习题行列式的性质

11用行列式的性质计算下列行列式22、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：22、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：(1)34215352152809229092'-abacaebd-cddecf-ef分析】各行、列都有公因，分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行分析】各行、列都有公因，列式，于是，342153521534215100061230【解法一】c-cr-r下三角61230002809229092—2280921000—12—28092100034215352156123612361230【解法二】r-rc-c2809229092—12—2809229092—21280921000下三角6123000。-abacae-bceb-111aJrJcbd-cddedJ1radfb-cecJ1cadfbce1-11bfcf-effJ2rbc-eeJ2c11-1抽出后再行计算。解【上三角~abcdefx(-1)x22二4abcdef。(3)11111111-111111111111-1111r+r210222-1-111r+r310022-1-1-11r+r41—0002分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，解】上三角1x23=8。((2)再转置，行列式的值不变，—m((2)再转置，行列式的值不变，—mTOC\o"1-5"\h\z—22—40\o"CurrentDocument"(1)4—13531—2—32051—22—40—22—40—11—201—1—204—1352jr21—4—135C分c—221——1435【解法二】31—2—331—2—313—2—3205120510251上三角2x1x(—1)2x(—135)=—270o142341411223—22—402—2—40—14354—135—14352—2—40【解法一】31—2—3c㈠c—21—13—2—3r㈠r—21—13—2—3205102510251=—270o3、设行列式3、设行列式a求其结果：12341023410234234110341r—r21011—33412=c+C+c+c)—1234—10412r—r3102—2—2412310123r一r410—1—1—110234011—3r—3r+2r2r00—44上三角10x1x(—4)2=160o—42000—4分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：解】=m(i,j二1,2,L,5)，依下列次序对a进行变换后,ij交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。【解】(1)交换第一行与第五行，行列式变号，结果为—m((3)用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，这等于用25乘以行列式，结果为分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1列：分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1列：—mx25=—32m；(4)再用(-3)乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为-32m；(5)最后用(5)最后用4除第二行各元素即第二行有公因4,这等于用4乘以行列式,结果为—32mx-=—8m。44、用行列式的性质证明下列等式：(1(1)a+kbb+ccabc11111111a+kbb+cc=abc22222222a+kbb+ccabc33333333a+kbb+cca+kbbc111111111a+kbb+cc““a+kbbc22222c—c2222a+kbb+c23—ca+kbbc333333333证法一】左边=证法二】右边=a1a2a3b1b2b3c1c2c3+kcc—证法二】右边=a1a2a3b1b2b3c1c2c3+kcc—kc1三a+kb11a+kb22a+kb33a+kb11a+kb22a+kb33a1a2a3b1b2b3b1b2b3+c11b+c22b+c3c1c2c3c1c2c3c1c2c3=右边，=左边，证毕。证毕。a+kbb+ccab+cckbb+cc1111111111111a+kbb+cc分拆cab+cc+kbb+cc22222丿Jrv=22222222a+kbb+ccab+cckbb+cc3证法三】左边=3333333333abcacckbbckbcc111111111111abc+acc+kbbc+kbcc222222222222abcacckbbckbcc333333333333都分拆c2abcabc111111abc+0+0+0=abc222222abcabc333333=右边，证毕。=c3第2，4行列式c第3行列式c:c=k:1

y+zz+xx+yxyz(2)x+yy+zz+x=2zxyz+xx+yy+zyzxy+zz+xx+y2(x+y+z)z+xx+y【证法一】左边=x+yy+zz+xcWp)2(x+y+z)y+zz+xz+xx+yy+z12J2(x+y+z)x+yy+zxyzx+y+zyz右边=2zxy2c+(c+c)x+y+zxyyzx—123—x+y+zzx100-r22(x+y+z)0y-xz—y-r3—0y—zz一x对比即得左边=右边，证毕。y+zz+xx+yyz+xx+yzz+xx+y【证法二】左边=x+yy+zz+x分拆cxy+zz+x+yy+zz+xz+x1—x+yy+zzx+yy+zx»x+yy+zyz+xx1zxx+yyzxzxy前c-cr31xy+zz+yzz+x前c2-c3xyz+yzx后c-c-21zx+yyxyy+z后［Lzxyxyzxyzxyzxyzxyz前rjr一21yzx一yzx都rjrzxy+zxy后rjr31—zxyzxy32yzxyzxxyz=2zxy=右边，证毕。yzx5、计算下列行列式：TOC\o"1-5"\h\zxaLa/\axLa1LLLLaaLx行的行的-1倍加到以下各行，将化为上三角行列式。行的行的-1倍加到以下各行，将化为上三角行列式。XaLaaXLa【解】设LLLL为n阶行列式，则每行中I有1个X，n-1个a,于是aaLXXaaLaaXaLaaXaLaaaXLaaaXLaaLLLL=LLLLLLaaLXaaaLXaaaaLaX上三角[X+(n-l)a](x-a)«-io1-12033LLn-1n-1nn（2）-1-20Ln-1nLLLLLL-1-2-3L0n-1-2-3L-(n-1)0分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数，因此，将首行加到以下各行，将化为上三角行列式。12化为上三角行列式。123Ln-1n-103Ln-1n-1-20Ln-1n【解】LLLLLL-1-2-3L0n-1-2-3L-(n-1)0123Ln-1n026L2(n-1)2nc21003L2(n-1)2nLLLLLLLLC—n1—000Ln-12n000L0n上三角1x2x3xLx(n-1)n二n!o（3（3）1aaLa12n1a+baLa112n1aa+bLa122nLLLLL1aaLa+b12nn【分析】这是为n+1阶行列式。该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首66、解下列方程：66、解下列方程：（4）1a1a2L1a+baL1121aa+bL122LLLL1aaL12解】11L1a0110LaL2LL00，其中ah0。iLa20b2L0LLLLLan00L上三角qLb。12n【分析】为化成上三角行列式，须将气下方元素全化为0,这样就需要次第地（以一定顺序，个接一个地，将a化为-1后加到第1列。a11L11a-—11L100a1a0L0110a0L010aL0112c-c10aL0LLLLL1a221LLLLL100Lan100La0解】n111a0，将a.化为-1后加到第1列，将叫化为-1后加到第2列,y-W1a一乙一11L0i=10aia0L010aLLL2LL000L100L

an上述的n次列倍加运算也可以叠加进行：证毕。证毕。TOC\o"1-5"\h\z1123(1)2-x2(1)315解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，注意到1，2两行及3，4两行有较多的相同元素，得：1123112312-x22301-x200左边=r-r2315r-r23152319-x2—4_3-0004-x2-3-52301-x200c-2c13c-3c0015上三角—3x(1-x2)(4-x2)—23-0004-x2原方程为(1-x2)(4-x2)二0，即得4个根为x=±1,x二±2。111L1111-x1L11(2)112-xL11LLLLLL111L(n-2)-x1111L1(n-1)-x解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，将第一行的-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。111L1111-x1L11112-xL11左边=rLLLLLL111L(n-2)-x1111L1(n-1)-x上三角一x(1-x)(2—x)L[(n—3)—x][(n—2)—x],原方程为x(1—x)(2-x)L[(n-3)-x][(n-2)-x]=0,即得n-1个根为x=k,(k=0,1,2,L,n—1,n—2。)7、设n阶行列式D=det(a..)，把D上下翻转，或逆时针旋转90o,或依副对角线翻转，依次ijaLaaLaaLan1nn1nnnnn1nD—LLL，D—LLL，D—LLL123aLaaLaaLa111n11n1n111证明D=D—(—])”("T)/2D,12证明】—(—1)n(n—1)/2D1aLaaLa111nn1nnLLLTLLLaLaaLa这就是将D变换成D1n1nn111n由于把D上下翻转得到D1,翻转变换中’元素爲的列码仍为列码’顺序没变’彳丁码则由顺序123L“变成了逆序nL321。由于排列123Ln变成nL321要经过(n—1)+(n—2)+L+2+1n(n—1)n(n—1)2次对换，可知把D上下翻转得到须经过n(n—1)2次行对换，从而£—(T)n(n-1)/2D。证毕。(2)D—(—1)n(n—1)/2D，2aLaaLa111nnn1n这就是将D变换成D:2LLLTLLL，由于把D逆时针旋an1Lannan1La11转90o得到D：2旋转变换中，元素a的第一码i变成了第二码•/，都作为行码看待时，由顺序123Lnij变成为逆序nL321；而第二码J变成了第一码i，都作为列码看待时，顺序不变，由于排列123Ln变成nL321要经过(n—1)+(n—2)+L+2+1n(n—1)—次对换,n(n—1)可知把D旋转9。0得到D2，须经过^次对换，从而D2-(—1)n(n—1)/2D

(3)D=D3aLaaLa111nn1nnLLLTLLLaLaaLan1nn111n这就是将D变换成%由于把D依副对角线翻转得到%翻转变换中，元素a.的第一码i变成了第二码j,都作为行码看待时，由顺序123Ln变ij成为逆序nL321；第二码j变成了第一码i，都作为列码看待时，由顺序123Ln变成为逆序nL321，从而，把D依副对角线翻转得到从而，把D依副对角线翻转得到D2，须经过n(n-1)*n(n-1)=n(n-1)次偶数对换’从而D3=(-1)数对换’从而D3=(-1)n(n-1)D=D。证毕。248、已知255,459,527都能被17整除，不求行列式的值，证明行列式555952能被17整除。7分析】若行列式的任一项含有255，459，527这三个数之一，则行列式必能被1