中考数学一轮复习专题-勾股定理的实际应用

第=page11页，共=sectionpages11页中考数学一轮复习专题-勾股定理的实际应用解答题（本大题共25小题）1.如图所示，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(点A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC=3千米，CH=2.4千米，BH=1.8千米．

(1)CH是不是从村庄C到河边的最短路线？请通过计算加以说明；

(2)求原来的路线AC的长．2.如图，在离水面高度为5米的岸上(AC=5米)，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以每秒0.5米的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，则船向岸边移动的距离BD为多少米?(假设绳子是直的，结果保留根号)

3.如图是某旅游景点正在打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小李，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米.(1)小敏通过目测猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；(2)为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE=3米，工程部安排买进20米钢索，请你计算并判断买进的钢索够不够用？4.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

(1)求∠ACB的度数;(2)海港C受台风影响吗?为什么?(3)若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE=CF=250km，则台风影响该海港持续的时间有多长?5.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．

(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

6.如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线A→C→B行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10 km，∠A=30°，∠B=45°.则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？7.在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离(A,B之间有水池，无法直接测量).智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD=CD=10m，∠D=90°，BC=40m，∠DCB=135°.请你根据上述数据求出A，B之间的距离．8.如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部(B)着地，离旗杆底部(A)4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？9.一根直立于水中的芦苇(BD)高出水面(AD)2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC=6米.水的深度(AB)为多少米?10.如图，A，B两个居民点在公路的同侧，A，B两居民点到公路的距离分别为AC=2千米，BD=6千米，C，D两点的距离是6千米.现要在公路边建一个水厂，向A，B两居民点供水。(1)求铺设水管的最短长度是多少千米；(2)铺设水管的工程由甲施工队按(1)题中所求最短长度负责铺设。当甲工程队铺设完4千米的水管后，因使用了新技术和新设备使每天的工作效率比原来提高了50%，结果比原计划提前2天完工，求甲施工队原来每天铺设管道多少千米。11.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．12.在一条南北向的海岸边建有一港口O，A、B两支舰队从O点出发，分别前往不同的方向进行海上巡查，已知A舰队以15海里/小时的速度向北偏东40°方向行驶，B舰队以8海里/小时的速度向另一个方向行驶，2小时后，A、B两支舰队相距34海里，你知道B舰队是往什么方向行驶的吗？13.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．14.有一条笔直公路l上有A、B两个停靠站，公路旁有一块山地C正在开发，现在C处时常需要爆破作业．如图，已知A、B两站相距2km，且∠ABC=30∘，∠BAC=60∘，为了安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路15.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC的长．16.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，距沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30∘方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响.试问：

(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．

(2)若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？17.如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明从P处沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离(结果精确到0.1米).(参考数据：2≈1.414，318.如图所示，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离．19.如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90∘，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．

(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；

(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？20.如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC=8，求这棵树在离地面多高处被折断(即求AC的长度)？

21.在一条绳子下端系着一艘小船．其示意图如图所示，其中CD为靠水一侧的河岸，垂直于水面．小明在河岸上拽着绳子上端向后退，绳端从点C水平移动到点E，同时小船从A移动到B，AB平行于水面，延长AB交CD于点F，绳长始终保持不变．回答下列问题：(1)AC________BC+CE(填“>”“<”或“=”)；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=8米，求小明向后移动的距离．(结果保留根号)22.一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100

km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．(1)若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．(2)C岛在A港的什么方向？23.如图，铁路MN与公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=400米，火车行驶时，周围250米以内会受到噪音的影响，火车在铁路MN上以每秒50米的速度沿ON方向行驶时．(1)求居民楼A到铁路MN的距离；(2)判断居民楼A是否会受到这列火车噪音的影响？如果会，请求出影响的时间;如果不会，请说明理由．24.如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB=CD=4m，BC=9m，AD=7m.为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求需要绿化的空地ABCD的面积；(2)为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．25.如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5米，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10米处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为x米．

(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为

米；

(2)求这棵树高有多少米?

答案和解析1.【答案】解：(1)是，

理由是：在△CHB中，CH2+BH2=2.42+1.82=9，BC2=9，

∴CH2+BH2=BC2，

∴CH⊥AB，

所以CH是从村庄C到河边的最短路线；

(2)设AC=x，

在Rt△ACH中，由已知得AC=x【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；

(2)根据勾股定理解答即可．

此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．

2.【答案】解：在Rt△ABC中：

∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，

∴AB=132−52=12(米)，

∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，

∴CD=13−0.5×10=8(米)，

∴AD=CD2−AC【解析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．

此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

3.【答案】解：(1)不正确，理由如下：

由题意得：AG=CD=1米，GC=AD=15米，

设BG=x米，则BC=(26−1−x)米，

在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2=CB2，

即x2+152=(26−1−x)2，

解得：x=8，

∴BG=8米，

∴AB=BG+GA=9(米)，

∴小敏的猜想不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．

(2)由题意得：CF=DE=3米，

∴GF=GC+CF=18(米)，【解析】(1)设BG=x米，则BC=(26−1−x)米，在Rt△BGC中，由勾股定理得x2+152=(26−1−x)2，解得x=8，则AB=BG+GA=9(米)，即可得出结论；

(2)由题意得CF=DE=3米，则GF=GC+CF=18(米)，在Rt△BGF中，再由勾股定理求出4.【答案】解：(1)∵AC=300km，BC=400km，AB=500km．

∴AC2+BC2=AB2.

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB=90°．

(2)海港C受台风影响，

理由：过点C作CD⊥AB，

∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，△ABC是直角三角形．

∴12×AC×BC=12×CD×AB．

∴300×400=500×CD．

∴CD=240km，

∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，

∴海港C受台风影响．

(3)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口．

∵ED2=EC2−CD2=4900，

∴ED=70km，

FD2【解析】

本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．

(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．

(2)利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响.

(3)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．

5.【答案】解：(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，

因为160<200，所以A城要受台风影响；

(2)在BF上取点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．

因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，

因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，

在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，

由勾股定理得，CD=120千米，

则DG=2DC=240千米，

遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6(小时)．

【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，正确运用勾股定理是解题关键．

(1)根据垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC>200，则A城不受影响，否则受影响；

(2)点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．

6.【答案】解：作CD⊥AB于点D．

在Rt△ACD中，∵∠A= 30°，

∴CD=12AC=5 km，

∴AD=102−52=53(km)．

∵∠B=45°，

∴BD=CD=5 km，BC=52+52=5【解析】略

7.【答案】解：连接AC．

在△ADC中，∠D=90°，DC=AD=10m，

∴∠ACD=∠CAD=12(180°−∠D)=45°，

由勾股定理得AC=AD2+CD2=102+102=102(m)，

∵∠BCD=135°，∴∠ACB=∠BCD−∠ACD=135°−45°=90°．

在【解析】连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理求得答案即可．

考查了勾股定理的应用，解题的关键是了解如何构造直角三角形，难度不大．

8.【答案】解：由题意可知：AC+BC=8米，

∵∠A=90°，

∴AB2+AC2=BC2，BC=8−AC，

又∵AB=4米，

∴42+AC2=(8−AC)2，

∴AC=3米，BC=5米，

【解析】本题考查了勾股定理的应用．由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，所以可求得AC，BC的长，易求D点距地面3−1.25=1.759.【答案】解：设水深为x，则AB=x米，BC=(x+2)米，

∵AC=6米，

在△ABC中，AB2+AC2=BC2，

即62+x2【解析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．先设水深为x，则AB=x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．

10.【答案】(1)如图

延长AC到点M，使CM=AC;连接BM交CD

于点P，点P就是所选择的位置;

在Rt△BMN中，

BN=6+2=8，MN=6，

∴MB=MN2+BN2=10(km)，

∴铺设水管的最短距离AP+BP=MB=10km．

(2)设甲施工队原来每天铺设管道x千米。

根据题意得：10−4x−10−4(1+50％)x=2

【解析】此题主要考查线路最短问题及分式方程的应用．

(1)先画出图形，再利用勾股定理计算即可．

(2)设甲施工队原来每天铺设管道x千米，根据题意列方程求解并检验即可．

11.【答案】解：由题意可得出：BD=10m，BC=16−10=6m，

设AD=xm，则AC=(16−x)m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

即(10+x)2+62=(16−x)2【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，得出关于x的等式方程是解题关键．

根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．

12.【答案】解：如图所示：

由题意可得：OA=30海里，OB=16海里，AB=34海里，

∵302+162=342，

∴AO2+BO2=AB2，

∴△AOB是直角三角形，

∵A舰队以15海里/【解析】此题主要考查了勾股定定理的应用以及方向角，正确分类讨论是解题关键．直接利用勾股定理逆定理结合方向角分析得出答案．

13.【答案】解：分为三种情况：(1)如图 ①，连结EC，在Rt△EBC中，EB=12+8=20(cm)，BC=12(2)如图 ②，连结EC.根据勾股定理同理可求CE=(3)如图 ③，连结EC.根据勾股定理同理可求CE=12综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm．

14.【答案】解：如图，作CD⊥AB交AB于D点，

∵∠ABC=30°，∠BAC=60°，

∴∠C=90°，

在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=30°，

∴AC=1km，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC=AB2−AC2=3(km)，

又∵在Rt△BCD中，∠DBC=30°，

∴CD=12BC=3【解析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于500米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和500米比较大小即可判断需要暂时封锁．

本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

15.【答案】解：(1)是，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2=(2.4)2+(1.8)2=9，

BC2=9，

∴CH2+BH2=BC2，

∴CH⊥AB，

所以CH是从村庄C到河边的最近路；

(2)设AC=x，

在Rt△ACH中，由已知得AC=x【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；

(2)根据勾股定理解答即可．

此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．

16.【答案】解：(1)该城市会受到这次台风的影响．

理由是：如图，过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，

∵∠ABD=30°，AB=240千米，

∴AD=12AB=120(千米)，

∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，

∴受台风影响范围的半径为25×(12−4)=200(千米)．

∵120千米<200千米，

∴该城市会受到这次台风的影响；

(2)如图，以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．

则AE=AF=200千米．

∴台风影响该市持续的路程为：EF2=(2DE)2=42002−1202=3202．

∴EF=320(千米)

∴【解析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．

(1)求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，求得AD；再求出台风影响范围的半径即可得结论．

(2)受台风影响时，应该是以A为圆心，以台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF的长，可通过在直角三角形AED中，根据勾股定理求得DE，由此即可解．

(3)风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出是几级风．

17.【答案】解：由题意可知：

∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=90°−60°=30°，∠BPC=45°．

在Rt△BPC中，

∵∠BCP=90°，∠B=∠BPC=45°，

∴BC=PC=60米．

在Rt△ACP中，

∵∠ACP=90°，∠APC=30°，

∴AP=2AC，

∵AC2+PC2=AP2，

∴AC2+602=(2AC)2，

∴AC=203(【解析】本题考查了方向角的概念，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．

由已知可得∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°，PC=60m，先求出AC和BC的长再求出AB的长即可．

18.【答案】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点Aʹ，连接AʹB，作AʹD⊥BD交BD的延长线于点D，

则AʹB的长即为最短距离，

∵A′D=12×24=12cm，DB=18−4+2=16cm，

∴A′B=A′D2+BD2

19.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7，根据勾股定理得AC2=AB2答：此时梯子的顶端A距地面的高度是2.4米；(2)∵在Rt△A′B′C中，A′C=AC−AA′=2.4−0.9=1.5(米)，A′B′=2.5(米)，∴B′C2=A′B′2∴B′B=B′C−BC=2−0.7=1.3(米)，∴梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了1.3米．

【解析】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．(1)在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长即可；

(2)由(1)可以得出梯子的初始高度，下滑0.9米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端原来距离墙的距离为0.7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．

20.【答案】解：∵AC+AB=16米，

∴AB=(16−AC)米，

∵BC=8米，∠ACB=90°，AC2+BC2=AB2，

∴AC2【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．

由题意得，在直角三角形中，运用勾股定理列式计算即可解答．

21.【答案】解：(1)=；

(2)连接AB，如图所示：

则点A、B、F三点共线，

在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC=AF2+CF2=122+52=13(米)，

∵BF=AF−AB=12−8=4(米)，

在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC=CF2+BF2=52+4【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．

(1)由绳长始终保持不变即可求解；

(2)由勾股定理求出AC、BC的长，即可解决问题．

【解答】

解：(1)∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，

∴AC=BC+CE，

故答案为：=；

(2)见