北师大版2022高考总复习数学理考点演练函数的奇偶性

第四节函数的奇偶性、周期性1.(2022·海南五校联考)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A.－2B.－1C.1D.2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是()A.y＝x(x－2)B.y＝x(|x|＋2)C.y＝|x|(x－2)D.y＝x(|x|－2)3.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A.3B.0C.－1D.4.已知f(x)＝x＋x3，x1，x2、x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A.是正数B.是负数C.是零D.可能是正数也可能是负数或是零5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若当x∈(0,3)时f(x)＝2x，则当x∈(－6，－3)时，f(x)＝()A.2x＋6B.－2x＋6C.2x－6D.－26.定义在R上的函数f(x)是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于()A.－1B.0C.17.设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.8.已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝________.9.若函数f(x)具有性质：①f(x)为偶函数；②对任意x∈R，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))，则f(x)的解析式可以是______．(只写出满足条件的f(x)的一个解析式即可)10.对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1,0)对称；②若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；③若对x∈R，有f(x－1)＝－f(x)，则2是f(x)的周期；④函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝－1对称．其中正确命题的序号是______________.11.已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是增函数，a求的取值范围．12.已知函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax(a∈R)．(1)判断函数f(x)的对称性和奇偶性；(2)当a＝2时，求使g2(x)f(x)＝4x成立的x的集合；(3)若a>0，记F(x)＝g(x)－f(x)，且F(x)在(0，＋∞)有最大值，求a的取值范围．第二单元第四节考点演练1.C解析：由已知得函数y＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，因此1－a＝0，∴a＝1.2.D解析：当x＜0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2，x≥0，,x－x－2，x<0，))即f(x)＝x(|x|－2)．3.B解析：因为f(x)－1＝x3＋sinx为奇函数，又f(a)＝2，所以f(a)－1＝1，故f(－a)－1＝－f(a)＋1＝－2＋1＝－1，即f(－a)＝0.4.A解析：因为f(x)＝x＋x3是R上的单调递增函数且是奇函数，所以f(x1)>f(－x2)＝－f(x2)，f(x2)>f(－x3)＝－f(x3)，f(x3)>f(－x1)＝－f(x1)，所以f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0.5.B解析：当x∈(－6，－3)时，x＋6∈(0,3)，所以f(x＋6)＝2x＋6，又因为f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(x＋6)＝－f(x)＝2x＋6，故f(x)＝－2x＋6.6.B解析：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)以2为周期，所以f(4)＝f(2＋2)＝f(0)＝0，f(7)＝f(5)＝f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝f(1)＋0－f(1)＝0.7.－3解析：因为y＝f(x)是奇函数，f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，所以－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，所以f(1)＋f(2)＝－3.8.－x2－|x|＋1解析：设x<0，则－x>0，f(－x)＝x2＋|x|－1，因为f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋|x|－1，即f(x)＝－x2－|x|＋1.9.f(x)＝cos4x解析：对任意x∈R，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))，说明函数f(x)的图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称．10.①②③解析：f(x)是奇函数，图像关于原点对称，f(x－1)的图像可看成f(x)的图像向右平移一个单位而形成的，故关于(1,0)对称，故①正确；若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)关于直线x＝0对称，为偶函数，故②正确；f(x－2)＝f[(x－1)－1]＝－f(x－1)＝f(x)，所以2是f(x)的周期，③正确；函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，故④错误．11.(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x∈R且x≠0)，所以f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．当a≠0时，因为f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0所以f(－1)≠±f(1)，即f(x)是非奇非偶函数．(2)依题意，f′(x)＝2x－eq\f(a,x2)＝eq\f(2x3－a,x2)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即2x3－a≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，所以只要(2x3－a)min＝16－a≥0，所以a≤16.所以a的取值范围是(－∞，16]．12.(1)由函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a，x≥a，,－x＋a，x<a，))可知函数f(x)的图像关于直线x＝a对称；当a＝0时，函数f(x)＝|x|是一个偶函数；当a≠0时，取特值，f(a)＝0，f(－a)＝2|a|≠0，故函数f(x)＝|x－a|是非奇非偶函数．(2)由题意得x2|x－2|＝x，得x＝0或x|x－2|＝1，解得x＝0或x＝1或x＝1＋eq\r(2)，故所求的集合为{0,1,1＋eq\r(2)}．(3)对于a>0，F(x)＝g(x)－f(x)＝ax－|x－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1x－a，0<x<a.,a－1x＋a，x≥a.))若a>1，F(