与平面向量相关的最值问题

与平面向量相关的最值问题热点追踪与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出,再求出目标的最现•解决此类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式,再求出目标的最值.本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题 ，并在解决问题的过程中体会数学思想方法的灵活运用•例題导引例题：如图，在扇形OAB中，/AOB=60°,C为弧AB上的一动点，若OC=xOA+yOB(x,y€R),求x+4y的取值范围.变式1设点A,B,C为单位圆上不同的三点，若/ABC二nn,OB=mOA+nOC(m，n€R),则m+n的最小值为3藝貳联饉3藝貳联饉变式2如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC=淀+丽（入，卩€R）,求入+卩的最小值.串讲1已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点点Q满足AQ=2AP+1AC，则|BQ|的最小值为 串讲2已知三角形ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB,AC于M,N两点，设AM=xAB,AN=yAC(xy丰0),求4x+y的最小值.创新題在线2由于M2由于M,P,N三点共线，所以厂+—=1,9分（2017新课标川卷）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与■■~BD相切的圆上，若AP=AB+MAD，求入+卩的最大值.答題标准减少戎分（2018洛阳三模）在厶ABC中，点P满足BP=2PC，过点P的直线与AB,AC所以直线分别交于点M,N，若AM=mAB,AN=nAC（m>0,n>0）,求m+2n的最小值.答案：3.解析：因为BP=2PC,所以，AP=Ab+E3p=AB+i2(AC—AB)=-AB+2AC,4分333又因为AM=mAB,AN=nAC，所以AP=£aM+aaN,7分3m3n

例题答案:[L4].解法1建立如图所示的直角坐标系则直线l：n=23m—t过弧AB上的点,当点I过点B(l,0)时t取得最大值tmax=2.3,当I过点A2，于时，t取得最小值设此扇形的半径为A寸，于,B(1,L/AOB=60°，所以xc二设此扇形的半径为A寸，于,B(1,L/AOB=60°，所以xc二cosO0),设'yc=sin°，，因为OC=xOA+yOB，所以(cos0，sinO)二X2，于+y(i.0),2sin°心百，解得<・nsinuy=coso—3,贝Ut=x+4y二4cosB2"血。0€0，寸L以下用导数方法求解函数t的最值情况,方法求解函数t的最值情况,因为t=—4sin0—岑303COS冗张」， 八\.? ,sin0>0,cosQ>0,则t'v0,即函数t在0€0, 才时是单调递减的，所以当0二0时，tax=4X12,3 、「，nz 1 3二3_乂0=4，当0二—时，虹n=4X2——3_X七1,综上所述,x+4y的取值范围是[1,4].解法2建立解法1中的直角坐标系xOy，则 设此扇形的半径为L由于/AOB=60。，A2,于，B(1,0),设C(m,n),因为C为弧AB上的一个动点，贝Um2+n2=22宁+y(1,0)，从而11<mw1,0wnw于，由于OC=xOA+yOB,所以(m,n)=x；,m=x+y,n念解得所以x+4y所以x+4y=jn二竽(2柚n),记t=243m—n,23nx= 3,y=m3n,tmin=〒，所以X+4y=23「t€[L4].解法3取OB的四等分点（靠近点0）D,连接AD交0C于点E,设此扇形的半径为1贝0|OC|=L0）D,连接AD交0C于点E,设此扇形的半径为则0C=X°a+4yXiOB=x°a+4yOD，因为A,E,D共线，设°e=X0A+Qd，贝入4+ 1,又因为0,E,C共线，设OC=kOE,则Oc=kOE=kxOA+kAOD=xOA+4yOD,所以x+4y=k=9CU—,当E,D重合时，|0E|取得最小值，x+4y取得最大值4;当|0E||0E|TOC\o"1-5"\h\zE,A重合时，|0E|取得最大值，x+4y取得最小值L所以x+4y€[L4].（用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅 ）•变式联想变式］答案：—2.n n解法1因为/ABC ,所以/AOC=2,不妨设A(1,0),C(0,1),B(cosB,sin°)，°€2,2。，则cosO二m，sin9=n沐m+n=cos°+sin9二.2sin卄寸 2，当且仅当0二牛时取等号.4It解法2如图，因为/ABC=;，所以4/AOC=亍，不妨设A(1,0),C(0,1),B(x,y)(优弧上的点)，由于OB=mOA+nOc,则(x,y)=m(l,0)+n(0,1),即x=m,y=n,所以m+n=x+y>-2(x2+y2)=—2，当且仅当x-V一乎时取等号n n解法3如图，因为/ABC= 所以/AOC=一,不妨设A(1,0),C(0,1),B(x,y)(优上的点)，则|0B|=1记0B的反向延长线交AC于点D,则因为A,D,C共线，设0D=XOA+QC，则入+尸1,又因为O,D,B共线，设OB=kOD(kv0),则OB=kOD=kxOA+k(iOc=mOA+nOc,所以m+n=k(入+卩匸k=IOBI 当D位于AC中点时，|OD|取得最小值，m+n取得最小值一|OD||OD|时x=y= 22.(用等和线的知识三言两语就能得出结果 ，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅变式21ABCD答案：1.ABCD解法1以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1,则E20,C(1,1),D(0,1),A(0,0),设P(cos9,sin9)，所以AC=(1,1),又AC=QE+pAP.故入？，一1+P(cos9,sin9)=(1,1)，1入+pcos9=1,所以22sin9—2cos9匸2cos9+sin9，卩2cos9+sin9,十 3+2sin9—2cos9ssI从而入+p二2cos9+sin92cosB+sin9.3sin9+3 3sin9+3 n一=-1+2cos9+sin9，记f(9=_1+2cos9+sin9,宙题意得，9三亍，则f(9)

护性一畔〉0.所以f(6=—1+ &单调递增，所以(2coS6+护性一畔〉0.所以f(6=—1+ &单调递增，所以(2coS6+sin6)2'丁2cos6+sin6当°=0时，入+卩的最小值为？.解法2如图，设正方形边长为L将向量DE沿DA平移至AF，则DE=AF，连接FP并延长交AC的延长线于点Q,由于F,P,Q共线，设AQ=xAF+yAP^=xDE+yAP，贝x+y=1,因为A,C,Q共线，设AC=kAQ,则AC=kAQ=k(xDE+yAP),又因为AC=4DE+AAP，由平面向量基本定理得入=kx,P=ky，所以H尸kx+kyk=|aCJ==/,当|AQ|最大时，入+卩取得最小值，此时P,B重合，|AQ|二22,所以|AQ||AQ|=k=1(*min kmin ?.(用等和线的知识三言两语就能得出结果 ，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅！说明：平面向量线性表示背景下的最值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，解决此类问题通常是先合理设元将向量关系数量化进而得出未知元之间的关系式，再依据函数的单调性或基本不等式求目标函数的最值•解决问题的关键是目标的有效选择与合理表征，等和线在解决线性目标函数问题时，上比较快捷.串讲激活串讲1答案：［7—2.解法1以A为原点，水平方向为x332'332'轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B—C2， 勺)设P(cosO，sin6),AQ=fAP+AAC=2(cos°，sin6)+汪)=2cos0+cos2cos0+cosB13sin0—今，BQ=BA+AQ=32,12sin0—-2=2cos0+2,2，2sin°则|BQ|=COStxf r-COStxf r-\'jCOsS+2i+§sin0+<3)=

項旳IE特殊角)，所以sin■j丨是以sina=7人7,|BQ|0+.67|BQ|0+.67鬲-12亿3币-2詡2.—3—1——2—1解法2如图，取AC的三等分点D（靠近A）,则AD=3AC，又AQ=孰卩+AAC，即AQ=2AP+Ad汲DQ=2aP,因为点P是以A为圆心的单位圆上一动点，所以点Q是以点2D为圆心，3为半径的圆上的动点，又BD=BC2+DC2—2BC-DCcos/BCD=32+22—2X3X=y7所以|民|的最小值为由-£串讲2答案：94解法1由题意可知，M,E,N三点共线，故设ME=入MN(0v入v1),而AE=斑=1(AB+AC),所以ME=AMN，即AE—AM=AAN—AM)，即;(AB+AC)—xAB=入(*C—xAB),即A—x+入xAB+4—入『AC=0,所以33

1一入尸x=4(1入1—入1一入尸x=4(1入1—入5卅(1—入=1一广'4故4x+y=1—入+兀=w二赢2是4.5=4当且仅当匕丹，即炉扣等号成立，故4x+V的最小值解法2由于M,E,N共线，设AE=加+屁,贝U入+尸L因为AM=xAB,AN=yAC，所以Ae=入XB+"yC,由于AD为三角形ABC的中线，所以AD=*aB+2aC,又因为E为AD中点，所以Ae=2aD=4AB+彳aC二入xb+、C，所以入x4,入x4,1□y=4,J4+1+且：+尸1,所以-+7=4(xyM°),所以4x+y=-x(4x^+y)+-)=:24xXy!9 当且仅当x=8y=3时取得等号•所以‘Vx=4，4x+y的最小值是9新题在线答案：3.解析：如图，建立平面直角坐标系，设A(°,1),B(°,°),C(2,°),D(2,1),P(x,y).根据等面积公式可得圆的半径 r_2 ,- (