条件；问题区域的边界条件。完整的数学模型必须包括微分方程(组)和它的初始条件、边界条件，使数学模型具体化，从定性研究提升到