2021-2022学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）设集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A.{2，3，4}B.{3，4}C.{2，3}D.{2}2.（单选题，4分）已知i为虚数单位，若（2+i）z=i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，4分）设函数，则f（x）是（）A.奇函数，且在（0，+∞）单调递增B.奇函数，且在（0，+∞）单调递减C.偶函数，且在（0，+∞）单调递增D.偶函数，且在（0，+∞）单调递减4.（单选题，4分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（）A.B.C.D.5.（单选题，4分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2=3，S4=18，则S6=（）A.36B.45C.63D.756.（单选题，4分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是[17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1407.（单选题，4分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A.cb＜caB.logca＞logcbC.ac＜bcD.logac＞logbc8.（单选题，4分）在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=（）A.B.C.D.9.（单选题，4分）设{an}是首项为-1的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，给出下列三个结论：

①AC⊥BE；

②△AEF的面积与△BEF的面积相等；

③三棱锥A-BEF的体积为定值．

其中，所有正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.311.（填空题，5分）已知向量=（2，5），=（λ，4），若||，则λ=___．12.（填空题，5分）双曲线的焦点坐标为___，渐近线方程为___．13.（填空题，5分）设函数f（x）=，则使f（x）≤2成立的x的取值范围是___．14.（填空题，5分）若点P（cosθ，sinθ）关于x轴的对称点为，则θ的一个取值为___．15.（填空题，5分）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知r=1，起始位置时大圆与小圆的交点为A（A点为x轴正半轴上的点），滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C．有如下结论：

①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；

②曲线D：|x|+|y|=4的周长大于曲线C的周长；

③曲线C与圆x2+y2=4有且仅有4个公共点．

其中正确的序号为___．16.（问答题，13分）已知函数，h（x）=cosx，从条件①f（x）=g（x）•h（x）、条件②f（x）=g（x）+h（x）这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）f（x）在区间上的最小值．17.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=，侧面PAD为直角三角形，∠PAD=，CD⊥平面PAD．

（Ⅰ）求证：CD||平面PAB；

（Ⅱ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅲ）若AB=3，PD=4，CD=AD=2，判断在线段PD上是否存在一点M，使得直线AM与平面PBC所成角的大小为．18.（问答题，13分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．A类问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.8，能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（Ⅰ）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（Ⅱ）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．19.（问答题，15分）已知椭圆，O为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆C的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）椭圆C在y轴上的两个顶点为A，B，点P满足，直线PF交椭圆于M，N两点，且，求此时∠OPF的大小．20.（问答题，15分）已知函数．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程；

（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）求证：当a≤-1时，f（x）≥-e．21.（问答题，15分）记实数a，b中的较大者为max{a，b}，例如max{1，2}=2，max{1，1}=1，对于无穷数列{an}，记，若对于任意的k∈N*，均有φk+1＜φk，则称数列{an}为“趋势递减数列”．

（Ⅰ）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=-2n+1，，判断数列{an}，{bn}是否为“趋势递减数列”，并说明理由；

（Ⅱ）已知首项为1公比为q的等比数列{cn}是“趋势递减数列”，求q的取值范围；

（Ⅲ）若数列{dn}满足d1，d2为正实数，且dn+2=|dn+1-dn|，求证：{dn}为“趋势递减数列”的充要条件为{dn}的项中没有0．

2021-2022学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）设集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A.{2，3，4}B.{3，4}C.{2，3}D.{2}【正确答案】：C【解析】：利用交集定义直接求解．

【解答】：解：∵集合A={x|-2＜x＜4}，B={2，3，4，5}，

∴A∩B={2，3}．

故选：C．

【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）已知i为虚数单位，若（2+i）z=i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：A【解析】：根据复数的运算求出z，从而求出复数z在复平面内对应的点所在的象限．

【解答】：解：∵（2+i）z=i，

∴z====+i，

则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A．

【点评】：本题考查了复数的运算，考查复数z在复平面内对应的点所在的象限，是基础题．3.（单选题，4分）设函数，则f（x）是（）A.奇函数，且在（0，+∞）单调递增B.奇函数，且在（0，+∞）单调递减C.偶函数，且在（0，+∞）单调递增D.偶函数，且在（0，+∞）单调递减【正确答案】：A【解析】：根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可．

【解答】：解：函数的定义域为{x|x≠0}，

f（-x）=-x3+=-（x3-）=-f（x），则f（x）是奇函数，

当x＞0时，y=x3和y=-是增函数，则f（x）在（0，+∞）上也是增函数，

故选：A．

【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，掌握函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．4.（单选题，4分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行的情况共有种，其中2本数学书相邻的情况有种，以此可解决此题．

【解答】：解：将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行的情况共有=6种，其中2本数学书相邻的情况有=4种，则2本数学书相邻的概率为=．

故选：D．

【点评】：本题考查排列数应用及古典概型，考查数学运算能力，属于基础题．5.（单选题，4分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2=3，S4=18，则S6=（）A.36B.45C.63D.75【正确答案】：B【解析】：利用等差数列{an}的前n项和公式列出方程组，求出a1=0，d=3，由此能求出S6．

【解答】：解：Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=3，S4=18，

∴，

解得a1=0，d=3，

∴S6=6×0+=45．

故选：B．

【点评】：本题考查等差数列的前6项和的求法，考查等差数列前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（单选题，4分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是[17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.140【正确答案】：D【解析】：根据直方图确定自习时间不少于22.5小时的频率，再结合频率与频数的关系，即可求解．

【解答】：解：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，

因此这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．

故选：D．

【点评】：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．7.（单选题，4分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A.cb＜caB.logca＞logcbC.ac＜bcD.logac＞logbc【正确答案】：D【解析】：分别结合指数函数，对数函数与幂函数单调性检验各选项即可判断．

【解答】：解：因为0＜c＜1，a＞b，

所以y=cx在R上单调递减，所以cb＞ca，A错误；

y=logcx在（0，+∞）上单调递减，logca＜logcb＜0，B错误；

因为y=xc在（0，+∞）上单调递增且a＞b，

所以ac＞bc，C错误；

所以logac＞logbc，D正确．

故选：D．

【点评】：本题主要考查了指数函数，对数函数与幂函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．8.（单选题，4分）在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．

【解答】：解：在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，

利用正弦定理：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB；

由于0＜A、B＜π，

所以cosB=，

解得B=．

故选：C．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.（单选题，4分）设{an}是首项为-1的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由已知结合等比数列的通项公式分别检验充分性及必要性即可判断．

【解答】：解：因为a2n-1+a2n=-q2n-2+（-1）×q2n-1=-（q+1）•q2n-2，

当q＜0时，无法确定q+1的正负，故无法确定a2n-1+a2n的正负，

当a2n-1+a2n＞0时，可得-（q+1）•q2n-2＞0，

所以q+1＜0，即q＜-1，此时一定有q＜0，

故q＜0是对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式，还考查了充分性及必要性的检验，属于基础题．10.（单选题，4分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，给出下列三个结论：

①AC⊥BE；

②△AEF的面积与△BEF的面积相等；

③三棱锥A-BEF的体积为定值．

其中，所有正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：①根据条件，可知AC⊥面DD1B1B，由线面垂直的性质，可得AC⊥BE；②由△AEF与△BEF是同底不等高，得出面积不相等；③直接求出该三棱锥的体积即可判断．

【解答】：解：对于①，根据题意，结合图形知，AC⊥面DD1B1B，BE⊂平面DD1B1B，

∴AC⊥BE，命题①正确；

对于②，∵点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，

∴△AEF与△BEF的面积不相等，命题②错误；

对于③，三棱锥A-BEF的体积为V三棱锥A-BEF=•S△BEF•h=×××1×=，

∴三棱锥A-BEF的体积为定值，命题③正确；

对于综上，正确的命题有2个．

故选：C．

【点评】：本题以正方体为载体，考查了空间中的平行与垂直关系，面积与体积的计算问题，是综合性题目，属中档题．11.（填空题，5分）已知向量=（2，5），=（λ，4），若||，则λ=___．【正确答案】：[1]【解析】：根据题意，由||，可得关于λ的方程，再求出λ即可．

【解答】：解：因为=（2，5），=（λ，4），||，

所以8-5λ=0，解得λ=．

故答案为：．

【点评】：本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．12.（填空题，5分）双曲线的焦点坐标为___，渐近线方程为___．【正确答案】：[1]（±4，0）;[2]y=x【解析】：直接利用双曲线方程求解焦点坐标以及渐近线方程即可．

【解答】：解：双曲线，可得a=2，b=2，c=4，

所以双曲线的焦点坐标为（±4，0），

渐近线方程为：y=x．

故答案为：（±4，0）；y=x．

【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标以及渐近线方程的求法，是基础题．13.（填空题，5分）设函数f（x）=，则使f（x）≤2成立的x的取值范围是___．【正确答案】：[1]（-∞，4]【解析】：由分段函数可得当x＜1时，f（x）≤2即为2x-1≤2，当x≥1时，f（x）≤2即为≤2，运用指数函数和幂函数的单调性，解出不等式，最后求并集即可．

【解答】：解：函数f（x）=，

当x＜1时，f（x）≤2即为2x-1≤2，解得x≤2，即为x＜1；

当x≥1时，f（x）≤2即为≤2，解得x≤4，即为1≤x≤4．

则有x的取值范围是（-∞，1）∪[1，4]=（-∞，4]．

故答案为：（-∞，4]．

【点评】：本题考查分段函数的运用：解不等式，主要考查指数函数和幂函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．14.（填空题，5分）若点P（cosθ，sinθ）关于x轴的对称点为，则θ的一个取值为___．【正确答案】：[1]-【解析】：直接利用点的对称的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．

【解答】：解：∵点P（cosθ，sinθ）关于x轴的对称点为，

∴cosθ=cos（θ+），sinθ=-sin（θ+）．

由sinθ+sin（θ+）=0，整理得：sinθ+sinθ+cosθ=0，

即+cosθ=0，sin（θ+）=0，

故θ=-时，上式成立，

故答案为：-．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．15.（填空题，5分）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知r=1，起始位置时大圆与小圆的交点为A（A点为x轴正半轴上的点），滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C．有如下结论：

①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；

②曲线D：|x|+|y|=4的周长大于曲线C的周长；

③曲线C与圆x2+y2=4有且仅有4个公共点．

其中正确的序号为___．【正确答案】：[1]①③【解析】：根据题意，分析曲线C的图形，据此分析3个结论，即可得答案．

【解答】：解：根据题意，曲线C的形状如图：其中A（0，4），B（-4，0），C（0，-4），D（4，0），

由此分析3个结论：

对于①，曲线C上，AC或BD之间的距离最大，且|AC|=|BD|=8，即任曲线C上任意两点间距离的最大值为8，正确；

对于②曲线D：|x|+|y|=4，图形为图中的正方形，必有D的周长小于曲线C的周长；

对于③，曲线C与圆x2+y2=4有且仅有4个公共点，即ABCD四点，正确；

正确的是①③，

故答案为：①③．

【点评】：本题考查曲线的轨迹，涉及命题真假的判断，属于中档题．16.（问答题，13分）已知函数，h（x）=cosx，从条件①f（x）=g（x）•h（x）、条件②f（x）=g（x）+h（x）这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）f（x）在区间上的最小值．【正确答案】：

【解析】：选择条件①：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）=sin（2x-）-，利用正弦函数的周期公式即可求解；（Ⅱ）由已知可求2x-∈[-，]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．

选择条件②：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）=sin（x+），利用正弦函数的周期公式即可求解；（Ⅱ）由已知可求得x+∈[，]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．

【解答】：解：选择条件①：f（x）=g（x）•h（x），

（Ⅰ）f（x）=sin（x-）cosx=（sinx-cosx）cosx

=sinxcosx-cos2x=××sin2x-×=sin2x-cos2x-

=sin（2x-）-，

所以f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）因为x∈[0，]，可得2x-∈[-，]，

所以sin（2x-）∈[-，1]，可得sin（2x-）-∈[-，]，

当2x-=，即x=时，f（x）有最大值．

选择条件②：f（x）=g（x）+h（x），

（Ⅰ）f（x）=sin（x-）+cosx=（sinx-cosx）+cosx

=sinx+cosx=sin（x+），

所以f（x）的最小正周期T==2π．

（Ⅱ）因为x∈[0，]，可得x+∈[，]，

所以sin（x+）∈[，1]，

当x+=，即x=时，f（x）有最大值1．

【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的周期公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．17.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=，侧面PAD为直角三角形，∠PAD=，CD⊥平面PAD．

（Ⅰ）求证：CD||平面PAB；

（Ⅱ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅲ）若AB=3，PD=4，CD=AD=2，判断在线段PD上是否存在一点M，使得直线AM与平面PBC所成角的大小为．【正确答案】：

【解析】：（I）由条件得到AB||CD即可；

（II）由条件可得CD⊥PA，AD⊥PA，即可证明；

（III）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，算出平面PBC的法向量，设，然后可得，然后可建立方程求解．

【解答】：证明：（I）因为四棱锥P-ABCD中，，

所以AB||CD，

因为AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，

所以CD||平面PAB．

证明：（II）因为CD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA，

又因为，所以AD⊥PA，

因为CD，AD⊂平面ABCD，CD∩AD=D，

所以PA⊥平面ABCD．

解：（III）存在，当M为线段PD中点时，理由如下：

由（II）可知，因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥PA，

又AD⊥PA，AB⊥AD，

如图以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，

则．

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），

由得

令，所以．

设，

则，

所以，

直线AM与平面PBC所成角为θ，

所以，

解得，符合题意，

所以当M为线段PD中点时，直线AM与平面PBC所成角的大小为．

【点评】：本题考查利用空间向量解决立体几何的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．18.（问答题，13分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．A类问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.8，能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（Ⅰ）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（Ⅱ）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）得分情况有三种可能性，第一个问题错误，0分；第一个问题正确，第二个错误，10分；两个问题都正确，40分，分别求出相应的概率，能求出X的分布列；

（Ⅱ）将两种情况分别进行计算，比较大小即可得出结论．

【解答】：解：（Ⅰ）得分情况有三种可能性，第一个问题错误，X=0分，

P（X=0）=1-0.8=0.2，

第一个问题正确，第二个错误，X=10分，

P（X=10）=0.8×（1-0.5）=0.4，

两个问题都正确，X=40分，

P（X=40）=0.8×0.5=0.4，

∴X的分布列为：X1040P0.20.40.4（Ⅱ）由（1）知，若小明先回答A问题，则E（X）=0×0.2+10×0.4+40×0.4=20，

若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的可能取值为0，30，40，

P（Y=0）=1-0.5=0.5，

P（Y=30）=0.5×（1-0.8）=0.1，

P（Y=40）=0.5×0.8=0.4，

∴E（Y）=0×0.5+30×0.1+40×0.4=19，

∵19＜20，∴小明应选择先回答A类问题．

【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，15分）已知椭圆，O为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆C的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）椭圆C在y轴上的两个顶点为A，B，点P满足，直线PF交椭圆于M，N两点，且，求此时∠OPF的大小．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率可求解；

（Ⅱ）分析可知直线PF斜率存在，设为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理弦长公式可知直线PF的方程为，再利用，知点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，利用点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系，进而求解．

【解答】：解：（Ⅰ）因为右焦点为，所以，

因为离心率，

所以，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）当直线PF垂直于x轴时，（舍）；

当直线PF不垂直于x轴时，设直线PF的方程为，

由，整理得，

设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意Δ＞0恒成立，

所以，

利用弦长公式知=，

解得k=±1，

所以直线PF的方程为，

因为A，B为椭圆C在y轴上的两个顶点，不妨设A（0，1），B（0，-1），

因为，设P（m，n），

所以（m，n-1）⋅（m，n+1）=0，

即m2+n2=1，

即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，

因为原点到直线PF的距离，

所以直线PF与圆m2+n2=1相切，

所以∠OPF=90°．

【点评】：本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．20.（问答题，15分）已知函数．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程；

（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）求证：当a≤-1时，f（x）≥-e．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）求导，由导数的几何意义求出切线方程；

（Ⅱ）求出f'（x），分0＜a＜、a=、a＞，讨论y=f（x）的单调性可得答案；

（Ⅲ）当a≤-1时，令f'（x）=0，得x=或x=2，f（x）取得极小值f（）=-，-∈[-e，1），由极小值定义及f（x）的单调性可知：

当x＜2时，f（x）≥-e；当x≥2时，设g（x）=-ax2+x-1，由二次函数的性质可知g（x）＞g（2）＞0恒成立，可得答案．

【解答】：解：（Ⅰ）因为f'（x）===，

所以f'（0）=2，f（0）=-1，

所以曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程为y=2x-1．

（Ⅱ）由（1）知：f'（x）=，

因为a＞0，令f'（x）=0，所以x=或x=2．

当0＜a＜时，，则

当x∈（-∞，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（2，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当a=时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在R上恒为增函数；

当a＞时，0＜＜2，则

当x∈（-∞，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

综上，当0＜a＜时，单调递增区间是（-∞，2）和（，+∞），单调递减区间是（2，）；

当a=时，单调递增区间是R，无单调递减区间；

当a＞时，单调递增区间是（-∞，）和（2，+∞），单调递减区间是（，2）．

（Ⅲ）当a≤-1时，令f'（x）=0得x=或x=2，则

当x∈（-∞，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（2，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

所以当x=时，f（x）取得极小值f（）=-，

因为a≤-1，所以-∈[-e，-1），

所以由极小值定义及f（x）的单调性可知：

当x＜2时，f（x）≥-e；

接下来，研究f（x）在x≥2的变化情况，

因为ex＞0恒成立，设g（x）=-ax2+x-1，x≥2，a≤-1，则

对称轴x=＜0，Δ=1-4a＞0，抛物线开口向上，g（2）=1-4a＞0，

所以由二次函数的性质可知：g（x）＞g（2）＞0恒成立，

所以f（x）＞0在x≥2上恒成立．

综上所述，当a≤-1时，f（x）≥-e．

【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．21.（问答题，15分）记实数a，b中的较大者为max{a，b}，例如max{1，2}=2，max{1，1}=1，对于无穷数列{an}，记，若对于任意的k∈N*，均有φk+1＜φk，则称数列{an}为“趋势递减数列”．

（Ⅰ）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=-2n+1，，判断数列{an}，{bn}是否为“趋势递减数列”，并说明理由；

（Ⅱ）已知首项为1