专题3 导数及其应用

关注微信公众号：数学货专题三导数及其应用第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则A． B．a=e，b=1 C． D．，2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．2．(2016年四川)设直线,分别是函数=图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则△的面积的取值范围是A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是A． B． C． D．4．(2015福建)若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是A．B．C．D．5．（2014新课标Ⅰ）设曲线在点处的切线方程为，则=A．0B．1C．2D．36．（2014山东）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A．B．C．2D．47．（2013江西）若则的大小关系为A．B．C．D．8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为A．B．C．D．9．（2011新课标）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A．B．4C．D．610．（2011福建）等于A．1B．C．D．11．（2010湖南）等于A．B．C．D．12．（2010新课标）曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．13．（2010辽宁）已知点在曲线y=上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是A．[0,)B．C．D．二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线在点处的切线方程为__________．15．(2018全国卷Ⅲ)曲线在点处的切线的斜率为，则____．16．(2016年全国Ⅱ)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．17．(2016年全国Ⅲ)已知为偶函数，当时，，则曲线，在点处的切线方程是_________．18．（2015湖南）=．19．（2015陕西）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．20．（2015福建）如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．（第15题）（第17题）21．（2014广东）曲线在点处的切线方程为．22．（2014福建）如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是．24．（2014安徽）若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线在点处“切过”曲线：②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线：④直线在点处“切过”曲线：⑤直线在点处“切过”曲线：．25．（2013江西）若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则=．26．(2013湖南)若．27．（2013福建）当时，有如下表达式:两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：=．28．（2012江西）计算定积分___________．29．（2012山东）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则．30．（2012新课标）曲线在点处的切线方程为________．31．（2011陕西）设，若，则．32．（2010新课标）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．33．（2010江苏）函数()的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为，其中，若，则=．三、解答题34．（2017北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数，曲线在点处的切线方程为，（=1\*ROMANI）求，的值；（=2\*ROMANII）求的单调区间.36．（2015重庆）设函数．（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围．37．（2015新课标Ⅰ）已知函数，．（Ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线；（Ⅱ）用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数，曲线在点处的切线为．(Ⅰ)求；（Ⅱ）证明：．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数(Ι)设是的极值点，求,并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明．40．（2012辽宁）设，曲线与直线在点相切．（1）求的值；（2）证明：当时，．41．（2010福建）（1）已知函数，其图象记为曲线．（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值；（2）对于一般的三次函数，请给出类似于（1）（ii）的正确命题，并予以证明．第八讲导数的综合应用2019年1（2019天津理8）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A.B.C.D.2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在 ，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019浙江22）已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围.注：e=2.71828…为自然对数的底数.4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.6.（2019江苏19）设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．7.（2019北京理19）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：.(III)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值.8.（2019天津理20）设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则QUOTEf(x)=(x2+ax-1)eA．B．C．D．12．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A．B．C．D．3．(2016全国I)函数在[–2,2]的图像大致为A．B．C．D．4．（2015四川）如果函数在区间单调递减，那么的最大值为A．16B．18C．25D．5．（2015新课标Ⅱ）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f(x)0成立的的取值范围是A．B．C．D．6．（2015新课标Ⅰ）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A．B．C．D．7．（2014新课标Ⅱ）若函数在区间单调递增，则的取值范围是A．B．C．D．8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为A．B．C．D．9．（2014新课标Ⅱ）设函数．若存在的极值点满足，则的取值范围是A．B．C．D．10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A．B．C．D．11．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是A．B．C．D．12．（2014湖南）若，则A．B．C．D．13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数与的图像不可能的是14．（2013新课标Ⅱ）已知函数，下列结论中错误的是A．B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点，则在区间单调递减D．若是的极值点，则15．（2013四川）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是A．B．C．[]D．[]16．（2013福建）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点17．（2012辽宁）函数的单调递减区间为A．(－1,1] B．(0,1] C．[1,+) D．(0,+)18．（2012陕西）设函数，则A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点19．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于 A．2 B．3 C．6 D．920．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是ABCD21．（2011湖南）设直线与函数，的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 A．1 B． C． D．二、填空题22．（2015安徽）设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①；②；③；④；⑤．23．（2015四川）已知函数，（其中）．对于不相等的实数，设，，现有如下命题：①对于任意不相等的实数，都有；②对于任意的及任意不相等的实数，都有；③对于任意的，存在不相等的实数，使得；④对于任意的，存在不相等的实数，使得．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．24．（2015江苏）已知函数，，则方程实根的个数为．25．（2011广东）函数在=______处取得极小值．三、解答题26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数．(1)若，证明：当时，；(2)若在只有一个零点，求．28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数．(1)若，证明：当时，；当时，；(2)若是的极大值点，求．29．(2018北京)设函数．(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(2)若在处取得极小值，求的取值范围．30．(2018天津)已知函数，，其中．(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．31．(2018江苏)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．(1)证明：函数与不存在“点”；(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．32．(2018浙江)已知函数．(1)若在，()处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．33．（2017新课标Ⅰ）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若QUOTEf(x)有两个零点，求的取值范围．34．（2017新课标Ⅱ）已知函数，且．(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且QUOTEe-2<f(x0)<235．（2017新课标Ⅲ）已知函数．(1)若，求的值；(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．36．（2017浙江）已知函数．（Ⅰ）求的导函数；（Ⅱ）求在区间上的取值范围．37．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．38．（2017天津）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足．39．（2017山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．40．(2016年山东)已知．（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立．41．(2016年四川)设函数，其中.（I）讨论的单调性；（II）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．42．(2016年天津)设函数,，其中(I)求的单调区间；(II)若存在极值点，且，其中，求证：；(Ⅲ)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于QUOTE14．43．(2016年全国Ⅰ)已知函数QUOTEfx=x-2ex+（I）求a的取值范围；（II）设，是QUOTEf(x)的两个零点，证明：．44．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；(II)证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．45．(2016年全国Ⅲ)设函数，其中，记的最大值为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）证明．46．（2016年浙江高考）已知，函数=，其中=．（I）求使得等式成立的的取值范围；（II）（i）求的最小值；（ii）求在区间上的最大值．47．(2016江苏)已知函数．（1）设，．①求方程的根；②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；（2）若，，函数有且只有1个零点，求的值．48．(2015新课标Ⅱ）设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；(Ⅱ)若对于任意，，都有，求的取值范围．49．(2015山东)设函数，其中．（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．50．（2015湖南）已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．证明：（1）数列是等比数列；（2）若，则对一切，恒成立．51．（2014新课标Ⅱ）已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．52．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．53．（2014新课标Ⅰ）设函数，曲线在点处的切线斜率为0．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．54．（2014山东）设函数，其中为常数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性．55．(2014广东)已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得．56．(2014江苏)已知函数，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：是R上的偶函数；（Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．57．（2013新课