(完整版)同济大学弹性力学往年试题

同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸A卷2006—2007学年第一学期课程名称：弹性力学专业年级：课号：任课教师：学号：姓名：考试（√）考查（）考试（查）日期：2007年1月22日出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌教学管理室主任签名：．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分)1（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q来等代。()(x,y)(x,y)0，那么由（2）对于常体力确定的应力分量必然满足平衡微分方程。（）（3）在求解弹性力学问题时，半逆解法，因为解的方式不同，解的结。（）（4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题。（）平面问题，若应力函数满足双调和方程22要谨慎选择逆解法和果会有所差别进行求解（5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式：M2F(x,y)dxdy,其中为扭转应力函数。（）F(x,y)（6）应变协调方程的几何意义是：（7）平面应力问题平和面应变问题的应变协调方程相同，（8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。()物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（）但应力协调方程不同。（）（9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（）（10）三个主应力方向一定是两两垂直的。()填空题2．（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分）(1)弹性力学是研究弹性体受外界因(2)平面应力问题的几何特征是：。(3)平衡微分方程则表示物体的平衡，应力边界条件表示物体的平衡。(4)在通过同一点的所有微最大正应力所在的平面一定是。过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：。素作用而产生的的一门学科。分面中，(5)弹性力学求解x,yax4bx2y2cy4a,b,c的关系应该如果能作为应力函数，其(6)应力函数是。(7)轴对称的位移对应的一定是轴对称的。(8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有系数的、满足的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。(9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在为直线，并垂直于变形后的中面，且。(10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有个，但其不为零的应力、应变和待定变形后仍保持位移分量有个。3．分析题（共20分，每题10分）（1）曲梁的受力情况如图1所示，请写出其应力边界条件（固定端不必写）。ePaMxθbqy图1（2）一点应力张量为012xxyxzyzz11yxyy210zxzy某一平面上应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。已知在经过该点的y计算题4．（共40分）（1）图2中楔形体两侧受均布水平压力q作用，求其应力分量（体力为零）。提示：设应r2(AcosB)力函数为：（10分）图2（2）如图3所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P，不计体力，弹性模量为E，泊松μ，应力函数可取Axy3BxyCyDy比为23，试求应力分量。（15分）图3（3）如图4所示，瑞雷－里兹法求解简支梁受均布荷载p和跨中集中荷载p作用，试用0xx3x：(1)wasin；（2）wasinbsin跨中挠度。挠度函数表达式分别为。比LLL较两种挠度函数计算结果间的差异。（15分）PL/2p图40L同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸A卷标准答案2006—2007学年第一学期．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分)1（1）薄板小挠度弯曲时，（2）对于常体力平面问题，确定的应力分量必然满足平衡微分方程体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q来等代。(√)(x,y)(x,y)0，那么由若应力函数满足双调和方程22。（√）（3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。（×）（4）如果弹性体几何形状是轴对称时，可就以按轴对称问题进行求解。（×）（5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式：M2F(x,y)dxdy,其中F(x,y)为扭转应力函数。（×）（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续（7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程（8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。(×)（9）位移变等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（√）（10）三个主应力方向一定是两两垂直的。(×)的。（√）不同。（√）分方程填空题2．（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分）(1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的应力、应变和位移的一(2)平面应力问题的几何特征是：物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。则表示物体内部的平衡，应力边界条件表示物体边界的平衡。(4)在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是主平面。门学科。(3)平衡微分方程(5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：解的唯一性定律。(6)应力函数x,yax4bx2y2cy4如果能作为应力函数，其的关系应该是a,b,c3ab3c0。(7)轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。(8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足位移边界条件或几何可能的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。(9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，(10)一般说来，的平面问题的基本方程有8个，但其不为分量有9个。且长度不变。经过简化后零的应力、应变和位移3．分析题（共20分，每题10分）(1)0,主要边界：0,r0,qrrrbrarbrra次要边界：bdrPsin0abdrPcos0rardrPesinMb0a(2)一点的应力张量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为：XlmnxyxxzYlmnyxyyzZlmznzxzyl2m2n21及故有m2n0lmn0y2lm0l2m2n21及解得：m2n,ln,2(1)n0yn210,61y111由此得：1,vlemene6e6e6e3y123124．计算题（共40分）(1)解：极坐标下的应力分量为：112Acos2B2rrr2r22(AcosB)r21()Asinrrr应力边界条件为：qcosqsinr将应力分量代入边界条件，可解得：Aq,B12qcos所以应力分量解答为：q(coscos)rq(cos2cos)qsinr(2)解：由题可知，体力X=0，Y=0，且为弹性力学平面应力问题。1）、本题所设应力函数满足双调和方程：220(a)2）、应力分量为：2Xx6Axy2C6Dyyxy22Yy0x22B3Ay2xyxy(b)3)、用应力边界条件求待定常数A、B、C、D：2a处，必须精确满足：应力边界条件，在上、下表面yxyy2a()0,()0(c)(d)yy2a则有：B12Aa20X=0的左边界为次要边界，利用圣维南原理则有：2a()的等效：xx0X方向力对0点的力dyPsin；2aydyPasin；2a()矩等效：xx02a。dyPcosxyx02a()2aY方向力的等效：将式(b)代入上式得：8CaPsin32Da3Pasin(e)4Ba16Aa3Pcos联立式(d)和式(e)，解得：Pcos,Bcos,CPsin,D3PPsin；A32a38a8a32a2(4)、应力分量为：3PxycosPsin(1y),30,cos(3P1y21)16a34484a2aaaxyxy(3)解：1）挠度函数取为：(1)vasinxL梁的总势能为LEI4LEId2LL2v2()dxp(x)vdxPv(2)a22paPadx24L3000对总势能求驻值EIa04a2pLP02L3得a42PL34pL05EI4EI回代即得梁的挠度函数sinxLv2L3(2PLP)0EI5令xl2，则有跨中挠度4pL2PL34v(L2)a450EIEI3x2）挠度函数取为：vasinxbsinLL梁的总势能为2LEIdL2v)dxp(x)vdxPv(L2)2(dx0La3bPaba81b2p22020EI4L34对总势能求驻值EI2pLP04a0a2L3EI2pLP0481b0b32L3得a4pL42PL30EI54EI4pL2PL381EI44b02435EI回代并令xL2，即得梁的跨中挠度968pL164PLv(L2)ab2434304EIEI815两种挠度函数假定下相差为b。完毕同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸B卷2006—2007学年第一学期课号：学号：出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌1、图1中楔形体顶端受水平集中力P作用，求其应力分量（体力为零）。提示：设应力函数为：r(AcosBsin)（20分）图12、如图2所示的悬臂梁结构，在自由端有一个微小的垂直位移Δ，不计体力，弹性模量为E，泊松比为μ，应力函数可取Axy求应力分量。（20分）3Bxy，试图23、图3所示悬臂梁，截面抗弯刚度EI，梁长L，竖向弹簧刚度k；悬臂端受集中荷载F作用。试用瑞雷－李兹法求解悬臂端挠度和固定端弯矩。提示：梁的挠度函数可选为：vB1cos（20分）xFk21lEIL图3ρρ1图4所示材料密度为的三角形截面坝体，一侧受静水压力，水的密度为，4、另一侧自由。设坝中应力状态为平面应力状态：axby,cxdy,exfyxyxy请利用平衡方程和边界条件确定常数a,b,c,d,e和f。（20分）xβρgy1ρy图45、如图5所示的半无限平面，证明应力q1xA2Bsin2rr1A2Bsin2Asin2yr图5为本问题的解答。（20分）同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸B卷标准答案2006—2007学年第一学期1、解：极坐标下的应力分量为：1rrr2122(BcosAsin)rr220r2rr1)0(r两斜面应力边界条件为：0自动满足0r由隔离体平衡条件：X0:Y0:rdcos0rrdsinP0r将应力分量代入上面二式，可解得：P2sin2A,B0所以应力分量解答为：2Psinr(2sin2),0,0rr可知，体力X=0，Y=0，(v)且为平面应力问题2、解：由题。x0y01）、本题所设应力函数满足双调和方程：220(a)(b)2）、应力分量为：2Xx6Axyyxy22Yy0x22B3Ay2xyxy3）、由物理方程得应变分量为：1)6Axyx(EExy16y()Axy(c)EEyxAy2(1)2(1)B6(1)2EEExyxy4）、由几何方程得出位移分量为：u6AxyxvyEx6Axy(d)Ey2(1)B6(1)EEuvyxxyAy2由式(d)的前两式积分得：u3Ax2yf(y)E1(e)(f)3vAxy2f(x)E2将上式(e)代入式(d)的第三式，整理得：B3(2)2(1)f(y)Ay222E1EE欲使上式恒等地成立，只能令f(x)3Axa22E(g)(h)(i)3(2)f(y)Ay2b1E其中，常数a，b满足解式(g)得：ab2(1)BEf(x)1Ax3axC2E2f(y)(2)AybyC31E1则位移分量为：y(2)u3AxAy3byC1axC2EE(j)vAxy1Ax23E3E25)、由应力边界条件和位移边界条件求待定常数A、B、C1、C2和a、b：应力边界条件，在上、下表面yh处，必须精确满足：2()y0,()xyyh0(k)(l)yh22则有：B3Ah204v位移边界条件，(v)，(u)0，(v)0，()0则有：xx0y0xLy0xLy0xLy0C2C011AL3aL0E(m)3AL2a0E联立解式(l)、式(h)和式(m)得：AE,B3Eh23,a,b2L3(2L2h2h2),C0,C(n)2L8L34L31236）、本题的应力分量：应力分量为：3E3Ey22L3xy,0,3Eh2(o)L38L3xyxy3、解：总势能为cos2dx1kB2FBxl21121EId2vEI4LLB21222ldx2xlxl00对总势能求驻值4lkBF0B22l11得F32l3F4EI32kl3B14lkEI2l2回代并令即得悬臂梁挠度函数x1cos2l32l3Fv4EI32kl3令xl，则有悬臂端挠度为32l3F4EI32kl3vxl梁弯矩为xcos2l32l4EIFMEId2vEI3232kl2ldx23令xl，则有固定端弯矩为82lFMEIx0完毕4EI32kl34、(一)由平衡方程yx0yxx(1)g0yxxyy得：af0(2)(3)edg0(二)边界条件lmfyxxxylmfyxy在边界x0上：l1,m0故边界条件可写为bg(4)1f0在边界yxctg上：lcos,msin故边界条件可写为.axbxctgcosexsin0(5)excoscxdx.ctgsin0联合方程(2)、(3)、(4)可解得af0,bg1cgctg2gctg312dgctgg1egctg215、证明：（1）应力满足相容方程21202rr2r2rr22A0满足。代入得：2（2）满足平衡方程将应力代入平衡方程得2AsinABsin20B11Bcos22Asin20Arr满足。（3）边界条件,q,00,0,0rr将应力代入得1qAqAsin22满足。故其为本问题解答。同济大学课程考核试卷（A卷）2007—2008学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：考试考查：考试课号：030192课名：弹性力学√)、重考()试卷此卷选为：期中考试()、期终考试(年级专业学号姓名得分．是非题一（正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(共20分，每小题2分)（1）在薄板小挠度弯曲时将边界上的扭矩变换为静力等效的横向剪力，。（）只要满足静力边界条件即可。（）（3）由弹性扭转的薄膜比拟可知，最大的剪应力应发生在横截面周界上，找到周界上斜率最大的点，就是最大剪应力所在之处，它的方向一界在该点的切线方向。（），则的方向与和的方向可以垂直也可以不垂直，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力来处理边界条件问题（2）求解位移变分方程时所设的位移分量不必事先满足位移边界条件，定沿着周12（4）如果主应力1233但和的方向相互必须垂直。（）21（5）在轴对称（6）平面问题中的应力协调方程与材料无关，应变协调方程与材料有关。（）（7）对于单连通和多连通物体来说，应变分量满足应变协调方程是保证物体连续的充要条件。（）问题中，与轴对称应力对应的位移一定是轴对称的。（）（8）真实解答一定满足该弹性问题的平衡方程和物理方程。（9）满足平衡方程的一组应力分量，也一定满足应力相容方程。（）（）（10）开口薄壁杆的抗扭刚度比相同形状同材料、同截面积的闭口薄壁杆的抗扭刚度小。（）填空题二．（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分）(1)圣维南原理：若把作用在物体边界上的力面用另一组与它静力等效的力系来代替，则在力系作用区域的附近，应力分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可以不计。平面问题中，取二次多项式为应力函数，对应的应力分应力状态。(3)最小势能原理简述为：在满足边界条件的一切中，真正的使总势能取最小值。(4)用伽辽金法时所选(5)过物体内某一点总可以找到只有相对伸长或缩短，而且相互之(6)若已知弹性体仅受体力与力面作用，则弹性(2)在量为择的位移函数式，不仅满足条件，而且还满足条件。的方向，这三个方向的微分线段在物体变