三角形单元有限元

结构有限元法第1章 三角形常应变单元的有限元法第2章有限元程序设计与分析软件第3章平面问题高阶单元的有限元法第4章空间实体的有限元法第5章杆系结构的有限元法第6章板壳问题的有限元法第7章结构动力问题的有限元法？第8章弹塑性问题的有限元法结构有限元分析

第1章三角形单元的有限元法1.1有限元法的基本思想

有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵分析，其基本思想是用有限个离散单元的集合体代替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。它避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建立和求解偏微分方程），使大型、复杂结构的计算容易地在计算机上完成，应用十分广泛。ANSYS,SAP2K把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。○○①②③④⑤⑥⑦⑧12345678910P576⑤④456③345⑥678①②⑦⑧弹性悬臂板剖分与集合单元、节点需编号有限元法主要优点：（1）概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析）（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题）（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。1.1.1有限元法的分析步骤

（1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。l/2l/2P123①②1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4单元的节点上有位移和力F（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4l/2l/2P123①②1.1.2有限元法分析思路流程解综合方程[K]{⊿}={P}求结构节点位移{⊿}计算结构内力和应力系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]形成等价节点荷载{P})离散（剖分）结构为若干单元单元分析(建立单元刚度矩阵[k]e形成单元等价节点力)（1-1）2、单元内任意点的体积力列阵qV（1-2）1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qsijmxyijmxyqV·qs·1.2基本力学量矩阵表示图1-1ijmxy·uv3、单元内任意点的位移列阵f（1-3）4、单元内任意点的应变列阵（1-4）ijmxy·5、单元元内任意意点的应应力列阵阵（1-5）6、几何方程程（1-6）将上式代代入式(1-4），ijmxy·（1-4）7、物理理方程矩矩阵式（1-7）式中E、、——弹性模量量、泊松松比。上式可简简写为（1-8）其中对于弹性性力学的的平面应应力问题题，物理方程程的矩阵形形式可表表示为：：(1-9）矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）中的E换为，换为。(1-8）各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描述。但结构类型不同，力学性态(应力分量、应变分量)有区别，弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。1.3位位移移函数和和形函数数1、位移函函数概念念由于有限限元法采采用能量量原理进进行单元元分析，，因而必必须事先先设定位位移函数数。““位移函函数”也也称““位移模模式”，，是单元内部部位移变变化的数数学表达达式，设设为坐标标的函数数。一般而论论，位移移函数选选取会影影响甚至至严重影影响计算算结果的的精度。。在弹性性力学中中，恰当当选取位位移函数数不是一一件容易易的事情情；但在有限元元中，当当单元划划分得足足够小时时，把位位移函数数设定为为简单的的多项式式就可以以获得相相当好的的精确度度。这正是有有限单元元法具有有的重要要优势之之一。不同类型型结构会会有不同同的位移移函数。。这里，，仍以平平面问题题三角形形单元（（图1-2）为为例，说说明设定定位移函函数的有有关问题题。图1-2是一个个三节点点三角形形单元，，其节点点i、j、m按逆时针方向排列列。每个个节点位位移在单单元平面面内有两两个分量量：（1-10）一个三角角形单元元有3个个节点（（以i、j、m为序），共共有6个个节点位位移分量量。其单元位移移或单元元节点位位移列阵阵为：图1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移移函数设设定本问题选选位移函函数（单单元中任任意一点点的位移移与节点点位移的的关系））为简单单多项式式：(1-12）式中：a1、a2、…、a6——待定定常数，，由单元元位移的的6个分量量确定。。a1、、a4代代表刚体体位移，，a2、、a3、、a5、a6代代表单单元中的的常应变变，而且且，位移移函数是是连续函函数。(1-11）ijmuiujumvivjvmxy·uv选取位移移函数应应考虑的的问题（1）位移函数数的个数数等于单元中任任意一点点的位移移分量个个数。本本单元中中有u和v，与此相相应，有有2个位位移函数数；（3）位移函数数中待定定常数个个数待定常数数个数应应等于单元节点点自由度度总数，以便用用单元节节点位移移确定位位移函数数中的待待定常数数。本单单元有6个节点点自由度度，两个个位移函函数中共共包含6个待定定常数。。（2）位移函数数是坐标标的函数数本单元的的坐标系系为：x、y；（4）位移函数数中必须须包含单单元的刚刚体位移移。（5）位移函数数中必须须包含单单元的常常应变。。（6）位移函数数在单元元内要连连续。相相邻单元元间要尽尽量协调。。条件（4）、（（5）构构成单元元的完备性准则。条件（6）是单单元的位位移协调性条件。理论和实实践都已已证明，，完备性性准则是是有限元元解收敛敛于真实实解的必必要条件件。单元元的位移移协调条条件构成成有限元元解收敛敛于真实实解的充充分条件件。容易证明明，三角角形三节节点常应应变单元元满足以以上必要要与充分分条件。。（7）位移函数数的形式式一般选为为完全多多项式。。为实现现（4））—（6）的要要求，根根据Pascal三角角形由低低阶到高高阶按顺顺序、对对称地选选取；多多项式的的项数等等于（或或稍大于于）单元元节点自自由度数数。例：平面面应力矩矩形板被被划分为为若干三三角形单单元。位移函数中包含了单元的常应变。

(a2,a6,a3+a5)

位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)③④254136①②对任一单单元，如如③单元元，取位位移函数数：①、②、、③、④④单元的的位移函函数都是是可以看出出：位移函数数在单元元内是连连续的；；以③、④④的边界界26为为例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2两条直线线上有两两个点重重合，此此两条直直线必全全重合。。位移函数在单元之之间的边界上也连连续吗？是。3、形函数形函数是用单元节节点位移分量来描描述位移函数的插插值函数。(1-13）（1）形函数确定定现在，通过单元节节点位移确定位移移函数中的待定常常数a1、a2、…、a6。设节点i、j、m的坐标分别为（xi、yi）、（xj、yj）、（xm、ym），节点位移分别别为（ui、vi）、（（uj、vj）、（um、vm）。将它们代入式式（1-12），，有从式(1-13））左边3个方程中中解出待定系数a1、a2、a3为(1-14）式中，A为三角形单元元的面积，有(1-15）特别指出：为使求得面积的值值为正值，本单元元节点号的次序必必须是逆时针转向，如图所示。。至于将哪个节点点作为起始节点i，则没有关系。将式(1-14））代入式(1-12）的第一式，，整理后得同理ijmxy（2）（1）（7）(1-16）式中(1-17）

ijm式(1-17）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮换下标，可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出现类似情况时，照此推理。式(1-17）表明：aj、bj、cj～am、bm、cm是单元三个节点坐标的函数。(1-16）令(1-18）

位移模式(1-16）可以简写为为(1-19）

式(1-19）中中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反反应了单元的位移移形态，称为单元元位移函数的形函函数。数学上它反反应了节点位移对对单元内任一点位位移的插值，又称称插值函数。(1-16）用形函数把式(1-16）写成矩矩阵，有缩写为(1-20）形函数是有限单元元法中的一个重要要函数，它具有以以下性质：[N]为形函数矩矩阵，写成分块形形式：(1-21）其中子矩阵(1-22）[I]是2×2的的单位矩阵。（2）形函数性质质性质1形函数Ni在节点i上的值等于1，在在其它节点上的值等于0。对对于本单元，有（i、j、m）性质2在单元中任一点，，所有形函数之和和等于1。对于本单元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm图1-3？？？xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1图1-4也可利用行列式代代数余子式与某行行或列元素乘积的的性质（等于行列列式值或0）证明明。性质3在三角形单元的边边界ij上任一点（x，y），有xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证图1-5（1）性质4形形函数在单元上的的面积分和在边界界上的线积分公式式为(1-23）式中为边的长度。1.4单元元应变和应力根据几何方程(1-6）和位移函函数(1-16））可以求得单元应应变。1、单元应变(1-6）对位移函数（式(1-16））(1-24）(1-16）求导后代入式(1-6），得到应应变和节点位移的的关系式。上式简写一般式：：(1-25）式中，[B]——单元应应变矩阵。对本问题，维数为为3×6。它的分分块形式为：子矩阵(1-26）由于与x、y无关，都是常量，因此[B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。2、单元应力将式(1-25））代入物理方程式式(1-8），得得单元应力(1-27）也可写为(1-28）其中：[S]称为为单元应力矩阵，并有(1-29）这里，[D]是3×3矩阵，[B]是3×6矩阵阵，因此[S]也也是3×6矩阵。。它可写为分块形形式(1-30）将弹性矩阵（式(1-9））和和应变矩阵（式(1-26））代代入，得子矩阵[Si]由式(1-29））(1-31）式(1-31）是平面应力的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成，换成即得。(1-32）由于同一单元中的的[D]、[B]矩阵都是常数矩矩阵，所以[S]矩阵也是常数矩矩阵。也就是说，，三角形三节点单单元内的应力分量量也是常量。当然，相邻单元的的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同同，因而具有不同同的应力，这就造造成在相邻单元的的公共边上存在着着应力突变现象。但是随着网格的的细分，这种突变变将会迅速减小，，收敛于平衡被满满足。1.5单元平平衡方程1、单元应变能能对于平面应力问题题中的三角形单元元，设单元厚度为为h。将式(1-25））和(1-8）代代入上式进行矩阵阵运算，并注意到到弹性矩阵[D]的对称性，有应变能U为ijmxyh(1-25)(1-8）由于和T是常量，提到积分分号外，上式可写写成引入矩阵符号[k]，且有(1-33a）式(1-33a））是针对平面问题题三角形单元推出出的。注意到其中中hdxdy的实质是任意的微微体积dv，于是是得计算[k]的的一般式。(1-33）式(1-33）不不仅适合于平面问问题三角形单元，，也是计算各种类类型单元[k]的的一般式。dv1.6节中将明确确[k]的力学意意义是单元刚度矩矩阵。式(1-33）便是计算单单元刚度矩阵的基基本矩阵式。它适适合于各种类型的的单元。单元应变能写成(1-34）2、单元外力势势能单元受到的外力一一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力力范畴。表面力指指作用在单元表面面的分布载荷，如如风力、压力，以以及相邻单元互相相作用的内力等。。(1-33）（1）体积力力势能单位体积中的体积积力如式(1-35））所示。单元上体积力具有有的势能Vv为(1-35）ijmxy·qVxqVyijmxy·uv注意到式(1-20）有(1-20）（2）表面力力势能面积力虽然包括单单元之间公共边上上互相作用的分布布力，但它们属于于结构内力，成对对出现，集合时互互相抵消，在结构构整体分析时可以以不加考虑，因此此单元分析时也就就不予考虑。现在，只考虑弹性性体边界上的表面面力，它只在部分分单元上形成表面面力（右下图）。。设边界面上单位面积积受到的表面力如下式：l—单元边界界长度h—单元厚度度A—表面力力作用面积积①②③④qsqs沿厚度均均匀分布，，则单元表面面力的势能能Vs为（3）集集中力势势能当结构受到到集中力时时，通常在在划分单元元网格时就就把集中力力的作用点点设置为节节点。于是是单元集中中力Pc的势能Vc为p①②③④③③p/2C（4）总势能把(1-35）式中中原括符内内的部分用用列阵Fd代替，综合以上诸诸式，单元元外力的总总势能V为为(1-35）Fd具有和相同同的行、列列数。则(1-36）由单元的应应变能U(1-34）和外力力势能V(1-36），可得得单元的总总势能(1-37）将式(1-37）代代入，根据弹性力力学最小势势能原理：：结构处于于稳定平衡的必要和充充分条件是是总势能有极极小值。3、单元平平衡方程于是有，(1-34）(1-36）式(1-38）是从从能量原理理导出的单单元平衡方方程。这个个方程表达达了单元力力与单元位位移之间的的关系。其其中，Fd和单元节节点力F具有相相同的意义义。(1-38）即得单元平平衡方程1.6单单元刚度度矩阵平衡方程(1-38）中的矩矩阵[k]是单元力力和单元位位移关系间间的系数矩矩阵，代表表了单元的的刚度特性性，称为单单元刚度矩矩阵。单元元刚度矩阵阵的体积为为nj×nj，nj是单元位移移总数。其其一般计算算公式为：：1、一般计计算公式它与单元应应变矩阵[B]和弹弹性矩阵[D]有关关。(1-33）对于平面应应力三角形形单元，应应变矩阵[B]是常常数矩阵，，同时弹性性矩阵[D]也是常常数矩阵，，于是式(1-33）可以化化简为式中A表示示三角形单单元的面积积。h是单单元厚度。。2、平面问问题三角形形单元刚度度矩阵（1）平面面应力三角角形单元(1-39）将式(1-9）和(1-26）代入上上式，即得平面应应力三角形形单元刚度度矩阵。写写成分块形形式，有(1-40）(1-9）(1-26）式(1-40)中子子矩阵[krs]为2×2矩阵，有有(1-41）（2）平面面应变三角角形单元对于平面应变问题，须将上式中的E换为，换为，于是有，组合见式(1-40）其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式式(1-16）中的的系数(式式2-17)。(1-42）平面问题的的单元刚度度矩阵[k]不随单单元（或坐坐标轴）的的平行移动动或作n角度（n为整数）的的转动而改改变。由公式(1-41））、(1-42）知知，[krs]矩阵和其其中的br、cr、bs、cs（r、s=i、j、m）有关。①单元元平移时，，bi、ci不变。，组合见式(1-40）(3)三三角形单元元刚度矩阵阵与坐标系系无关ijmxyo②单元元转动时，，bi、ci不变。当单元旋转转时，各节节点的编号号保持不变变。如图1-7所示示，图a所所示的单元元旋转时，到达图图b所示位位置。(1-17）

ijmyjymijm图1-7xyo(b)xyo(a)jim可以证明，，这两种情情形的[k]是相同同的。其实，推演演公式(1-40））、(1-41）、、(1-42）时并并没有规定定坐标系的的方位，当当坐标系旋旋转任意角角度时，也也不影响刚刚度矩阵的的结果。因因此，平面问题的的单元刚度度矩阵可以以认为是结结构坐标系系中的单元元刚度矩阵阵，没有坐坐标变换问问题。(1-38）（1）单元元刚度矩阵阵中每个元元素有明确确的物理意意义例如，kij表示单元第第j个自由度产产生单位位位移(j=1)，其他自由度度固定（=0）时，，在第i个自由度产产生的节点点力Fi。主对角线上上元素kii(i=1,nj)恒为正值值。3、单元刚刚度矩阵性性质（2）[k]的每一一行或每一一列元素之之和为零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11以上式中第第i行为例，当所有节点点沿x向或y向都产生单位位位移时，，单元作平动动运动，无无应变，也也无应力。。则有：即：[k]的每一行行元素之和和为零。根根据对称性性，每一列列元素之和和也为零。。rstxy图1-6（3）[k]是对称称矩阵由[k]各元元素的表达式，，可知[k]具有对对称性。njnj对于主对角角线元素对对称。对称称表达式：：kij=kji证明①kij表示当单元元位移中第第j个元素为1(j=1)其余元素为为零时，引引起的单元元力中的第第i个节点力Fi②kji表示当单元元位移中第第i个元素为1(i=1)其余元素为为零时，引引起的单元元力中的第第j个节点力Fj第i自由度第j自由度位移i=1j=1力Fi=kijFj=kji虚功Fi

i=kijFj

j=kji由虚功原理理，得kij=kji（4）单元元刚度矩阵阵是奇异矩矩阵即[k]的的行列式为为零（由行行列式性质质）。单元刚度矩矩阵是在单单元处于平平衡状态的的前提下得得出的。单单元作为分分离体看待待，作用在在它上面的的外力（单单元力）必必定是平衡衡力系。然然而，研究究单元平衡衡时没有引引入约束。。承受平衡力力系作用的的无约束单单元，其变变形是确定定的，但位位移不是确确定的。所以出现性性质（3））中的“平平动问题””，即单元元可以发生生任意的刚刚体运动。。从数学上上讲，方程程(1-28）的解解不是唯一一的或不能能确定的。。由此，单单元刚度矩矩阵一定是是奇异的。。（5）单元元刚度矩阵阵是常量矩矩阵单元力和单单元位移成成线性关系系是基于弹弹性理论的的结果。4、例：平平面应力直直角三角形形单元刚度度矩阵图1-8示示出一平面面应力直角角三角形单单元，直角角边长分别别为a、b，厚度为为h，弹性性模量为E，泊松比比为，计算单元元刚度矩阵阵。图1-8ijmabxy第一步：计计算bi、ci和单元面积A。图1-8（1-17）

ijmabxyXi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表2-1单单元节点坐坐标和bi、ci值（i、j、m）参数节点单元面积:A=ab/2①计算算步骤第二步：求求子矩阵由式(1-41），，算得其他从略。。第三步：形形成[k]将[kii]等按式(1-40）组集成成[k]。。(1-43a）2i-12i2j-12j2m-12m2i-12i2j-12j2m-12m红色号码是单元位移移（1、2、…）在结结构中对应应的节点位位移的序号号。ijmijmi、j、m表示单元中中3个节点点在结构系系统中的编编号。当a=b时时，即等腰腰直角三角角形单元，，有(1-43b）ijmijm1.7等等价节节点力从前面单元元分析可以以看出：单单元平衡所所用到的的的量均要属属于节点的的量，如单单元位移、、单元力。。载荷亦应应如此，必必须将体积积力、表面面力转化到到节点上去去，成为等等价节点力力（载荷））。在第2.5节中中已经得到到了公式(1-35）和(1-36））。这里，Fd就是体积积力、表面面力和集中中力之和的的总等价节节点力。(1-35）(1-36）(1-44）把总等价节节点力Fd分解成体积积力、表面面力和集中中力的等价价节点力之之和，有FV——单元元上体积力力的等价节节点力FS——单元元上表面力力的等价节节点力pC——单元元上节点上上的集中力力注意到式(1-35），得体体积力等价价节点力计计算公式：：表面力的等等价节点力力计算公式式：(1-45）(1-46）1、体积力力的等价节节点力2、表面力力的等价节节点力3、等价节节点力计算算举例（1）单元元自重图1-9所所示平面应应力三角形形单元，单单元厚度为为h。单元元单位体积积自重为，自重指向向y轴的负负方向。PvixPviyPvjxPvjyPvmxPvmy(1-45）①计计算式(1-21）图1-9xyijm-注意到形函函数的性质质4：(1-23）得自重荷载载的等价节节点力(1-22）（i,j,m）根据体积力力和式(1-45））、(1-21）、、(1-22），得得(1-47）上式表明：：自重载荷荷的等价节节点力为单单元重量的的1/3。。（2）均布布面力ijm图1-10xyqs单元边界上上作用了均均匀的分布布力，如图图1-10所示，其其集度为qs。(1-46）(1-21）根据式(1-46））、(1-21）和和(1-22）①计计算式注意到形函函数性质4：(1-23）得(1-48）(1-22）均匀分布力力的等价节节点力为式(1-48）表明明：在ij边上受均均布面力的的平面问题题三角形单单元，其等等价节点力力等于将均均布面力合合力之半简简单地简化化到i、j节点上，方方向与分布布力方向相相同。m节节点上为零零。(1-48）ijmxyqsxFs1Fs3ijmxyqsyFs2Fs4（3）线性性分布面力力ijm图1-11xys表面力集度在i点为[qsxqsy]T，而在j点为0。设坐标轴s的原点取在j点，沿ji为正向，。ij边上任一点点的面力集集度qssqsiqsijm图1-12xysl在ij边上有：将qs和上式代入入式(1-46），，有由形函数的的性质3：：(1-49）式(1-49）表明明：ij边边受线性分分布面力：：i点为[qsx,qsy]T，j点为0时，其等价价节点力可可将总载荷荷的2/3分配给i点，1/3分配给给j点，m点为零得得出。xyijmqsiqs体积力和表表面力向节节点的移置置符合静力力等效原理理的前提条条件是：线线性位移模模式。1.7系系统分析析1.7.1坐坐标系研究各离散散单元集合合成整体结结构，集合合整体结构构的平衡和和变形协调调，建立整整体结构平平衡方程。。单元分析析时采用用的坐标标系成为为局部坐坐标或单单元坐标标（单元元刚度矩矩阵的通通用性））。而结结构系统统分析时时，必须须在统一一的坐标标系内进进行（各各力学量量才能叠叠加），，称为“结结构坐标标”或““整体坐坐标”，如图1-13所示。。单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为：XYXYP○○○○○P图（1-13）(a)平面桁架(杆件单元)悬臂深梁(平面三角形单元)xyxyxyxy如何从单单元坐标标转化为为结构坐坐标将在在第4章章中讨论论。1.7.2整整体刚刚度矩阵阵假设整体体结构被被划分为为ne个单元和和n个节节点，在在整体坐坐标系下下，对于于每个单单元均有有：将上述这这些方程程集合起起来（整整体坐标标下叠加加），便便可得到到整个结结构的平平衡方程程。为此此，需要要将[k]、{δ}、{F}体积积膨胀，，分别扩扩大为n1×n1、n1×1和n1×1的矩阵才才能相加加。膨胀胀后，原原有节点点号对应应位置的的元素不不变，而而其它元元素均为为零。组装方法法：建立一个个体积为为n1××n1的的方阵，，按单元元序号依依次把结结构坐标标单元刚刚度矩阵阵的元素素放入该该方阵中中。放入方法法：（1）按按单元节节点编码码对号入座座；（（2））同位置元元素累加加。式中：[K]为为整体刚刚度矩阵阵，{Δ}为整体体节点位位移列阵阵；{P}为整整体等价价节点荷荷载列阵阵。如下下：（1-50）ijmijm例：平面面三角单单元双行双列列1.7.3结结构构刚度矩矩阵特性性1、结构构刚度矩矩阵元素素的力学学意义把方程(1-50）写写开，=1=0=0=0=0=0(1-51）2、结构构刚度矩矩阵是对对称矩阵阵已知单元元刚度矩矩阵是对对称矩阵阵（1.7节）），用单单元刚度度矩阵组组集结构刚度度矩阵的的过程又没没有破坏坏其对称性性，结构构刚度矩阵阵必然也也是对称的的。当然然，对称性也也可以通通过虚功原原理得到到证明。。结构刚度度矩阵中中的任一一元素kij是j为单位位位移（j=1），其它位位移为零零时的Pi。3、结构构刚度矩矩阵主对对角线上上的元素素恒为正正值由性质(1)可可知，任任一主对对角线上上元素kii是使节点点位移i为一单位位位移，，其它节节点位移移为零时时必须在在第i号位移方方向施加加的力Pi。它的方方向自然然应与位位移方向向相同，，因而是是正值。。4、结构构刚度矩矩阵是一一个稀疏疏矩阵稀疏矩阵阵指：存存在大量量零元素素。非零零元素稀稀疏排列列。矩阵的每每一列都都有很多多零元素素。考察察矩阵中中第j列。再分析图图（1-14））。设节节点b发发生单位位位移j=1，其其它位移移为零时时，j只能在与与点节b有直接接联系的的q、、r节点引引起节点点力，不不能在其它节节点引起起节点力。所以以式（1-52）中，只有有和q、、p、r、b节点位位移的相相关元素素才不为零零，其余余的元素素都是零元元素。任一元素素kij是j=1（其其它=0）引引起的Pi（i=1、2…）（1-52）j=1t图（1-14）pqrscbb其它各列列的情况况也是类类似的。。结构的节节点总数数通常都都比直接接环绕于于任何一一个节点点的节点点数大得得多，因因而，结结构刚度度矩阵中中很大一一部分元元素是零零，即所所谓的稀稀疏矩阵阵。5、结构构刚度矩矩阵是一一个奇异异矩阵从单元刚刚度矩阵阵的奇异异性讨论论中知，，处于静力力平衡状状态的无无约束单单元可以以发生任任意的刚刚体位移移。与单元元刚度矩矩阵是奇奇异矩阵阵的理由由一样，，无约束束结构的的结构刚刚度矩阵阵[K]也是奇奇异矩阵阵，即[K]的的行列式式为零。。1.7.6引引入入支承约约束的结结构节点点平衡方方程6、结构构刚度矩矩阵是常常量矩阵阵结构刚度度矩阵是是常量矩矩阵。结结构的节节点力和和节点位位移成线线性关系系都是基基于弹性性理论的的结果。。（1-53）用平衡方方程（1-53）是解解不出结结构的节节点位移移的的，因为为结构刚刚度矩阵阵是奇异异矩阵。。因此，，必须引入约束束，排除除任何刚刚体位移移，使结结构为几几何不变变体系。。方程（1-53）中的的刚度矩矩阵[K]和节节点荷载载向量列列阵P可可分割为为约束和和自由两两部分：：（1-54）式中，Pr是支承承反力，，约束位位移自由约束(1-55）(1-56）展开（1－54），有有：[Kff]——引引入约束束后的结结构刚度度矩阵。。它通对对[K]引入约束束后获得得，具体方法法:从从无约约束的结结构刚度度矩阵[K]中中删去与与受约束束位移号号对应的的行和列列，再将将矩阵压压缩排列列成n××n阶方方阵，即即为约化化后的结结构刚度度矩阵[Kff]。[Kff]这是一一个非奇奇异矩阵阵，它存存在逆矩矩阵。方程(1-55）是引引入约束束后的结结构节点点平衡方方程，用用于计算算结构所所有非刚刚性约束束节点的的节点位位移。而而方程(1-60）可以以用来计计算结构构所有受受刚性约约束节点点的反力力。(1-61）由式(1-55）即可可解出全全部未知知的节点点位移：：1.7.7节节点位位移和单单元力的的解答1、结构构节点位位移2、支座座反力把解出的的f代入(1-56），，即得支支座反力力Pr：关于方程程(1-61）的解解算方法法，当[Kff]采用本本章中上上述方法法组集时时，可直直接采用用结构力力学中的的高斯（（Gauss））法求解解。(1-56）至此，我我们可以以看出：：系统分分析的主主要任务务是：（1）组组集引入入约束后后的结构构刚度矩矩阵[Kff]；（2）求求解式(1-55）给给出的线线性代数数方程组组。算出出全部未未知的节节点位移移。至于支座座反力的的计算，，实际计计算时，，根本不不去组集集式