大学物理学(课后答案)第5-6章

第5章 机械振动一、选择题5-1一个质点作简谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 A，且向2x轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为 [ ]AA/2A-A/2OA/2xOx-A/2OxOxAA(A)(B)(C)(D)习题5-1图分析与解图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox轴正向，同时矢端在x轴投影点的位移为A,满足题意,因而选(D)。25-2作简谐振动的物体，振幅为 A，由平衡位置向 x轴正方向运动，则物体由平衡位置运动到 x 3A处时，所需的最短时间为周期的几分之几[]2(A)1/2 (B)1/4 (C)1/6 (D)1/12分析与解 设t1时刻物体由平衡位置向 x轴正方向运动，t2时刻物体第一次运动到x3A处，可通过旋转矢量图，如图5-2所示，并根据公式tT得22tT3T1T，,因而选(C)。226习题5-2图5-3两个同周期简谐振动曲线如图 5-3(a)所示，x1的相位比x2的相位[ ]122(A)落后 (B)超前 (C)落后 (D)超前2 2x1x2Ot(a)(b)习题5-3图分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（ b），正确答案为（B）。5-4一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E，若振幅增加为原来的 2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为[](A)2E(B)4E(C)E(D)16E分析与解因为简谐振动的总能量EEpEk1kA2，因而当振幅增加为原2来的2倍时，能量变为原来的 4倍，因而答案选(B)。5-5两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐振动合成后，振幅仍为A，则这两个简谐振动的相位差为 [ ](A) 60 (B) 90 (C)120 (D)180习题5-5图分析与解 答案（C）。由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为 120时,合成后的简谐运动的振幅仍为 A。二、填空题5-6一质量为m的质点在力F 2x作用下沿x轴运动，其运动的周期为________。123分析与解由已知条件F2x，可得k2,又可以根据公式k求出m2222m。角频率。将结果代入可得Tkm2m5-7一物体作简谐振动，其运动方程为x0.04cos(53t)m。（1）此简2谐振动的周期T________；（2）当t0.6s时，物体的速度v________。分析与解将x0.04cos(5t)与xAcos(t)比较后可得角频率325，则周期T21.2(s)。物体的速度vdx50.04sin(5t)，当3dt3320.6s时v-0.209m/s。5-8一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为 x轴的原点，已知周期为T，振幅为A。若t 0时质点处于x A/2处，且向x轴负方向运动，则简谐振动方程为x ________。习题5-8图分析与解可得质点的角频率2，再根据题意画出t0时刻对应的旋转T矢量图，可得初相位为，则简谐振动方程Acos(2t)。T335-9质量为m的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其振动周期为T，当它作振幅为A的简谐振动时，此系统的振动能量E________。分析与解简谐振动的总能量E1kA21m2A2。根据题意可得2。22T12122=122A2=22mA2代入得EkAmAm()T2。222T5-10已知弹簧的劲度系数为k1.3N/cm，振幅为2.4cm，这一弹簧振子的机械能为________。124分析与解简谐振动的总能量E1kA23.7410-2J2三、计算题5-11若简谐振动方程为x0.10cos(20t+)，式中x的单位为m，t的单位4为s,求：（1）振幅、角频率、周期和初相；（2）速度的最大值。分析可采用比较法求解。将题目给的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得振幅、角频率和初相。再根据vdx写出速度的表达式。dt解（1）将x0.10cos(20t+)与xAcos(t)作比较，可得振幅4A0.10m，角频率20rad/s，初相，则周期2。4T0.1s（2）速度vdx)，则速度的最大值200.01sin(20t+dt4vmax200.012m/s。5-12一物体沿x轴作简谐振动，振幅为10cm，周期为2s，在t0时，5cm，且向x轴负方向运动，求运动方程。分析根据题中已给条件振幅A，角频率2均已知，初相可由题给初T始条件由旋转矢量法方便求出。解由已知条件得A0.1m，22rad/s。t0时x5cm=A画出T22该简谐运动的旋转矢量图，如图5－12所示，可知。则x0.1cos(t)m。33习题5-12图5-13有一弹簧，当其下端挂一质量为 m的物体时，伸长量为 9.8102m。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）当t 0时，物体在平衡位置上方8.0 102m处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）当t 0时，物体在平衡位置并以0.60m/s的速度向上运动，求运动方程。125分析 振动的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定 k，其中k可m由物体受力平衡时弹簧得伸长计算，而振幅 A和初相 则由初始条件给出。解（1）根据物体受力平衡，FG，得klmg，求出弹簧的劲度系数mgkl角频率kmglg10s-1mml0，得A＝x02v02由初始条件t0时，x08.0102m，v08.0102m利用旋转矢量法，如图（a）所示可知初相，则运动方程为x8.0102cos10t(m)（2）当初始条件t0时，x00m，v00.60m/s，求得v02A＝x026.0102m利用旋转矢量法，如图（ b）所示可得初相 ，则运动方程为2x 6.0 102cos(10t )(m)2(a)(b)习题5-13图5-14有一条简谐振动曲线如图 5-14（a）所示，求：（1）该简谐振动的角频率ω，初相位 0；（2）该简谐振动的运动方程，振动速度和振动加速度的表达式。126x/cm22 4Ot/s（a） （b）题5-14图分析由已知的振动曲线可得样品的振幅 A，周期T，角频率可由 2 求T得，并且从曲线中可得初始条件 t 0时，x00cm，v0>0，通过旋转矢量可求得初相 0，以上参数都得到后即可写出简谐振动方程及振动速度和振动加速度的表达式。解（1）由振动曲线可得样品的振幅 A 2cm，周期T 4s，得角频率2rad/sT 2当t0时，0cm，v0>0，通过旋转矢量，如图（b）所示,可求得初相02（2）简谐振动的运动方程x2cos(t)(cm)22dxsin(t)(cm/s)振动速度vdt22振动加速度adv12cos(t)(cm/s2)dt2225-15质量为10g的物体沿x轴作简谐振动，振幅A10cm，周期T4.0s，t0时物体的位移为x05.0cm，且物体朝x轴负方向运动，求：（1）t1.0s时物体的位移；（2）t1.0s时物体所受的力；（3）t0之后何时物体第一次到达x5.0cm处；（4）第二次和第一次经过x5.0cm处的时间间隔。分析根据题中已给条件振幅A，角频率2均已知，初相可由题给初T始条件由旋转矢量法求出。有了运动方程，t时刻的位移和t时刻物体的受力Fmam2x也可求出，后面两问可通过旋转矢量图并根据公式t求出。解（1）由已知条件得A0.1m，22ATrad/s。t0时x5cm=422127画出该简谐运动的旋转矢量图，如图 5－15（a）所示，可知 2 。则3x0.10cos(t2)cm232)cmt1.0s时物体的位移x0.10cos(0.128.66cm3（2）t1.0s时物体的受力Fmam2x2.1410-3N（3）设t0时刻后，物体第一次到达x5.0cm处的时刻为t1，由旋转矢量图，如图5-15（b）所示，在两个不同时刻相位差相差，由t1t2s（4）设t0时刻后，物体第二次到达x5.0cm处的时刻为t2，由旋转矢量图，如图5-15（c）所示，在t1，两个不同时刻相位差相差2，由t2t1t4st233(c)(a) (b)习题5-15图5-16如图5-16(a)所示，质量为1.00102kg的子弹，以500m/s的速度射入并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐振动，设木块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为8.00103N/m，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点， 向左为轴正向，求简谐振动的运动方程。m2km1(a) (b)习题5-16图分析根据已知条件可用动量守恒定律求出子弹射入后和木块的共同速度。128振动的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定k，而振幅A和初相则由m初始条件给出。以上参数都得到后即可写出简谐振动方程。m1v=1m/s解子弹和木块的共同速度v0=m1+m2k=40rad/s角频率w=m1+m22v0=2.5?10-2m振幅A=x02+v02=ww由旋转矢量，如图5-16(b)所示，确定初相j=p2简谐振动方程x=2.5?10-2cos(40tp)m25-17一物块悬于弹簧下端并作简谐振动， 当物块位移大小为振幅的一半时，这个振动系统的势能占总能量的多少？动能占总能量的多少？又位移大小为多少时，动能、势能各占总能量的一半？分析简谐振动的总能量E＝1m2A2＝1kA2，其中Ep1kx2，Ek1mv2，2222即可求出动能与势能的大小。解当物块位移大小为振幅的一半时，简谐振动的总能量E＝1m2A2＝1kA2222其中势能Ep1kx21kAE，动能EkEEpE22243因而势能占总能量的25%；动能占总能量的75%。设物体在x处物体动能和势能相等EPEkEPEEPEP1E21kx211kA2xA22225-18一劲度系数k=312N/m的轻弹簧，一端固定，另一端连结一质量m0=0.3kg的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为m=0.2kg的物体，两物体间的最大静摩擦系数 0.5，求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量。129分析根据题意可知，两物体间无相对滑动，即m和m0有相同的速度和加速度，可以看做一质量为mm0的弹簧振子，则振动的圆频率k。对mm0于放在上面的物体m来说，它作简谐振动所需的回复力由两物体间的静摩擦力来提供的，其最大静摩擦力对应其最大加速度mgmamaxm2Amax，则最大总能量Emax1kAmax可方便算出。2解两物体间无相对滑动，即m和m0可以看做一质量为 m m0 的弹簧振子，则振动的圆频率

km m0对于m来说，它作简谐振动所需的回复力是由两物体间的静摩擦力来提供的，其最大静摩擦力应对应着其最大加速度，即 mg mamax m2Amax所以系统作简谐振动的最大振幅mggmm0Amax2km2振动系统的最大能量1kAmax1gmm010-3JEmaxk9.6222k5-19已知两同方向同频率的简谐振动的运动方程分别为x10.05cos10t0.75，x20.06cos10t0.25，式中x1、x2的单位为m，t的单位为s。求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向同频率的简谐振动x30.07cos10t3，式中x3的单位为m，t的单位为s，则3为多少时，x1+x3的振幅最大？又3为多少时，x2+x3的振幅最小？分析两个同方向同频率简谐运动的合运动仍为简谐运动，其中初相位tgA1sin1A2sin2，合振幅AA12A222A1A2cos21，将已知条件A1cos1A2cos2代入即可求解。130解(1)合振动的振幅为AA2A22AAcos217.8102m1212合振动的初相位为tg0A1sin1A2sin211A1cos1Acos22由两旋转矢量的合成图，如图5-19所示，可知，所求的初相位 0应在第一象限，则01.48rad(2)当31＝2k,k0,1,2,时，即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大，由于10.75，则3＝2k0.75k0,1,2,当31＝2k1，k0,1,2,时，即x与x相位相反时，合振动的振幅最小，13则20.25，则3＝(2k1)0.752k1.25k0,1,2,习题5-19图131第六章 机械波一、选择题6-1图（a）表示t 0时的简谐波的波形图，波沿 x轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲线。则图（ a）中所表示的x 0处质点振动的初相位与图（ b）所表示的振动的初相位分别为 [ ]y yuOxOta) b)(a-1) (b-1)习题6-1图(A)均为零(B)均为(C)均为(D)2与222与22分析与解 图（a）是t 0时的简谐波的波形图，原点处的质点位移为零，且向y轴负方向运动，利用旋转矢量法，如图（ b）所示，可以求得该质点的初相位是 。图（a-1）为一质点的振动曲线，从图中可以得到在t 0时，x0 0，v0>0，2由旋转矢量，如图（b-1）所示，可知该质点的初相位是 ，因而选（D）。26-2一横波以速度 u沿x轴负方向传播，t时刻波形曲线如图 6-2(a)所示，则该时刻[ ](A)A点相位为 (B)B点静止不动(C)C点相位为3 (D)D点向上运动2132y uADO B C x(a) (b)习题6-2图分析与解 横波以速度u沿x轴负方向传播，由题给波形图可得，B、D两处的质点均向y轴负方向运动，A处质点位于正的最大位移处， C处质点位于平衡位置且向y轴正方向运动，它们的选转矢量图如图 (b)所示，因而答案选(C)。6-3如图6-3所示，两列波长为 的相干波在点P相遇。波在点S1振动的初相是 1，点S1到点P的距离是r1。波在点S2的初相是 2，点S2到点P的距离是r2，以k代表零或正、负整数，则点 P是干涉极大的条件是[ ](A) r2 r1 k (B) 2 1 2k(C) 2 1 2 (r1 r2) 2k (D) 2 1 2 (r2 r1) 2kS1r1PS2 r2习题6-3图分析与解 干涉相长的条件：133(2因而选(C)。2010)(r2r1)2k,k0,1,2,3,6-4波的能量随平面简谐波传播，下列几种说法中正确的是[]因简谐波传播到的各介质质元都作简谐运动，故其能量守恒各介质质元在平衡位置处的动能和势能都最大，总能量也最大各介质质元在平衡位置处的动能最大，势能最小各介质质元在最大位移处的势能最大，动能为零分析与解 平面简谐波中任一质元的总能量是不守恒的，而是随时间作周期性变化。平衡位置处，质元的动能和势能最大；最大位移处质元的动能和势能为零，因而选(B)。6-5在波长为的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为[](A)(B)(C)3(D)424分析与解驻波的特征是有波腹和波节，相邻波腹和相邻波节之间间隔均为半个波长，相邻波节之间质点相位相同，波节两侧质点相位相反。因而答案选(B)。二、填空题6-6 一平面简谐波沿 x轴正方向传播，已知 x 0处振动的运动学方程为y cos t 0 ，波速为u，坐标为x1和x2两点的振动相位差是________。分析与解 相位差 2 (x2 x1) (x2 x1)u6-7一平面简谐波沿x轴正方向传播，波动表达式为y0.2cos(tx)(m)，则x3m处介质质点的振动加速度a的表达式为2________。分析与解 先将题目给的波动方程写成波动方程的一般形式y 0.2cos[ (t x)](m)。质点的振动速度vdy,振动加速度2 dtd2y 2 xa dt2 0.2cos (t 2)，则x 3m处介质质点的振动加速度 a的表达式为a 0.2 2cos (t 3)(m/s2)2134y34O12x(a) (b)习题6-8图6-8沿x轴正方向传播的平面简谐波在t0时刻的波形图如图6-8（a）所示。由图可知原点O和1、2、3、4各点的振动初相位分别为________；________；________；________；________。分析与解 利用旋转矢量，如图 6-8（b）所示，得原点 1、2、3、4各点的振动初相位分别为，0，，，。22236-9两相干波源处在P、Q两点，间距为，波长为，初相相同，振幅相同且均为4，R是PQ连线上的一点，则两列波在R处的相位差的大小为A，两列波在R处干涉时的合振幅为。PQR习题6-9图分析与解由于初相相同，因而两点的相位差2(x2x1)3，合振2幅A＝A12＋A22＋2A1A2cos2A6-10强度为I的平面简谐波通过垂直于波速方向、面积为S的平面，则通过该平面的平均能流是________。分析与解 平均能流P是指单位时间内通过介质中某一面积的平均能量，P IS。三、计算题1356-11 一横波在沿绳子传播时的波动方程为 y 0.20cos2.5t x，式中y和x的单位为m，t的单位为s。求：（1）波的振幅、波速、频率及波长；（2）绳上的质点振动时的最大速度。分析可采用比较法求解。将题目给的波动方程与波动方程的一般形式比较后可得振幅、角频率、波速和初相。再根据 v dx写出速度的表达式。dt解（1）将y0.20cos2.5tx与y(x,t)x)0]作比较，可Acos[(tu得振幅A0.20m，角频率2.5rad/s，波速u2.5m/s，初相0，则频率1，波长=uTu2m。1.25HzT2（2）速度vdy0.20sin2.5tx2.5dt得速度的最大值vmax2.50.202m/s。6-12波源作简谐运动，其运动方程为y4.0103cos240t，式中y的单位为m，t的单位为s，它所形成的波以30m/s的速度沿x轴正方向传播。求：（1）波的周期及波长；（2）波动方程。分析将题目给的振动方程与简谐振动方程的一般形式比较后可得振幅、角频率。再根据波速和波源的振动方程写出波动方程的表达式。解（1）将y4.0103cos240t与yAcos(t)作比较，可得振幅3，角频率，则周期T28.33103s。波长A4.010m240rad/=uT 0.25 m（2）它所形成的波以30m/s的速度沿x轴正方向传播，根据波源的振动方程可得y 4.0103cos240t 8x(m)6-13波源作简谐运动，周期为 1.0 102s，振幅为0.1m，并以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以 u 400ms的速度沿 x轴正方向传播。求：（1）距波源为8.0m出的点P的运动方程和初相；（2）距波源为9.0m和10.0m处两点的相位差为多少？02136uT4m、=2=2-2=200T110波源运动方程y00.1cos(200t)mx2波动方程y0.1cos[200(t)]m4002x8m处振动方程为：y(8)0.1cos[200(t8)]m0.1cos(200t9)m。40022初相92（2）距波源为9.0m和10.0m处两点的相位差2(x2x1)2(109)42Ox(t 0)习题6-13图6-14如图6-14(a)所示，为平面简谐波在t0时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz,且此时图中质点P的运动方向向上，求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为10m处质点的运动方程与t0时该点的振动速度。y/m0.2P(t0)0.1O20mx/myO(a) (b)习题6-14图分析通过波形图可以确定机械波的振幅、波长、传播方向、质点的振动位移和振动方向等相关信息，求出坐标原点处的振动方程后，便可得到波动方程。质点的振动速度指的是质点在其平衡位置附近作简谐振动的速度， 可通过将振动方程对时间求导来计算。137解(1)由波形图得振幅A0.2m波长=40m波速u40250104ms圆频率2500rads由点P向上运动通过作行波图，可知波是沿x轴负方向传播的。在原点O处,t=0时，y0=0.1m且向y轴负方向运动，y0AcosA解得23而v0Asin0，sin0所以3或者作出t=0时原点振动的旋转矢量图（ 6-14(b)），亦可得 。3所以，原点处振动方程y0.2cos(500t)m3波动方程为：y0.2cos[500(tx]m)10003(2)将x=10m代入上式得到P振动方程：y0.2cos(500t5)m6其振动速度dysin(500t5v100)dt6当t=0s时v50ms6-15平面简谐波的波动方程为y0.08cos4t2x，式中y和x的单位为m，t的单位为s，求：（1）t2.1s时波源及距波源0.10m两处的相位；（2）离波源0.80m及0.30m两处的相位差。分析波动方程已知，即可知任意时刻，任意位置的相位，和两点之间的相位差。将题目给的波动方程写成一般形式比较后，可得角频率、波速和初相。再138根据 2 (x2 x1)求两点之间的相位差。解 （1）当t 2.1s时，波源处即 x 0m 的振动方程为y 0.08cos4 2.1 2 0 0.08cos8.4 ，相位为8.4此 时 距 波