自主专家笔试指导数学zzzs

一、知识与方

概率与解决概率问题要分清是互斥有一个发生的概率、相互独立同时发生的概率还是独立重复试验的概率。在概率问题中的应用。华约和卓越的概率问题一直特色鲜明，题目引入离散型随量，并不是按照传统二、例题与讲例1.复旦在半径为1的圆周上随机选取3点，他们构成一个锐角三 1 试求针与平行线相交的概率；a与l1. a设针的中心点离最近的平行线的距离为X，与平行线的夹角为A，则X,A服从 ,0,20lsin上的均匀分布（区域设为D）。当lsinAX时相交，即PlsinAX在D中面积 D的面 a2

例3.12华约系统中每个原件正常工作的概率是p0p1,各个元件正常工作的 1某系统配置有2k1个元件，k2现为改善1C解法一通过组合数C2k

的变形，寻找出pk1pk的关系ppk

k

nC2kC

1pnp2k 2k 2k 2k CnCn1 Cn1Cn1Cn2 2Cn1Cn22k 2k 2k 2kpk1C

n2k n1 1pp2k 1p n1 n1 n2k

2k

2k 2k 2k 1pnp2k1n

1p Cn21pnp2k

2kn

n2k

k

2kn

2k

k

2kn nC

2k

1p

2k

1

2k

1pn2p2k

1pnp2k1np2k1n

2

kk

k1

k1k2kk2k 2k

p21pp1

1p

1 k

n2k

1pkpkp1

2k

1p

2kpk

C2kC

1pkpk2p因此，当p1时，p递增；当p1时，p递减；当p1时， p k 解法二通 发生的过程，寻找出pk1与pk的关系ppk

knn

C2k

1pnp2k1n。注意到前2k1次的概率是前2k1次成功k1次的概率加上前2k2k2k次成功k次而后两次有且只有一次成功的概率以及2k2k2k2kp2k

k2k

pk1pk1

pk11pk

k2k

pk1pk1

pk11kk

C2k

pk1pk2p2因此当p1时，p递增；当p1时，p递减；当p1时， p2

k 1经过两次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多2经过n次传球后，球在甲手中的概率记为pnn1,2, ,试求出pn1与pn的关系式，并求pnn表达式及limpn

分析：第一问 3 (2)记An表 “经过n次传递后，球在甲手中”，n1,2,,则有P1P(A1)P第n1次传递，球到甲手中的概率为1P

与Pn 1(1P)，n 11 1)，因此数列 1是公比为1的等比数列，其首项为11，故有 1

41

3Pn1 1n1

4

P1 Pn443 ,Pn413,n 1 1n1 4 例5.11华约将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面向上的概率1求p1p2p3,p4的2探究数列pn的递 ，并给出证3讨论数列 pn单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义以找到求pn递推的方法。分析：（1）p1p1p11117 1 p41 2 16现连续3次正面的概率pn。若第n-2n-1次为正面，第n

1

1

1 2

4

8的情况：只有第n次，第n-1次，第n-2次均为正，第n-3次 ．所以，p 1

pn1 pn2

pn3,，也可以很方便的

由p 1

pnpn116知，p ，所以数列p的单调递减；又由 n116 所 所 p n1 16 15所以pn pn1pn2 p2 16 16 16所以pn的极限p0，其概率的统计意义是经无数次尝试后，连续3次正面这样的小概率 而其对立发生的概率为0。袋中有几个红球时，能使取出的3个球全为同色的概率为最小？解设红球、白球的个数分别为想，x，y，则有xy x33x22x x

y33y22yx3y33x2y22x x3y3xy3

3xyxy106300xyx2y2xy22xy1042xy970200

x2

x5022500三、巩固练 型式：AA，Aa，aa的比例分别为u:2:(u2)(2)子二代的三种型式的比例与子一代的三种型式的比例相同吗？并说明理由u000000000000AA:Aa:aau22u2:2u2u222:222u2:2u:(2)设ux,yx22xyy2xy1x22xyy21x2xyy2分别看成u,,,则由（1）的结论可知，子二代为AA，Aa，aa的比例为x2xy2:2x2xyxyy2:xyy2x2xy2:2xyxyxy:y2xx2:2xy:2.（2007年）已知音响设备由五个部分组成：A.电视机，B.影碟机，C.线路，D.左声道和E.右声道，其中每个部分工作的概率入土所示。能听到声音时，当且仅当A与B中由一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且D和E同时工作则有立体声效果。 3.（2002年交通大学）A，B两人轮流掷一个，由A先掷，若A掷到一点，仍由A掷，若A掷不到一点，则换B掷，对B同样适用此规则，如此依次投掷，记第nA的概率为An。An1An求 解（1）B掷的概率为1AA掷到1点的概率为1B掷不到一点的概率为5 1A5(1A2A5 （2）设limAnx，则limAn1 因为 x, 两边取极限得x2x5x1，所以limA1 解设红球、白球的个数分别为想，x，y，则有xy x33x2C3xC

y33y22y