音乐中的数学之美

nn1摘要：关键词：引言音乐是表现心灵和情感的艺术学是抽象思维的结晶有以来音乐和数学一直被联系在一起，相互促进，相辅相成。在中世纪，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中曾度认为音乐是数学的部分至今日飞速发展的计算机和信息技术正在使数学与音乐之间的联系更加紧密。音乐与学合起最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派比例把二者有机结合起来们发现乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系动根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度还现协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出其实被拨动弦的每一种谐的结合能表示为整数比由不同的整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。例如从一根产生音弦开始，接着C的度的16/15给出B，C的度的6/5给A的4/3出的3/2给出F的8/5给出E的16/9给出D，C的给低音C。五度相生律也是毕达哥拉斯的首创又名毕达哥拉斯律它根据第一二音间频率比为2的系进行音的繁衍以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音律实际应用及乐谱记载六世纪由我国梁代丘明传谱碣石调幽兰已体现，其中古琴的七弦十三徽上均已使用泛音技法律取泛音列中第一泛之间的纯五度以及第三泛间的大三度这两音程为繁衍新音的要素频率比为4:5:6的几大三和弦确定诸音高至十六世纪我国在数学运算上有所突破算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式

a

n

确定，公比=1.05946，2开12次方的算术根。乐理中数规在音乐的乐理方面音程转位遵了数学规律对音程而言原音程及其转位音程的度数之和为9在符方面小全音符的诸音符由除法确定如二分音符为全音符的1/2，四分音符为全音符的1/4。子拍的分组，如3/4拍是以全音符的1/4为1拍，每小节有3拍即31/4=3/4，而拍子可认为以全音符的1/8为一拍，每小节有6拍即6

1/8=6/8，也可理解为以全音符1/8一拍的1/3每小节2拍则有2

1/8

3=6/8，即复二拍子3/4和6/8在作为数来看时，数值是相等的，这说明它们每小节所包含全音1

00符的数量相同，都为0.75，但们写法不同，则说明彼此强弱律动仍有差别。乐曲结与金割如今在音乐的作曲方面们推崇的莫过于对称和黄金分割之美称实质是一种平衡，反映在数学上就是1:1。上下句构成的乐段，由起承转合四部分构成的作品，由四个乐章构成的交响曲都体现了型的对称美而黄金分割则是另一种美妙的比例关系反映在几何学上，是把线段L分成段，使其中较长段x全段与较短段（）比例中项，即满足等式L:x=x:（L-x此程，得到x=0.618034…倍L。由于这一比例无比美妙，古希腊人就用“黄金”为之命名。人体的双眼、双耳、双手、双足体现出对称美，而肚脐在身高的0.618处上长约为下肢长度的2/3等均体现了黄金分割之美而这一黄金比值频频用于音乐创作之中，则是二十世纪后的事情了托的顶峰之作《弦乐、打击乐与钢片琴的音乐》可以说是这类作品的典范。这部作品的第三乐章，总长为89小并分为A三部分。其中A部与其后面的长度分别为小节55小；A部的第一主题与第二主题长度分别为小节13节部分的高潮两段长度为13小与21小节B部分再现部的长度分别为34小与21节；再现部第一、二主题的长度又分别为13小节与8小等等。这些各有机部分之间的小节数比分别为34:55、21:34、8:13等，均符合黄金分割的比例，而8、13、21、34等小节数数字本身，则均含于黄金分割的另一种形式——斐波那契数列（即1，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且从第三项起每项均为前两项之和数列前两项之比1:1反对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如2:3、5:8等近似反映黄金分割的比例关系，且愈往后精确度愈高由此可认为上述乐曲的结构明显受斐波那契数列的制约托的另一首作品《对比》第三乐章之中的piuMosso一段其中结束段落长为21小节，拍号称记为8+5/8以分音符为基本单位拍小节13而又以八个与五个单位拍各为一组两个主要节奏型的音符数非5（3+2）8（5+3、8、13等数明显看出，其结构及节奏型均受制于斐波那契数列，由此可知其与斐波那契数列的密切关系。和声的立分19世，数学家傅立叶的研究将人们对音乐的物理本质的认知推向了顶峰。我们在物理学中知道个叉所发出的音图就是一个正弦函数

400任何乐声的图像都是周期性的图像有固定的音高和频率而傅立叶定理指出任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形，任何个期函数

f

都可表示为=f(t)

a2

nx)sinn基本音，其余的为泛音公式知所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波傅立叶证明了所有的乐——不论管乐还是声乐能用数学表达式来描述它们是一些简单的正弦函数的和。根据傅立叶定理个音都可分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加设的频是f，那么它可以分解成频率为，2f，f，4f，……的谐波的叠加，即f()xsin；理高音do频率是

2f

，同样可以分解为频率为

2f

，

4f

，

6

，

8f

，……的谐波的叠加，即2

f()2sin4xsin2。两列谐波的频率有一是相同的，所以do和高音do是最谐的声域充满着数学两频率来看度1:1度为1:2，纯五度为2:3，纯四度为3:4，三度为4:5小三度为5:6数字越简单则越和谐，数字越复杂则越不和谐。当各声部频率之比均为1:1时实际上形成同一声部，和声消失；当频率比相当复杂时，音响互不相容，发生激烈冲突。傅立叶还发现每种声音都有三种品质量音色以此与其他的乐声相区别。由此人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分与曲线的频率有关量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关。乐器中数奥音乐乐器与数学也是紧密相连的，如二胡里外弦有效弦长的正向黄金分割点0.618）常位于音响最佳的传统上把之内，而反向黄金分割点0.382即以另一端为起点的0.618）则常在音响亦佳的传统中下把之内研究表明能与某音发生共鸣的空气柱长度为该音波波长的1/4、1/2等。音乐器发音低，声波长，所以要求共鸣箱有较大体积；高音乐器则反之音高声波短以共鸣箱需较小体积于件乐器可以发出多个乐音，所以又要求其形状复杂利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱合不同高度音响的需要。如中央C音频为261.63Hz，长1.3米，波长的1/4是0.325米，保证该音共鸣，则共鸣箱的内空至少有一个方位为0.325（或其2、8等倍越低，波长越大，跨越障碍的本领也越强，再加上频率低，能量损耗小的特点，决定了低音的传远性再如乐器之王——钢琴键盘其琴键的音程恰好与斐波那契数列有关钢的键盘上，从一个C键下一个C键是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个，分别是8个键和5个黑，而5个键分成，一组有个黑，组有3个黑。、3、5、8、13恰好就是斐波那契数列的前几个数。因此音乐中出现数学与数学中在音乐并非偶然是乐与数学融合一体的完美体现音可以抒发