2021版文科数学人教版一轮复习核心素养测评 五十六圆锥曲线中求值与证明问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心素养测评五十六圆锥曲线中求值与证明问题温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十六圆锥曲线中求值与证明问题(30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知抛物线y2=2px（p〉0）过点A12,2,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λA。13 B.12 C。2 【解析】选C。把点A12,2代入抛物线方程,得2=2p解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x，则B(—1,0).设MyM则=-32,-2，=由=λ，得-1-y解得λ=2或λ=1(舍去）.2.已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，点A的坐标为-1,32，则A.-2 B。-1 C。—3 D。—2【解析】选A。因为A-1,32,可知A在椭圆上,又F1,F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，F1（-1,0),所以AF1⊥x轴，所以|AF1|=32，｜AF2｜=52,所以点F2(1,0)关于∠F1AF2的平分线l对称的点F在线段AF1的延长线上,又|AF|=|AF2｜=52,|FF1｜=1,所以F(-1，-1），线段FF2的中点03.已知双曲线C:43x2-4y2=1的左焦点恰好在抛物线D：y2=2px（p≠A.2 B.4 C.—4 D。±4【解析】选C。C的左焦点F（—1,0),D的准线x=—p2，故p=2。运用极端化思想处理，当两直线PA,PB重合时，A,B的坐标均为（1,—2)，点A,B的纵坐标之和为—一般性证明：设Ay124,y1，By224,y2，则kPA+kPB=0⇒y1-4。已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a〉0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2,以线段F1A.e2—3e+1=0 B。e4-3e2+1=0C.e2—e-1=0 D。e4-e2—1=0【解析】选D.可设|PF1｜=m，|PF2|=n，可得m—n=2b，①在直角三角形PF1F2中，m2+n2=4c2,由①②可得mn=2c2—2b2,由渐近线方程y=bax和圆x2+y2=c2，可得P(a,b),由三角形的面积公式可得:12mn=12·2cb，即c2—可得a2=cb，即有a4=c2(c2—a2）=c4-c2a2,由离心率e=ca可得1=e4—e2，即有e4-e二、填空题(每小题5分，共20分）5.已知点P(-1,—1)，且点F为抛物线C:y2=2px（p〉0)的焦点,过点F且斜率为-2的直线l与该抛物线交于A，B两点.若·=0，则p=________。

【解析】因为Fp2,0，直线l：y=—联立y=-2x+p设A（x1，y1)，B(x2,y2），则x1+x2=32p,x1x2=p所以·=(—1-x1）(-1—x2）+（-1—y1)（-1—y2）=1+x1x2+x1+x2+（p+1）2+4x1x2-2(p+1)（x1+x2)=5x1x2+（-1—2p)(x1+x2）+1+(p+1)2=5p24+（-1-2p)×3解得p=2。答案:26。设抛物线C：y2=2px（p〉0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点，满足=3,若S△OAB=433,则p=________。

【解析】可得Fp2,0，因为=3所以yA=-3yB，因为A，B，F共线，所以yA-0-3yB-09×y又S△OAB=12×p2×｜yA-yB|=p｜y=33p2=4答案:27。过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,该抛物线的准线与x轴交于点M，若｜AF｜=4，则△MAB的面积为________。 世纪金榜导学号

【解析】y2=4x的准线l：x=-1.因为|AF｜=4，所以点A到准线l:x=—1的距离为4，所以1+xA=4，所以xA=3，所以yA=±23,不妨设A（3,23),所以S△AFM=12×2×23=23因为F（1,0），所以直线AB的方程为y=3（x-1），联立方程组y=3(所以S△BFM=12×2×233所以S△AMB=S△AFM+S△BFM=23+233=答案：88.设F为抛物线y2=2px的焦点，斜率为k（k〉0）的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA｜=3｜FB|，则直线AB的斜率为________。 世纪金榜导学号

【解析】假设A在第一象限,过A，B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为D,E,过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD｜=｜AF｜,｜BE|=｜BF｜,又因为|FA｜=3|FB｜,所以|AD|=|CE｜=3｜BE｜，即B为CE的三等分点,设|BF｜=m，则|BC｜=2m，|AF｜=3m,｜AB|=4m,即｜AC|=|AB|2-|BC|2=16m2-4m2=12m=答案:3三、解答题（每小题10分，共20分）9。已知抛物线C：y2=2px（p〉0）,直线y=x-1与C相交所得的弦长为8. 世纪金榜导学号(1）求p的值.（2）过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点.【解析】（1）由y2=2pxy=所以y1+y2=2p,y1y2=-2p，所以弦长为1+12=2·4p解得p=2或p=—4（舍去)，所以p=2。(2)由（1）可得y2=4x,设M14所以直线OM的方程为y=4y0x，当x=-1时，yH=-代入抛物线方程y2=4x,可得xN=4y所以N4y①当14y02≠4直线MN的斜率k=y0+4直线MN的方程为y—y0=4y整理可得y=4y0y故直线MN过定点（1,0)。②当14y0即y0=±2时，直线MN的方程为x=1,必过点(1，0),综上,直线MN过定点（1,0）10。已知抛物线E：y2=4x，圆C：（x—3)2+y2=1。 世纪金榜导学号（1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程。(2）在(1）的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t，0）使∠AMO=∠BMO（O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知抛物线E的焦点为F（1,0）,当直线的斜率不存在时，过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切，所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，设直线斜率为k，则所求的直线方程为y=k（x-1），即kx—y—k=0，所以圆心(3,0）到直线l的距离为d=|3k-当直线l与圆相切时，有d=1⇒|2k|k2+1=1⇒k=±33,所以所求的切线方程为y=（2）由（1）知，不妨设直线l:y=33（x-1），交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2联立方程组y=33(x所以x1+x2=14,x1·x2=1,假设存在点M(t,0）使∠AMO=∠BMO，则kAM+kBM=0.而kAM=y1x1-t所以kAM+kBM=y1x=y1⇒y1x2+y2x1—（y1+y2)t=0⇒2x1x2—（x2+x1）-(x1+x2—2）t=0，即2-14—(14—2）t=0⇒t=-1,故存在点M(-1,0）符合条件。