解答压轴题(新定义与阅读理解)(共40道大题)-5年中考1年模拟数学试题分项详解

5年(2016-2020)中考1年模拟数学试题分项详解(江苏专用)

专题36解答压轴题(新定义与阅读理解)(共40道大题)

r-------------------------------------\

五年中考真题

1.(2020•南通)【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

【理解运用】

(1)如图①，对余四边形A8CZ)中，AB=5,BC=6,CD=4,连接AC.若AC=AB,求sin/CAO的

值；

(2)如图②，凸四边形ABCD中，AD^BD,AD1BD,2CZ)2+CB2=CA2,判断四边形是

否为对余四边形.证明你的结论；

【拓展提升】

(3)在平面直角坐标系中，点4(-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形45CD是对余四边形，点E

在对余线8。上，且位于△ABC内部，N4EC=90°+ZABC.设一=“，点力的纵坐标为r,请直接写

BE

出"关于f的函数解析式.

【分析】(1)先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sinZCAD的

值.

(2)通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形

A8CQ为对余四边形.

(3)过点。作DHLx轴于点H,先证明得出〃与AC的关系，设O(x,力，再利用

(2)中结论，求出AD与/的关系即可解决问题..

【解析】(1)过点A作AEVBC于E,过点C作CFLAD于F.

、D

E

图①

'：AC=AB,

：.BE=CE=3,

在Rt/XAEB中,AE=7AB2-BE2=V52-32=4,

VCF±AD,

AZD+ZFCD=90°,

VZB+ZD=90°,

:./B=/DCF,

VZAEB=ZCFD=90°，

:心AEBS^DFC,

EBAB

CF-CD

三三

CF~4

12

:.CF=亏'

CF_¥_12

sinZCi4D=

^4C_T_25-

(2)如图②中，结论：四边形ABC。是对余四边形.

理由：过点。作。MJ_OC,使得。M=OC,连接CM.

•四边形48co中，AD=BD,ADA.BD,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

VZDCM=Z£)MC=45°,

：.ZCDM=ZADB=90°,

・•・NADC=NBDM,

•：AD=DB,CD=DM,

:.△ADg/XBDM(SAS),

：.AC=BM,

U222212

：2CD+CB=CA9CM=DM^CD=2CD,

：.CM2+CB2=BM2,

：.ZBCM=90°,

：.ZDCB=45°,

：.ZDAB+ZDCB=90°,

J四边形ABCD是对余四边形.

(3)如图③中，过点D作。轴于H.

・・・OA=1,。8=3,A5=4,AC=BC=2y/2,

222

：.AC^BC=ABf

：.ZACB=90a,

：.ZCBA=ZCAB=45°,

•・・四边形ABCD是对余四边形，

，NA£)C+NA8C=90°,

/.ZADC=45°，

VZAEC=90°+NABC=135°,

AZADC+ZAEC=180°,

・・・A,D,C,E四点共圆，

工ZACE=NADE,

VZCAE+ZACE=ZCAE+ZEAB=45°,

：.ZEAB=^ZACE,

：.ZEAB=ZADBf

•・•NABE=NDBA,

・•・△ABEs△oa4,

,BEAE

ABAD

AEAD

•e.=,

BEAB

.AD

•・u=丁'

设D(x,/),

由(2)可知，BD2=2CDi+Ab1,

：.(x-3)2+P=2[(x-I)2+(r-2)2]+(x+1)2+尸，

整理得(x+1)2=4Z-t2,

在RIYADH中，AD=>JAH2+DH2=V(x+1)2+12=2立，

二"=竽=:(0</<4),

即u=y(0<Z<4).

2.(2020•镇江)【算一算】

如图①，点4、B、C在数轴上，8为AC的中点，点A表示-3,点8表示1,则点C表示的数为5,

AC长等于8；

【找一找】

-y/2y/2

如图②，点M、N、P、。中的一点是数轴的原点，点A、8分别表示实数々•一1、y+1,。是AB的中

点，则点N是这个数轴的原点:

【画一画】

如图③，点A、B分别表示实数c-n、c+〃，在这个数轴上作出表示实数”的点E(要求：尺规作图，不

写作法，保留作图痕迹）;

【用一用】

学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测。个学生.凌老

师提出了这样的问题：假设现在校门口有“个学生，每分钟又有。个学生到达校门口.如果开放3个通

道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全

部进校.在这些条件下，“、，小%会有怎样的数量关系呢？

爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数机+4。记作+（〃?+4匕），用点A表示；

将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作-8a,用点8表示.

①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、-12。的点F、G,并写出+（m+2b）的实际意义；

②写出“、根的数量关系：加=4〃♦

B

-4A-----------'----•-------

-301

图①

MANPQB

------•-----L--------•------------•-------V-

A-i

2

图②

AB

--------------------------------•---------1•-»

c-n0c^n

图③

---------2-------------------■4——>

-8a0m+4b

图④

【分析】（1）根据数轴上点A对应-3,点8对应1,求得A8的长，进而根据A8=8C可求得AC的长

以及点C表示的数；

（2）可设原点为0,根据条件可求得AB中点表示的数以及线段A8的长度，根据48=2,可得4。=8。

=1，结合0Q的长度即可确定N为数轴的原点；

（3）设A8的中点为先求得48的长度，得到根据线段垂直平分线的作法作图即可；

（4）①根据每分钟进校人数为b,每个通道每分钟进入人数为a,列方程组｛1视根据加+28

=0F,，”+的=12“，即可画出F,G点，其中"?+26表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；

②解①中的方程组，即可得到m=4a.

【解析】（1）【算一算】：记原点为0,

'：AB=]-(-3)=4,

：.AB=BC^4,

：.0C=0B+BC=5,AC=2A8=8.

所以点C表示的数为5,AC长等于8.

故答案为：5,8；

(2)【找一找］：记原点为O,

J2

"：AB=^+\-(V―2-1)=2,

22

：.AQ=BQ^\,

：.OQ=OB-BQ=^-+\-1=孝，

为原点.

故答案为：N.

(3)【画一画】：记原点为O,

ilAB—c+n-(c-ri')—2n,

作AB的中点M,

得AM=BM=n,

以点。为圆心,

长为半径作弧交数轴的正半轴于点E,

则点E即为所求;

AOB

c-n0

图③

(4)【用一用】：在数轴上画出点凡G；

V4分钟内开放3个通道可使学生全部进校,

"+46=3XaX4,即"?+4/7=12a(I)；

V2分钟内开放4个通道可使学生全部进校,

/.m+2b=4XaX2,即加+2〃=8。（II）；

①以0为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F,则点F即为所求.

作0B的中点E,则0E=BE=4a,在数轴负半轴上用圆规截取OG=3OE=12“，

则点G即为所求.

GBE,A

-Yla~0mJ.2b

图④

+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；

②方程（II）X2-方程（I）得：m=4a.

故答案为：m—4a.

3.（2020•常州）如图1,。/与直线a相离，过圆心/作直线。的垂线，垂足为H,且交。/于P、。两点

（Q在P、”之间）.我们把点P称为。/关于直线”的“远点"，把PQVH的值称为。/关于直线a的

“特征数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系X。），中，点E的坐标为（0,4）.半径为1的。。与两坐标轴交于点4、

B、C、D.

①过点E画垂直于y轴的直线〃?，则。。关于直线机的“远点”是点上（填“AC”或"O”），

。0关于直线山的“特征数”为10；

②若直线n的函数表达式为y=V3x+4.求关于直线〃的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，直线/经过点M（l,4）,点尸是坐标平面内一点，以尸为圆心，夜为

半径作OF.若。尸与直线/相离，点N（-l,0）是OF关于直线/的“远点”.且OF关于直线/的“特

【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可.

②如图1中，过点。作直线〃于“，交。。于Q,P.解直角三角形求出P”，P。的长即可解决

问题.

（2）如图2中，设直线/的解析式为y=h+b.分两种情形/>0或2<0,分别求解即可解决问题.

【解析】（1）①由题意，点。是。。关于直线，"的“远点”，。。关于直线，〃的特征数=£>B・OE=2X5

=10,

故答案为：D,10.

②如图1中，过点O作O”J_直线〃于H,交OO于。，P.

图1

设直线y=V^x+4交x轴于尸（―0）,交y轴于E（0,4）,

：.OE=4,。/=警

.•.tan〃E0=*坐,

.♦.NFEO=30°,

1

：.OH=步E=2,

：.PH=OH+OP=3,

二。。关于直线"的“特征数”=PQ・PH=2X3=6.

（2）如图2中，设直线I的解析式为y=fcr+〃.

当A>0时，过点F作尸直线/于，，交。尸于E,N.

由题意，EN=2或,EN，NH=4底

：.NH=V10,

■:N(-1,0),M(I,4),

:.MN=V22+42=2A/5,

：.HM=y/MN2-NH2=<20-10=V10,

...△MN”是等腰直角三角形，

的中点K(0,2),

:.KN=HK=KM=V5,

：.H(-2,3),

把H(-2,3),M(1,4)代入y=fcc+b,则有3'

(k=J

解得《心，

(b=-3

/.直线/的解析式为y=1x+导，

当M<0时，同法可知直线/'经过(2,1),可得直线厂的解析式为y=-3x+7.

综上所述，满足条件的直线/的解析式为y=%+?或y=-3x+7.

4.(2020•扬州)阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问

题：

已知实数X、y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思

路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求

得代数式的值，如由①-②可得x-4），=-2,由①+②X2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常

所说的“整体思想”.

解决问题：

U)已知二元一次方程组+y=7,则x_丫=_],近=5

(x+2y=8,

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块

橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y,定义新运算：x^ax+by+c,其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法

运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=-11.

【分析】（1）利用①-②可得出x-y的值，利用］（①+②）可得出x+y的值；

（2）设铅笔的单价为加元，橡皮的单价为〃元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、

2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本II记本共需58元”，即可得出关于"?，〃，p的三元

一次方程组，由2X①-②可得,〃+〃+p的值，再乘5即可求出结论；

（3）根据新运算的定义可得出关于“，6,c的三元一次方程组，由3X①-2X②可得出a+6+c•的值,

即1*1的值.

2x+y=7①

【解析】（1）

x+2y=8(2)

由①-②可得：x-y=-I>

由:（①+②）可得：x+y=5.

故答案为：-1；5.

（2）设铅笔的单价为切元，橡皮的单价为"元，日记本的单价为P元,

依题意，得：［20m+3“+2P=320,

（39m+5n+3p=58②

由2义①-②可得〃?+”+p=6,

・・・5加+5〃+5〃=5义6=30.

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.

(3)依题意，得：[3a+5b+c=15&,

(4a+7b+c=28(2)

由3X①-2X②可得：a+b+c—-11,

即1*1=-11.

故答案为：-II.

5.(2019•南京)【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式

行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点4(xi,yi)和8(m,”)，用

(1)①已知点A(-2,1),则d(O,A)=3.

②函数y=-2x+4(0WxW2)的图象如图①所示，8是图象上一点，d(0,B)=3,则点8的坐标是

(1,2).

(2)函数y=[(x>0)的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使d(0,C)=3.

(3)函数y=/-5x+7(xe0)的图象如图③所示，。是图象上一点，求d(。，£»的最小值及对应的

点D的坐标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处

拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意

图并简要说明理由)

【分析】(1)①根据定义可求出"(0,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3;②由两点间距离：d(A,B)=|xi

-X2|+|yi-网及点B是函数y=-2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；

(2)由条件知x>0,根据题意得x+《=3,整理得X2-3X+4=0,由△<()可证得该函数的图象上不存

在点C,使d(。，C)=3.

(3)根据条件可得|A|+|/-5X+7],去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；

(4)以M为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的图象沿y轴正方

向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E,过点E作垂足为H,修建

方案是：先沿方向修建到“处，再沿”E方向修建到E处，可由“(O,P)CO,E)证明结论

即可.

【解析】(1)①由题意得：d(。,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②设B(x,y),由定义两点间的距离可得：|0-x|+|0-y|=3,

3,

,俨+y=3

,,(y=-2x+4,

解得:(；：2-

：.B(1,2),

故答案为：3,(b2)；

(2)假设函数y=：(x>0)的图象上存在点C(x,y)使d(。，C)=3,

A

根据题意，得忧一0|+有一0|=3,

Vx>0,

444

.--->0,|x-0|+P-0|=%+^,

X人人

・.4

・・%+-=o3,

x

，/+4=3x,

A?-3x+4=0,

.*.A=/?2-4ac=-7VO,

・・・方程/-3x+4=0没有实数根，

,该函数的图象上不存在点C,使d(0,C)=3.

(3)设。(x,y),

根据题意得，d(O,D)=\x-Ol+Lx2-5x+7-O|=W+|x2-5x+7|,

,*,%-5%+7-(%-当2+.>0,

又工20,

：.d(O,D)=\X\+\JT-5x+7|=x+/-5x+7=/-4x+7=(x-2)2+3,

...当x=2时，d(O,D)有最小值3,此时点。的坐标是(2,1).

(4)如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的图象沿y

轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为£,过点E作垂足为从修建方案是：先沿用N方向修建到，处，再沿”E方向修

建到E处.

理由：设过点E的直线/|与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点?作直线/2〃

•.•/EFH=45°,

：.EH=HF,(1(0,£)=OH+EH=OF,

同理d(0,P)=0G,

■:OG^OF,

(O,P)*(0,E),

上述方案修建的道路最短.

6.(2018•南京)结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图，RtZ\ABC的内切圆与斜边AB相切于点O,AD=3,80=4,求△4BC的面积.

解：设aABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为工

根据切线长定理，得AE=AO=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根据勾股定理，得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.

整理，得/+7x=12.

所以S^ABC=^AC'BC

i

=2(x+3)(x+4)

=%(7+7x+12)

1

=1x(12+12)

=12.

小颖发现12恰好就是3X4,即aABC的面积等于与8。的积.这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索.

已知：△ABC的内切圆与48相切于点。，AD=m,BD=n.

可以一般化吗？

(1)若/C=90°,求证：ZVIBC的面积等于

倒过来思考呢？

(2)若AUBC=2m〃，求证NC=90°.

改变一下条件...

2

【分析】(1)由切线长知A£=AQ="z、BF=BD=n,CF=CE=x,根据勾股定理得(x+而？+(x+n)

=(〃?+〃)2,即7+(切+〃)x=mn,再利用三角形的面积公式计算可得；

(2)由由AC・8C=2，〃〃得(尤+机)(x+〃)=2mn,即％2+(m+n)x=»i〃，再利用勾股定理逆定理求证即

可；

(3)作4G_L8C,由三角函数得AG=AC・sin60°=中-CG=AUcos60°(x+w),BG=BC

-CG=(x+n)(x+m),在RtA48G中，根据勾股定理可得/+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的

面积公式计算可得.

【解析】设△ABC的内切圆分别与AC、8c相切于点E、F,CE的长为x,

根据切线长定理，得：AE=AO=，"、BF=BD=n、CF=CE=x,

在RlZSABC中，根据勾股定理，得：(x+,〃)2+(x+〃)2=(切+〃)2,

整理，得：»+("?+“)x=mn,

所以SMBC=

]

=2(x+M(x+n)

=*[/+(nHn)x+mn]

1,、

=](rnn+mn)

=m〃,

(2)由AC9BC=2mn,得：(x+m)(x+〃)=2mn,

整理，得：/+("?+〃)x=mnf

.'.AC2+BC2=(X+〃7)2+(x+7?)2

=21/+(zn+n)x]+m2+n2

=2mn+nr+tr

—(〃?+〃)2

2

=ABf

根据勾股定理逆定理可得NC=90°；

(3)如图2,过点A作AGLBC于点G,

F5i

在RtZXACG中，AG=AUsin60°二号(x+m),CG=4Ucos60°=今—

i

:.BG=BC-CG=(x+〃)—(x+M,

在Rt2\48G中，根据勾股定理可得：[二(x+/n)J2+[(x+n)-i(x+zn)]2=(m+n)2

22

整理,得：x2+(.m+n)x—3mn,

S^ABC=^BC'AG

1,、百

=Tx(%+»),—(.x+m)

22

=挈廿+(m+n)x+mn]

=乎x(3mn+mn)

=y/3mn.

7.(2017•南京)折纸的思考.

【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形.

第一步，对折矩形纸片ABC。(AB>BC)(图①)，使48与OC重合，得到折痕EF,把纸片展平(图

②).

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点8,得到折痕8G,折

出PB、PC,得至U△P2C.

(1)说明△尸BC是等边三角形.

【数学思考】

(2)如图④，小明画出了图③的矩形A8CD和等边三角形P8C.他发现，在矩形ABC。中把△依(?经

过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程.

(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为“cm,对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等

边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的“的取值范围.

【问题解决】

(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长

【分析】(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=C8即可：

(2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；

(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；

AEEF1

(4)证明得出一=一=一，设AE=x,则AD=C£)=4X,DE=AD-AE=3X,在Rt

DCCE4

△CQ£中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解析】(1)证明：由折叠的性质得：E尸是的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，

：.PB=PC,PB=CB,

:.PB=PC=CB,

/\PBC是等边三角形.

(2)解：以点8为中心，在矩形ABCO中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P8C1；

再以点B为位似中心，将△PBC1放大，使点。的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2；

如图⑤所示；

(3)解：本题答案不唯一，举例如图6所示，

3cm

3cm

(4)解：如图7所示:

△CEF是直角三角形，NCEF=90°,C£=4,EF=1,

:・/AEF+/CED=90°,

・・•四边形A8CO是正方形，

AZA=ZD=90°,AD=CD,

・・./DCE+NCED=90°,

JNAEF=/DCE,

XAEFsADCE,

AEEF1

DC~CE~4

设AE=x,则AD=CD=4x,

：.DE=AD-AE=3x,

在RlZXCOE中，由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=42,

4

解得

5-

图7

AD

BC

图⑤

8.（2016•南京）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数），=2无

的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数），=2x的图

象.

类似地，我们可以认识其他函数.

（1）把函数v=；的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍,横坐标不变，得到函数），=1的图象；也可

以把函数），=*的图象上各点的横坐标变为原来的j倍，纵坐标不变，得到函数丫=?的图象.

1

（2）己知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移万个单位长度；

1

④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的

2倍，纵坐标不变.

（I）函数的图象上所有的点经过④->②一①，得到函数y=4-7）2-2的图象;

（II）为了得到函数），=一/（x-1）2-2的图象，可以把函数v=的图象上所有的点。.

A.①一⑤f③B.①-*⑥-*③C.①-②f⑥£>.①f③-⑥

（3）函数的图象可以经过怎样的变化得到函数），=-瑞的图象？（写出一种即可）

【分析】（1）根据阅读材料中的规律即可求解；

（2）根据阅读材料中的规律以及“左减右加，上加下减”的规律即可求解；

（3）首先把函数解析式变为），=一翱=一言凄3=斤，一1,然后根据（2）的规律即可求解.

II4人I什IA-I4J

【解析】(1)把函数y=］的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，

设y'=6y,x'=x,将尸(x=x'代入x)，=l可得y'=?，得到函数)，=号的图象；

也可以把函数>'=1的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，

设y'=y,x'=6x,将尸y',广1代入孙=1可得y'=5，得到函数尸?的图象；

(2)(I)函数y=x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y

=4/的图象；_y=4f的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到)，=4(x-1)2的图象；y

=4(x-1)2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y=4(x-1)2-2的图象.

(II)为了得到函数y=—J1-1)2-2的图象，可以把函数y=的图象上所有的点先向下平移2

11

个单位长度，得到y=-7-2的图象，再把y=-/-2的图象向右平移；个单位长度，得到y=-(x-1)

2-2的图象；最后把尸-(x—今2-2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到尸-(%；)2-2的

图象，即)，=一)(x-I)2-2的图象.

4,

/o、••__2%+1_-2x-4+3_3j

①•尸―2X+4=2x+4=2(x+2)-’

...函数)，=:的图象先将纵坐标变为原来的;倍，横坐标不变，得到y=/；再向左平移2个单位，向下平

移1个单位即可得到函数)，=-瑞的图象.

故答案为：(1)6,6；(2)(I)y=4(x-1)2-2；(II)D.

9.(2019•南通)定义：若实数x,y满足/=2y+3)?=2_r+/,且xWy,f为常数，则称点M(x,y)为“线

点例如，点(0,-2)和(-2,0)是“线点”.已知：在直角坐标系xOy中，点尸(m,〃).

(1)Pi(3,1)和尸2(-3,1)两点中，点。2是“线点”；

(2)若点P是“线点”，用含/的代数式表示机"，并求f的取值范围；

(3)若点Q(〃，加)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A,B,当|NPO。-NAOB|=30°时，

直接写出f的值.

【分析】⑴若x,y满足f+2y=，，/+2X=且xWy,/为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得

出结论；

(2)由新定义得出m2+2〃=/,rr+2m=t,得出加2+2〃-/-2用=0,=It,分解因式得出

2

(团-〃)(m+n-2)=0,得出m+n=2,mn=4-t,由完全平方公式得出(〃?+〃)-4mn>0f得出mn

<1,即可得出结果；

(3)证出△408是等腰直角三角形，求出/「。。=120°或60°,得出P、。两点关于y=x对称，再

分两种情况讨论，求出/的值即可.

【解析】(1)•・•当M点(x,y),若x,y满足--2y=/,/-法=.且/为常数，则称点M为“线

点”，

又丁尸1(3,1),则32-2*1=7,(1)2-2X3=-5,7W-5,

・••点P\不是线点；

2

VP2(-3,1),则(-3)2-2X1=7,1-2X(-3)=7,7=7,

工点尸2是线点，

故答案为：尸2；

(2)•・,点尸(m,〃)为“线点”，

2

则-2n=tfn-2m=t,

212

ni-2n-#+2m=0,iri-2n+n-2m=2tf

:.(ni-n)6%+〃+2)=0,

•：m乎n,

m+〃+2=0,

m^-n=-2,

2

Vm-2及+层-2m=2tf

(m+n)2-2tnn-2(/n+n)=2t,

即：(-2)2-2mn+2X2=2t,

mn=4-t,

:.(m-")2>0,

・,•加2-2/m?4-n2>0»

/.Cm+n)-4>0,

(-2)2-4mn>0,

Arnn<1,

mn=4-t,

Ar>3；

(3)设尸。直线的解析式为：y=kx+b,

则广吗兽，

=nk+b

解得：k=-I,

•・,直线PQ分别交为轴，y轴于点A、B,

，NAO"90°,

•••△A08是等腰直角三角形，

・・,|NA03-NPOQ|=30°,

AZPOg=120°或60。,

VP(m,n)fQ(〃,m),

，P、Q两点关于丁=%对称，

①若/尸。。=120°时，如图1所示：

作PC_Lx轴于C,轴于。，作直线MN_LA8.

1

：P、Q两点关于y=x对称，:.NPON=NQON="POQ=60。,

•••△AOB是等腰直角三角形，

.•./4ON=8ON=45°,

：.ZPOC=ZQOD=]5°,

在0c上截取07=P7,则NTPO=N7OP=15°,

.•./CTP=30°,

：.PT=2PC=2n,TC=W",

-m=V3n+2n,

由(2)知，m+〃=-2,

解得：m=-1—V3，M=V3-I,

由(2)知：相〃=4-t,t>3,

(-1-V3)(-1+V3)=4-f,

解得：f=6,

②若NPOQ=60°时，如图2所示，

作PD_Lx轴于D,QC_L)，轴于C,作直线

•••△408是等腰直角三角形,

:.NAON=BON=45°,

：.ZP0D^ZQ0C^]5°,

在上截取。T=FT,则N7PO=NTOP=15°,

/.ZOTP=30°,

:.PT=2PD=-2n,TD=-V3/z,

二"m=—y/3n-2rh

由(2)知，m+n=-2,

解得〃?=-1—苧，"=-1+冷,

由(2)知：mn=4-t,t>3,

(-1—)(-1+)=4-t»

解得:f=学，

10

综上所述，r的值为：6或可.

10.(2018•南通)【定义】如图1,A,8为直线/同侧的两点，过点A作直线/的对称点A',连接A'B

交直线/于点P,连接4P,则称点尸为点48关于直线/的“等角点

【运用】如图2,在平面直角坐标系X。)，中，已知A(2,V3),8(-2,-V3)两点.

V3V21

(1)C(4,—),D(4,—),E(4,-)三点中，点C是点A,B关于直线x=4的等角点；

222-----

(2)若直线/垂直于x轴，点〃)是点A,B关于直线/的等角点，其中，〃>2,ZAPB=a,求

,an

证：tan-=-；

22

(3)若点P是点A,8关于直线y="x+Z>QWO)的等角点，且点尸位于直线A8的右下方，当/APB

【分析】(1)求B点的对称点B',连AB',求直线A8'解析式，得到与直线x=4的交点即可；

(2)由对称性证明△AGPs48”p,求N4,度数，利用锐角三角形函数定义求正切值即可；

(3)构造以A8为弦，所对圆周角为60°,且圆心在48下方的圆，点尸为圆上的点，利用P点为直线

y=ax+b的等角点分情况讨论直线y=«x+8(a#0)与圆相交、相切的情况.

【解析】(1)点8关于直线x=4的对称点为8'(10,-V3),

・・・直线A8'解析式为：y=-乎％+竽，

当x=4时，y=孚.

故答案为：C：

(2)如图，过点A作直线/的对称点4',连A'B,交直线(于点P.作BHL于点H.

;点A和A'关于直线/对称，

AZAPG=ZA'PG,

；NBPH=/A'PG,

：./APG=ZBPH,

又•.•/AGP=NB，P=90°,

丛AGPs丛BHP,

AGGPvi—2V3-7i

----=-----，即-------=------尸,

BHHPm+2n+>j3

/.mn=2yj3,即m=~~~-

f

VZAPB=afAP=AP,

：.ZA=ZAf=亲

一qaPGV3—71y/3-Tln

在Rt/\AGP中，tan-=一

2AGm-2-2V3_22

n

(3)点P位于直线AB的右下方，ZAPB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周角为60°,且圆心在

AB下方，如图.

若直线y=ov+Z?(。/0)与圆相交，设圆与直线y=ax+6(a#0)的另一个交点为。.

由对称性可知：ZAPQ=ZA'PQ,

又NAPB=60°,

AZAPQ^ZA/PQ=60°,

AZABQ=ZAPQ=60°,ZAQB=ZAPB=6Q0,

：.ZBAQ=60°=ZAQB=ZABQ,

△ABQ是等边三角形.

•••线段AB为定线段，

...点Q为定点.

若直线y=ax+%(aWO)与圆相切，易得「、Q重合，

...直线y=ox+Z?(aWO)过定点Q.

连OQ,过点4、Q分别作AMJ_y轴，QNLy轴，垂足分别为M、N.

VA(2,V3),B(-2,-V3),

：.OA=OB=V7.

「△AB。是等边三角形，

AZAOQ^ZBOQ=90°,0Q=V30B=VH,

；./AOM+/NOQ=90°,

又•.•NAOM+NM4O=90°,ZNOQ=ZMAO,

VZAMO=ZONQ=90°,

：.4AMOs丛ONQ,

.AMMOAO

,•ON一NQ一OQ'

2V3V7

,■ON一NQ-421

：.ON=2V3,NQ=3,

二。点坐标为（3,-2V3）.

设直线8。解析式为)一区+6,

-V3=—2k+b

将8、

-2V3==3k+b

_旦

k=

解得《

7百'

b=

__5"

直线BQ的解析式为：y=—造x—等.

设直线AQ的解析式为：y=tnx^n,

将A、Q两点代入得«,

V—2V3=3m+n

直线AQ的解析式为：y=-3V3x+7^3.

若点P与8点重合，则直线PQ与直线8Q重合，此时，。=一等;

若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，h=7y/3.

又,.,y=ax+6(a#0),且点P位于AB右下方，

等或6>7后

11.(2017•南通)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，

两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个

三角形的“内似线”.

(1)等边三角形“内似线”的条数为3；

(2)如图，ZVIBC中，AB=AC,点。在AC上，且BO=BC=4D,求证：是△ABC的“内似线”;

(3)在RtzXABC中，/C=90°,AC=4,BC=3,E、尸分别在边AC、BC±,且EF是△ABC的"内

似线”，求EF的长.

【分析】(1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；

(2)由等腰三角形的性质得出NABC=NC=/B£>C,ZA=ZABD,证出△BCQs/vlBC,再由三角形

的外角性质证出BD平分NABC即可：

CEAC4

(3)分两种情况：①当一=­=一时，EF//AB,由勾股定理求出A3='AC2+BC?=5,作ON_L3C

CFBC3

1

于N,贝ljDN〃AC,ON是RtZXABC的内切圆半径，求出ON=(AC+BC-AB)=1,由几何平分线定

0ECE47Qc

理得出一=—=求出CE=4，证明△CEFs^CAB,得出对应边成比例求出EF=言；

DFCF3312

cpAC4or

②当77=—=彳时，同理得：EF=即可.

CEBC312

【解析】(1)解：等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下：

过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：

则△AMNS/\ABC,△CEFSMBA,丛BGHS/\BAC,

:.MN、EF、GH是等边三角形ABC的内似线”；

故答案为：3；

(2)证明：'：AB=AC,BD=BC=AD,

：.ZABC=ZC=ZBDC,ZA=ZABD,

又•:NBDC=ZA+ZABD,

：.ZABD=ZCBD,

平分NABC,

即8。过△ABC的内心，

；.8力是△ABC的