《 基本计数原理的简单应用（1）》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

第五章计数原理基本计数原理的简单应用（1）

分步乘法计数原理（乘法原理）分类加法计数原理（加法原理）类与类不相交每一类方法中的每一种方法都可以完成指定事情步与步有关联只有所有的步骤都完成才能完成指定事情分清“要完成的一件事”；根据事情确定分类还是分步．用这两个原理解决问题①能够被5整除的数的特征是什么？②该问题中需要完成的“一件事”是什么？③如何完成“这件事”？末位数字是0或5确定自然数1~200中末位是0或5的数的个数分末位是0和末位是5两类进行计数解：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3.…，200中能够被5整除的数分成2类来计数：第1类，末位数字是0的数，共有20个；第2类，末位数字是5的数，共有20个.根据分类加法计数原理，在1，2，3.…，200中，能够被5整除的数共有N=20+20=40个．本题能够顺利求解的关键是什么？准确指出问题中的“一件事”；按照明确的标准给问题分类．在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.（1）若只需1名参加，共有多少种选法？（2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？两个小题中各自的要完成的“一件事”是什么？分别如何完成？(1)“总共选出1人”(2)“各自选出1人”3名教师8名男学生5名女学生分三类分三步第一类，选教师，3种选法；第二类，选男生，8种选法；第三类，选女生，5种选法第一步，选教师，3种选法；第二步，选男生，8种选法；第三步，选女生，5种选法N=3×8×5=120据分步乘法计数原理N=3+8+5=16据分类加法计数原理针对“分类”问题；各种方法相互独立；用其中任何一种方法都可以完成“这件事”两个原理在解决问题时的有何不同？针对“分步”问题；各步骤中的方法互相依存；只有每一个步骤都依次完成才算做完成“这件事”

如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？①本题目要完成的“一件事”是什么？②如何完成？第一步，从A村到达B村，第二步，从B村到达C村，第三步，从C村到达D村，分步完成有3条路可选择；有2条路可选择；有3条路可选择．N=3×2×3=18据分步乘法计数原理①能否使用加法原理来解决这个问题？②对比两种解法，思考两个原理有何联系？从A村经过B村到达C村2+2+2=2×3=6从C村到达D村6+6+6=6×3=18两个计数原理本质一致乘法原理是加法原理的简化数的乘法与加法的关系要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？DABCE①本题目要完成的“一件事”是什么？②如何完成？“用四种颜色给如图所示的五个区域涂色，且相邻区域不同色”理清关系，按区域分步第一类，A、C同色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有1中选择；第三步，给区域B涂色，有3种选择；第四步，给区域E涂色，有2种选择；第五步，给区域D涂色，有2种选择．则根据分步乘法计数原理，一共有为4×1×3×2×2=48种不同的选择；第二类，A、C异色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有3种选择；第三步，给区域B涂色，有2种选择；第四步，给区域E涂色，只有1种选择；第五步，给区域D涂色，只有1种选择．则根据分步乘法计数原理，一共有为4×3×2×1×1=24种不同选择；综上，根据分类加法计数原理，该图形的不同涂色方案共有48+24=72种．解：按A与C颜色的相同和相异分类求解．要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？DABCE你还有其他解决这个问题的方法吗？提示：看位置关系——A、C对角，B、D对角此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再确定B、D的颜色，有3种可能，再确定E的颜色，有2种可能，所以共有4×3×2=24种不同的可能．第一类：A、C同色，B、D不同色，第二类：A、C不同色，B、D同色，第三类：A、C同色，B、D同色，此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再依次确定B、E、D的颜色，分别有3，2，1种可能，所以共有4×3×2×1=24种不同的可能；方法同第一类，也共有24种不同的可能；根据分类加法计数原理，该图形不同的涂色方案共有24+24+24=72种．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中取出数学书、语文书、英语书各1本，共有多少种取法？解：第一步，取出1本数学书，共有10种取法，第二步，取出1本语文书，共有9种取法，第三步，取出1本英语书，共有8种取法，根据分步乘法计数原理，共有N=10×9×8=720种取法．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？方法一，分类解决这个问题，第一类，“甲在左”时，不同的挂法有“甲乙、甲丙”2种；第二类，“乙在左”时，不同的挂法有“乙甲、乙丙”2种；第三类，“丙在左”时，不同的挂法有“丙甲、丙乙”2种．所以不同的挂法共有2+2+2=6种．方法三，先选出两幅画，再按指定位置挂好．第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法：甲乙、甲丙、乙丙；第二步，将选出的两幅画挂好，分别有2种挂法．所以共有3×2=6种挂法．方法二，从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6．选1幅挂左边选1幅挂右边甲乙丙甲乙丙甲乙丙方法二甲、乙甲、丙乙、丙甲丙甲乙乙甲乙丙丙乙丙甲方法三分类加法计数原理分步乘法计数原理区别完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”．完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”．每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事．任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事．各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．联系都是求完成一件事情的方法种数．本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化．解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．简单总结一下两个计数原理的区别和联系．计算前仔细分析(1)明确要完成的“一件事”是什么；(2)明确需要分类还是分步．计算中分类要做到“不重不漏”——分类后再分别对每一类进行计数（可能需要分步），最后用分类加法计数原理求和，得到总数．