自动控制原理-第5章-4

5.5基于开环频率特性的闭环系统稳定性分析本节研究根据开环频率特性判断闭环系统稳定性的一种方法Nyquist判据。1Nyquist判据的优点1绘制系统的开环频率特性要比绘制闭环频率特性容易；2这个判据不仅可以判断闭环系统是否稳定，而且可以判断出闭环系统接近于不稳定的程度，称为稳定裕度；23这个判据可以给出改善系统稳定性以至于改善系统动态过程的方法；4在不知道系统传递函数的情况下，可以依据实验测出的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。35.5.1闭环系统的稳定条件闭环系统稳定的充要条件是：特征方程的根全部位于复数平面的左半平面，或者说，闭环系统的极点全部具有负实部。闭环系统的特征方程为：4ReIm0稳定情形下闭环极点的分布5结论1若闭环系统特征方程的个根全部位于复数平面的左半平面，即闭环系统稳定，则当从变化时，的幅角变化量为。即：6ReIm0不稳定情形下闭环极点的分布7结论2当从时，如果的幅角增量为则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。85.5.2开环频率特性与闭环稳定性的关系开环传递函数为闭环系统特征方程为或写成9引入辅助函数阶次均为10（1）首先讨论系统开环稳定的情况结论1若系统的开环极点全部在s平面的左半平面，则闭环系统稳定的充要条件是：当从时，的幅角增量为零。11（2）再讨论开环系统不稳定的情况结论2若系统的个开环极点中有个在s平面的右半平面，其余个开环极点都在s平面的左半平面，则闭环系统稳定的充要条件是：当从时，的幅角增量为。12（3）开环传递函数中有串联积分环节的情况ReIm0AB的变化路径：13结论3若系统的个开环极点中有个在s平面的右半平面，有个位于原点，充要条件是：则闭环系统稳定的当从时，的幅角增量为。145.5.3Nyquist判据对上一节的和进行概括，有：结论1结论2对于开环传递函数中无串联积分环节的系统，当从时，若为，的幅角增量则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。正实部开环极点的个数15ReIm0-1向右移动1个单位1开环稳定而闭环不稳定的一个例子16ReIm0-11开环稳定的幅角增量的形成过程幅角增量为17ReIm0-11开环稳定开环Nyquist曲线绕点旋转角度示意图旋转角增量18ReIm0-1向右移动1个单位1开环稳定，闭环稳定的一个例子19ReIm0-1开环Nyquist曲线绕点的旋转过程1开环稳定负角正角旋转角增量为20Nyquist判据1且的情形若系统开环频率特性的Nyquist曲线不包围点，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。212且的情形若系统开环频率特性的Nyquist曲线绕点转过的角度为，则闭环系统稳定，不稳定。否则闭环系统223且的情形对于开环传递函数中含有串联积分环节的系统，闭环系统稳定的充分必要条件为：开环频率特性的增补Nyquist曲线绕点转过的角度为。23ReIm0增补Nyquist曲线示意图24ReIm0增补Nyquist曲线示意图254且的情形闭环系统稳定的充分必要条件为：开环频率特性的增补Nyquist曲线不包围点。26[例5-13]某系统的开环传递函数为试用Nyquist判据分析三种情况下闭环系统的稳定性。27[解]当时，由于开环传递函数的分母阶次高于分子的阶次，所以开环频率特性的幅值0。本系统的开环传递函数包含2个积分环节，所以当时，幅值为。开环频率特性的相角为，282930（1）的情况整个开环Nyquist曲线位于第III象限。31ReIm0-1增补开环Nyquist曲线不包围点，闭环系统稳定。32（2）的情况整个开环Nyquist曲线位于第II象限。33ReIm0-1增补开环Nyquist曲线包围点，闭环系统不稳定。34（3）的情况整个开环Nyquist曲线位于负实轴上。35ReIm0-1增补开环Nyquist曲线通过点，闭环系统临界稳定。36[例5-14]设某非最小相位系统的开环传递函数为分析和情况下闭环系统的稳定性。37（1）的情况ReIm0-138（2）的情况ReIm0-1395.5.4Bode图中的Nyquist判据Nyquist图与Bode图之间的对应关系1Nyquist图Bode图以原点为圆心，1为半径的单位圆0dB线单位圆以外的区域0dB线以上的区域单位圆以内的区域0dB线以下的区域402Nyquist图Bode图相频特性中的

线负实轴413Nyquist图Bode图ReIm01-11-1A顺时针幅角减小负穿越幅角减小负穿越0A424Nyquist图Bode图ReIm01-11-1B逆时针幅角增大正穿越幅角增大正穿越0B43

情形下的Nyquist判据如果系统的开环传递函数在s平面的右半平面内无极点，即，则闭环系统稳定的充分必要条件是：系统的开环Bode图中，在幅频特性大于0dB的频段内，其相频特性（或增补相频特性）正、负穿越线的次数相等，或不存在任何穿越。44注如果系统的开环传递函数中含有个串联积分环节，在Bode图中作开环频率特性增补特性曲线的方法是：在相频特性的最低频段，把相频特性向角度增大的方向延伸。如下图所示。45ReIm046

情形下的Nyquist判据一个例子ReIm0-1开环Nyquist图正穿越负穿越47

情形下的Nyquist判据如果系统的开环传递函数在s平面的右半平面内有个极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是：系统的开环Bode图中，在幅频特性大于0dB的频段内，其相频特性（或增补相频特性）正、负穿越线的次数之差为。48注如果开环Nyquist曲线起始于单位圆外的负实轴，其Bode图中的相频特性起始于线，则视为次穿越。正、负由相角的变化情况决定。49

情形下Nyquist判据的实用形式如果系统的开环传递函数在s平面的右半平面内有个极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是：系统的开环Bode图中，在幅频特性大于0dB的频段内，其相频特性（或增补相频特性）正、负穿越线的次数之差为满足等式：1502如果在上述前提下，则闭环