【课件】单调性与最大（小）值（一）课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值（一）

学习目标：1.知识与技能

(1)理解函数的单调性概念(2)初步掌握函数单调性的判断与证明2.学科素养(1)利用函数图象表示函数的单调性，培养直观想象的学科素养。(2)用数学符号语言刻画函数单调性，培养数学抽象的学科素养

(3)利用单调性定义证明函数单调性，培养逻辑推理的学科素养1课堂导入问题1：观察图3.2-1中的各个函数图象，你能说说他们分别有哪些特征吗？新课导入：在函数定义域的某一区间内，函数图像从左到右是上升的，即y随着x的增大而增大，则称函数在这个区间内单调递增在函数定义域的某一区间内，函数图像从左到右是下降的，即y随着x的增大而减小，则称函数在这个区间内单调递减函数单调性的自然语言描述：1课堂导入单调性是局部性质问题2：判断函数的单调性2探究作出函数f(x)=x2

的函数图象，判断它的单调性

思考：如何用符号语言刻画“在区间[0,+∞)上，y随着x的增大而增大”？x<0时,y随x的增大而减小f(x)在(-∞,0)上单调递减x≥0时,y随x的增大而增大f(x)在[0,+∞)上单调递增2探究作出函数f(x)=x2

的函数图象，判断它的单调性

x≥0时,y随x的增大而增大f(x)在[0,+∞)上单调递增思考：如何用符号语言刻画“在区间[0,+∞)上，y随着x的增大而增大”？2探究作出函数f(x)=x2

的函数图象，判断它的单调性x<0时,y随x的增大而减小f(x)在(-∞,0]上单调递减

x≥0时,y随x的增大而增大f(x)在[0,+∞)上单调递增你能模仿以上的方法，给出“在区间（-∞，0)上，y随着x的增大而减小”的符号语言刻画吗？新知学习：单调性的定义

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，图示∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递减,

区间D为f(x)的单调递减区间.注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.常数函数不具有严格的单调性.∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递增,

区间D为f(x)的单调递增区间.

问题3：(1)设函数f(x)=|x|，区间D=(-4,4)，集合A={-1,2,3}，对∀x1,x2∈A，当x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？.不能.

函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1≠x2）具有任意性。不能用自变量在区间D内某两个值来或者区间D一部分内的任意两个值x1，x2来代替。（2）讨论函数的单调性函数的单调区间不能用“并”来连接，必须用“和”或“,”连接

(3)函数的单调性是对定义域上的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数吗？在定义域内的某些区间单调而在另一些区间上单调递减的函数吗？增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质.

一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性.yxOyxO典例1用定义证明函数f(x)=3x+2是增函数例题讲解：思考：（1）要证明函数f(x)=3x+2是增函数，关键是要证明什么？（2）你还记得如何比较f(x1)和f(x2)的大小吗？（3）x1，x2应在什么范围内？作差法步骤：作差、变形、定号、做结论函数f(x)的定义域或定义域下的某个区间典例1用定义证明函数f(x)=3x+2是增函数例题讲解：则于是用定义证明函数的单调性的步骤:1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方；4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.归纳总结判断函数的单调性——定义法取数作差、变形定号定论典例2

物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.典例3证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差、变形结论1、

下图是定义在闭区间[-4,7]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一区间上是单调递增还是单调递减。达标检测：达标检测：2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(

)A．y＝2x＋1

B．y＝x2＋1

C．y＝3－x

D．y＝x2＋2x＋13．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(

)A．(－∞，1)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，2)