盈亏问题(五年级教师版)

第8讲

盈亏问题盈亏问题又叫盈不足问题指固定数量的物品平均分给固定的对象为种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏就叫盈亏问题本数量关系是：（盈亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：一、两次分配都有余（两盈）；二、两次分配都不够分（两亏）；三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。解决盈亏问题常用比较的解题策略：通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。此类问题基本数量关系有：①盈适足问题：盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。②亏适足问题：亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。③两盈问题：（盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。④两亏问题：（亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。⑤盈亏问题：（盈亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。【例1“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵，还剩棵；如果每人栽7棵，就缺棵问这个队有多少人一共要栽多少棵树

【解析】：可以画出线段图帮助理解题意，如下图：观察上图，比较每人栽7棵与每人栽棵两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。雏鹰小队栽树总棵数多出124=16（）；而每个人多栽：－（棵）；所以小队人数为：（＋）÷－）=8人）。由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：5×＋12=52（）或7×－（）【例2】学生春游，租了几条让学生们划，每条船坐3人则空人的位置；如果每条船坐人则空出人位置，问有学生多少人共租了多少条船【解析】：这是两亏问题，每条船坐人，空个位置即少人每条船坐5人空16个位置少16人，每条船坐5人每条船坐人空出了14个置，即每条船坐5人比每条船做人可以多坐14人。比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。可乘坐总人数相差：－（）；每条船乘坐人数相差－3=2（人）；所以共租船：÷（条）。根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如×－（人）。注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。【例3】解放军某部调动批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车32人则出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上进由于紧急任务调走一辆车这时只好重新安排每辆车乘35人这样多出7人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来共有多少辆车共派出多少名战士【解析】：在重新安排时，每辆车35人，少了一辆车多出7人如果补上这辆车，可以坐上这7个，还可以再坐35－（人）。所以这个条件可以转化为：仍然是

原来的车辆数，每辆车35人少了28人。转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。乘坐总人数相差5＋28=33（人）；每辆车乘坐人数相差－（）；所以原来车辆数为：÷（）。再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为11×＋5=357（）。【例4】：少先队员栽植一批苗，如果每个队员栽6棵还剩12棵如其中个小队员每人栽4棵而其余队员栽8棵果缺2棵问这批树苗有多少参加植树的少先队员有多少人【解析】：第二种方案中有个队员每人栽4棵苗，假定这9个队员每人也栽8棵，则需要再添树苗×－）（棵）。因此题中条件“如果其中9个小队员每人栽棵而其余队员栽8棵结果缺2棵”可以转化为：如果所有队员每人栽8棵，就缺少树苗36＋（）。从而把原题转化为盈亏问题求解：少先队员人数为：（＋）÷8－）（人）；这批树苗总棵树为：×＋（）。【例5】猴子分桃子，如有只子各分5个其余的各分3个则还剩余9个桃子。如果4只子各分3个其余的各分6个则剩余10个子。问猴子有多少只桃子有多少个【解析】：第一种分配方案中，有只猴子各分5个假定这2只猴子和其余猴子一样也是分个在剩余的桃子就多出2×5－）=4（个）。因此题中条件“如果有2只子各分5个其余的各分3个，则还剩余个子。”可以转化为：每只小猴分3个则剩余：＋（）。第二种分配方案中只猴子各分3个这4只子和其余猴子一样也是分6个，则需要再分掉：×6－）（个）因此题中条件“如果4只子各分3个其余的各分个则剩余10个桃子。”可以转化为：每只小猴分6个，则缺少－（）。从而把原题转化为盈亏问题求解：共有猴子：（＋）÷6－=5（个）；共有桃子：×＋（－）×＋9=28（）。

【例6陈师给小朋友分红花和黄花，黄花的朵是红花的一半花每人分朵则多朵红花每人分7朵则少5朵。问有多少个小朋友共有多少朵【解析】：因为黄花的朵数是红花的一半，即红花的朵数是黄花2倍因此题中条件“黄花每人分3朵，则多4朵；”可以转化为：红花每人分6朵，则多朵把题目转化成盈亏问题求解：小朋友的个数为：（＋）÷（－）（）；共有红花：×－朵）；共有花86＋÷（）。

8小友分苹果，每人分18个还多出2个；每人分20个就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友共有多少个苹果全同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人在次大扫除中师分配若干人擦玻璃果中2人擦4块其余每人擦块则余22块如果每人擦7块正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。有干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个分一堆那么苹果分完时还剩个，如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个学思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍副余乒乓球拍副，每组分羽毛球拍14副，则差副问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副用根长绳测量井的深度，如果绳子两折时多5米；如果绳子折时，米求子长度和井.

题解小友分苹果，每人分18个还多出2个；每人分20个就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友共有多少个苹果【解析】：转化题中条件“每人分20只，就有一位小友没分到苹果”，即每人分20个苹果，就少个苹果。可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意每人分20个果和每人分18个果两种情况，小朋友总人数是不变的。分掉的苹果总数相差＋20=22（）；每人多分：－（）；所以共有小朋友222=11（）。由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如：—）×（个）。全同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重编组，每组改为12人，这样减少了组，问参加劳动的学生有多少人【解析】：转化题中条件“每组12人，少组”，即按原定组数分组，每组2人，少了24人转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。总人数增加：×2=24（）；每组人数增加：－8=4（）；原定组数为：÷（人）。再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为8×（人）。在次大扫除中师分配若干人擦玻璃果中2人擦4块其余每人擦块则余22块如果每人擦7块正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。【解析】：第一种方案中，有2人擦块玻璃，假定这两人也擦5块就可以多擦2×（－）（块）。因此题中条件“如果其中人各擦块，其余每擦块则余22块”可以转化为：如果每人擦5块则余－（块）。从而把原题转化为盈余问题求解：擦玻璃人数为：÷（－）（）；玻璃的块数为：×（块）。有干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个分一堆那么苹果分完时还剩个，如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个

【解析】：第二分配方案中，半个苹果2个就相当于个果配4个，还剩下半个苹果，还需要添2个梨正好配完。因此题中条件“如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹，”可以转化为：如果按1个苹果配4个，就缺个。从而把原题转化为盈亏问题求解：共有苹果：（＋）÷（－）（个）；共有梨4×＋2=14（）。学思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍副余乒乓球拍副，每组分羽毛球拍14副，则差副问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副【解析】：因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍如果每次分羽毛