多维随机变量和其分布

多维随机变量和其分布一.随机向量及其分布函数定义1

设是定义在概率空间上的n个随机变量，则称是上的一个n维随机向量。定义2

设是上的一个n维随机向量，则称n元函数是随机向量的分布函数或n个随机变量的联合分布函数。下面以二维随机向量为例，给出联合分布函数的性质。(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy二维随机向量联合分布函数的性质二维随机向量边缘分布函数可推广到n维随机向量的边缘分布函数.二.离散型随机向量的概率分布二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表XY012

边缘概率分布的计算也可以在(X,Y)的概率分布表上进行:XY012

二维离散型随机向量联合分布律的性质性质1证因为,所以

性质2证

证

解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)的分布律为随机向量的联合分布函数

例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.

解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.例3.3(均匀分布)Gxyy=x011边缘分布与边缘概率密度边缘分布函数完全由联合分布函数确定.(1)(X,Y)关于X的边缘分布律(2)(X,Y)关于Y的边缘分布律边缘密度函数边缘密度函数由联合密度函数决定.

设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则从而得到X和Y的概率密度函数分别为解（X，Y）的联合密度函数则（X，Y）关于X的边缘密度函数（X，Y）关于Y的边缘密度函数（1）（X,Y）关于X的边缘密度函数（2）（X，Y）关于Y的边缘密度函数1.二元正态分布的边缘分布必为正态分布2.相同的边缘分布未必能确定唯一的联合分布.相关系数为0时,有联合密度等于两个边缘密度之积.作业P84:3,4,5,6.§3.2条件分布与随机变量的独立性

条件分布是条件概率的推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密度函数.XYXY01

0.120.180.280.42三.连续型随机变量的条件密度与独立性xy011Dy=x例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为试证X和Y相互独立.解于是有

p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互独立.解(1)X与Y的密度函数分别为因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数解

(2)因为所以证关于X与Y的边缘密度函数分别为则X与Y相互独立的充分必要条件是

即

P941,5,13§3.3随机向量的函数的分布与数学期望一.离散型随机向量的函数的分布XY00.10.2010.30.050.120.1500.1P0.10.50.20.10.1P0.150.30.350.10.1x+y=z(>0)x0yxy0解:因为X与Y相互独立显然Z~N(0,2).定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布.例3.16商的情况例：设二维随机向量的密度函数为求的密度函数。解于是Z的密度函数为例3.18积的情况xy011y=x

证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…则(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则性质(2):设X,Y是互相独立的随机变量,则有

E(XY)=E(X)E(Y)证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…则(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则※

例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).

解:引入随机变量易知X=X1+X2+…+X10任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1-(9/10)20.即P{Xi=0}=(9/10)20,P{Xi=1}=1-(9/10)20所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,…,10进而E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10[1-(9/10)20]=8.784

注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.P103:3,7,11§3.4随机向量的数字特征

对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息.

但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系.一.协方差X340.40.320.20.1Yxy110y=x

定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)证明

Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)

定理:

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数证明

Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=abCov(X,Y)

定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)证明Cov(X+Y,Z)=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)证明D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E{[X-E(X)]}E{[Y-E(Y)]}=0.

于是得D(X+Y)=D(X)+D(Y)XY00.300.310.10.20.1

协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)

为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:

再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.3.相关系数或标准协方差.

性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.证明令则从而|ρXY|≤1.相关系数的性质

性质2:|ρXY|=1的充要条件是,存在常数a,b使得

P{Y=aX+b}=1

性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.证明若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),又Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以

定义:(1)当ρXY=1时,称X与Y正线性相关;(2)当ρXY=-1时,称X与Y负线性相关;(3)当ρXY=0时,称X与Y不相关.

注:(1)X与Y不相关,只是意味着X与Y不线性相关,但可能存在着别的函数关系;(2)若ρXY存在,则当X与Y独立时,X与Y一定不相关;但X与Y不相关时,X与Y不一定独立.

例:设随机变量Θ在[-π,π]上服从均匀分布,又X=sinΘ,Y=cosΘ试求X与Y的相关系数ρ.解这时有这时有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即ρ=0.从而X与Y不相关,没有线性关系;但是X与Y存在另一个函数关X2+Y2=1,从而X与Y是不独立的.YX-10100.070.180.1510.080.320.20解

X与Y的分布律分别为X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6于是解

则于是定理:

随机变量X与Y不相关与下列结论之一等价.

1.2.3.XY

012

显然，若记h(y)=E[X|Y=y],则随着y的变化，它是y的一个函数。因此可以由此定义随机变量Y的函数h(Y)=E[X|Y],称之为随机变量X关于随机变量Y的条件期望。(1’)(2’)(3’)如果X与Y独立，则(4)全期望公式

例3.28例3.29

五.条件数学期望的预测含义作业P113:1,6“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。§3.5大数定理与中心极限定理一.依概率收敛定义设是一列随机变量，如果对任意则称{Xn}依概率收敛到X,记作二.大数定律第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生

定理3.9（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）:设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk)≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有证明推论设{Xk},k=1,2,…,n,…独立同分布的随机变量，其数学期望和方差均存在。记，则有上述推论要求方差存在，此条件去掉则变成:定理3.10（辛钦大数定律）设{Xk},k=1,2,…,n,…独立同分布的随机变量，其数学期望存在。记，则有伯努利大数定律与辛钦大数定律含义区别.解所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.三.中心极限定理

在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.”

例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即∑Xi.

一般地,