2020届高三数学一轮复习 第3章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

22cos222cos22cos22cos222cos22cos第二节

同角三角函数基本关系与诱导公式sinα[纲传真]1.理解同角三角函数的基本关系式sinα＋α＝1，＝πtan能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角角函数的基本关系式平方关系：sinα＋＝1；sinα商数关系：tan＝.2．诱导式1．思考辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”若α，β为锐角，则sinα＋β＝)sinα若α∈R，则tan＝恒成立．()1

213D.132134425442222222252225225255213D.132134425442222222252225225255(3)sin(＋＝－α成立的条件是α为锐角．()(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中奇、偶是π指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．)[案]

×

×

(3)×

√52．教材改编已知α是第二象限角，sin＝，则α于()A．－

513

－

1213C.B

5135[α＝，α是第二象限角

1213∴cosα＝－

121－sin＝－.]13．(2017·陕西质检(二))若tan＝，则α－α的值为)A．－

15

－

35C.

15

3D.B

[sin－＝－cosα)(sinα)

sinα－αsinα＋α

＝

tanα－1tanα＋1

＝3－，故选B.]4．(2016·四川高考)sin＝________.12

1[sin750°＝sin(750°－360°×＝.]35．已知＋，∈π＋α)＝________.【导学号：01772107】－

45

[为sin＋＝α∈＝

41－α，所4以sin(＋α)＝－sin＝－.]2

842424D.4228421＋4×22432222522842424D.4228421＋4×22432222522同角三角函数基本关系式的应用15π3π已知sinαcosα＝，且＜α＜，则－sin的值为()A．－

32

B.

32C．－

34

3D.3全国卷Ⅲ)若tanα＝，则＋2sinα＝()6425C.15π3πB(2A[(1)＜α＜，∴cosα＜0，α＜且＞，∴cosα－sinα＞0.

B.

48251625又(cos－sin

13＝1－2sinα＝1－2×＝，3∴cosα－sinα＝.33cosα＋4sinα1＋4tanα4∵α＝则cosα＋2＝＝＝＝sinα＋cosα＋164，故选A.][律方法]

1.利用sinα＋

α＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利3

cos222222π14211142232222－＋12152＋13453cos222222π14211142232222－＋12152＋13453663sinα用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．应用公时要注意方程思想的应用：对于α＋sincosα，α－这三个式子，利用(α±cosα＝1±2sinαα，可以知一求二．3．注意公逆用及变形应用：1＝sin＋α，sinα＝1－cosα，α＝1－sin

2

α.[式训练1]全国卷Ⅱ)设为第二象限角sinθ＋θ＝________.－

105

π1＋tan[tan，∴＝，解得θ＝－.1－tanθ∴(sin＋θ)＝

sinθ＋cosθ＋2sinθθsinθ＋cosθ12tanθ＋θ＋93＝＝＝tanθ＋191∵θ为第二象限角，tanθ＝－，3∴2π＋＜θ＜2k＋π，sinθ＋θ，10∴sinθ＋θ＝－.]诱导公式的应用已知＝

sin＋(∈Z则A的值构成的集合是sinα()A．，－1,2，－C．{2，－2}

B.{－1,1}，－1,0,2，－2}已知－α，则＋α________.4

sinαcosαcossincosα66πtan66α－为π266636636sinαcosαcossincosα66πtan66α－为π2666366362226662263322663θ＋4πθ－4C

－

33

sinαcosα[(1)当为偶时，＝＋＝；－sinαk为奇数时，＝－＝－2.π＋α＋＝π－－α3＝－tan－.][律方法]

1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2]________.

已知－，则cos＋【导学号：01772108】－

2＋[＋α3＝－－，πππsin－＝1－

2－，π2＋∴cos＋－＝－.]同角关系式与诱导公式的综合应用国卷Ⅰ已知θ是第四象限角，且tan________.5

π，5

3＝α－郑α22－α3sin－α22445π424442πθ＋tan4π333＝α－郑α22－α3sin－α22445π424442πθ＋tan4π33θ＋ππ22223357π－α3sinπ－α3α－α277353πsin州质检)已知2sin的值为_－

43

3(2)35

ππ[(1)由题意知sin是第四象限角所以cos＞0，所以

1－sin

.πππtan－

1π4＝－＝－＝－.∵＋α∴－sinα＝－2cos，则sinα＝，代入sin

2

α＋cos

α＝1，得

1α＝.5sinsinα－cosα＝5sin－3cosα813＝＝α＝.][规方]

利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．1[式训练3]安徽皖南八校联考)已知α＝α是二象限角则6

3344cosα222243344cosα22224tan(－α)＝________.24

1[α＝，α是第二象限角，22∴cosα＝－，22∴α＝－，故tan(－α)＝－tan＝.][想与方法]三角函数求值与化简的常用方法sinα弦切互化法：主要利用公式α＝进行弦、切互化．和积转换法：利用(θθ)＝1±2sinθ