数理方程12年课件和作业答案

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数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院22本次课主要内容(一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性狄氏问题格林函数(二)、三维空间中狄氏问题格林函数(三)、平面中的三个格林公式33定理1(唯一性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。

(一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性证明：设u1与u2是定解问题

的两个解。令v=u1-u2,则：由调和函数性质知：在VS上：44定理2(稳定性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。

证明：设在边界S上给出两个函数f1与f2,且：

拉氏方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即：

令：那么：由调和函数极值原理，v在VS上的极值只能在S上取得，所以

55即证明了稳定性。

定理3拉氏方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别，是唯一的。

证明：设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：令：66则：由第一格林公式：取

77由条件：所以：88于是得到：定理4拉氏方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定。证明：设f1与f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件，又设u1与u2是对应于两个边界条件的解。由定理3，两个解相差一个常数，因此，无论边界条件相差如何小，99解的相差可能不会任意小，即解不稳定。(二)、三维空间中狄氏问题格林函数

1、狄氏问题格林函数的引出泊松方程狄氏问题为：(1)、解的积分表达式设u(x,y,z)为定解问题的解，令v(x,y,z)为VS上调和函数。1010由第二格林公式：由定解问题得：由第三格林公式，如下定解问题1111的解为：结合*可得如下等式：12121313其中：容易验证：如果令G(M,M0)满足：则可得泊松方程狄氏解定理1414定理：泊松方程狄氏解为：其中G(M,M0)满足：推论：拉氏方程狄氏解为：定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。1515定义：若G(M,M0)满足：则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。(1)、方程ΔG(M,M0)=-δ(M-M0)的解物理意义是：空间M0点处有一电量为ε(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势，其大小为G(M,M0)=1/4πr；(2)、狄氏格林函数的定义与性质狄氏格林函数的物理意义rMM0ε1616(2)、狄氏格林函数定解问题的解的物理意义为：接地导电壳内M0处有正点电荷ε，该电荷与它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势叠加为定解问题的解，其大小为G(M,M0)=1/4πr+v(x,y,z)。根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格林函数，只需要求出感应电荷产生的电势v(x,y,z)即可！rMM0ε下次课里我们将根据其物理意义，采用物理方法----电像法来求格林函数。1717性质1：狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当M→M0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。狄氏格林函数的性质性质2：在边界上格林函数恒等于零。性质3：在区域V内，有：1818证明：由格林函数定义：其中：由于在边界S上有：v>0，所以，由极值原理，在整个VS上v>0。所以：下面证明：1919一方面：以M0为心在V中作球Vε,球面设为Sε则：M0MSVxyz2020由极值原理：另一方面，容易知道：对任意的ε>0,在VS-Vε中的点M，函数G(M,M0)不能为零。所以，我们有：至此，证明了：2121性质4Green函数具有对称性(物理上称为互易性)，即

证明：(课后自学)

如图所示，以M1,M2为球心，ε为半径作球K1

与K2，其边界分别记为S1,S2。··S1S2M1M2S令：U=G(M,M1),V=G(M,M2),在VS-K1-K2上利用格林第二公式得：2222注意到，在

VS-K1-K2上,U与V是调和函数，且在S上有U|S=V|S=0，于是有：(1)对于：2323而：所以：2424而对于所以：2525所以：

(2)对于2626而：所以：由*得：即得：2727等式的物理意义是：把电量为ε的点电荷放在M1处在M2处产生的电势应等于把它放在M2处时，在M1处产生的电势。(三)、平面中的三个格林公式首先证明一个定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且f(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：2828证明：注意到：xLnτөyDα所以：2929由平面曲线格林公式：(1)第一格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：证明：3030所以由平面曲线格林公式：(2)第二格林公式证明：由第一格林公式：在第一格林公式条件下：3131证明：由第一格林公式：由(1)-(2)得：(3)第三格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，令：3232则：证明：由于v(x,y)在D内只有唯一奇点M0,所以，以M0为心，ε为半径作圆Kε,其边界为Lε3333由第二格林公式：·M0LεLxyo注意到，在D-Kε内，有Δv=0,于是得：3434而：3535而：所以：