概率与统计讲义

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条件概率引入

条件概率实际指的是随着条件的变化，我们认为同一大事的概率也会跟着变化．例如：足球竞赛：2023年欧洲杯决赛，西班牙队对阵意大利队，我们在开场前可能认为西班牙的胜率为P，意大利的胜率为1P-，随着竞赛进程的进展，我们看到西班牙攻入一球，于是我们绝对会认为西班牙的胜率在增大．这就叫随着条件的变化，我们认为同一件事情的发生的概率浮现了变化．后来西班牙连入三球，比分锁定4:0，这时我们基本认为西班牙胜率临近100%了，这可以认为是在4:0率先的条件下，西班牙的胜率有了很大的提高．

条件概率有时还会被用于“平衡”概率，再举个例子，比如一些足球彩票，我们只需推断竞赛的胜败，猜对就有奖．不过足球竞赛的队伍之间有比较大的实力差距，竞赛的结果会十分的显然，不用预测．所以彩票公司设置了“让球”制．比如强队让弱队1球，假如这场竞赛打平了，那么就算弱队赢；假如强队1:0获胜，那么在彩票方面我们会认为是平局．以此类推．那么我们考虑彩票胜败的时候就需要考虑在“强队让一球”的条件下仍然能获胜的概率．假如差距太大，可能浮现让2球，3球的状况，这样竞赛的结果就有悬念了．这就是利用条件概率来人为的干涉大事的概率．

条件概率也常浮现在新闻中．首先明确一点，我们看到的新闻无数是“小概率”大事，类似于车祸，自然灾难，奇人奇事等等，以为小概率大事发生了，才会引起我们的关注．比如：会踢球不算新闻，但是巴西有一个小孩，天生没有脚，踢足球特殊厉害，这就成了大新闻．缘由就是：我们认为一个人会踢球的概率比较大，但是假如考虑的是“在没有脚的条件下，一个人会踢球”，我们就会认为这个事的概率极低．那么这件我们认为不行能的事情发生了，就成为了新闻．

认真想一想，概率会随着条件发生变化的根本缘由是：我们计算概率的环境不同了．比如我们想算算在全世界的人里面随机选人，选到一个男人的概率，那么我们计算方式就是用全世界男人的数量除以全世界的人口．假如我现在已经知道了我挑选的人是一个中国人呢？那我们的计算方式就会随着条件的变化而变化，变成中国的男人数量除以中国的总人口数．假如我们作图解释就会越发直观，比如我们设：A：选取的人是一个男人，B：选取的人是一个中国人，那么已知这个人是中国人的条件下，选的人是一个男人的概率就是()|PAB，从图形解释：

于是我们很简单得出概率公式：()()

()

|PABPABPB=

．形式上看，我们加入的“中国人”这个条件相当于

在本来的范围内画了一个B圈，这个圈作为我们考虑的范围，把落入这个范围内的A作为讨论对象．

考点1：条件概率4.1条件概率与大事的自立性

B

AB，就是中国人组成的集合，在已知选取的人是中国人的条件下，这部分是

我们的“分母”

AB，也就是同时

XXX和中国两个条件的人，这是我们计算的“分子”

1．条件概率：对于任何两个大事A和B，在已知大事A发生的条件下，大事B发生的概率叫做条件概

率，用符号“(|)PBA”来表示．把由大事A与B的交（或积），记做DAB=（或DAB=）．一

般地，我们有条件概率公式()

(|)(()0)()

PABPBAPAPA=>

2．求容易条件概率问题，有两个基本办法：

①公式法：从条件概率的定义入手，假如()0PA>，则先在原样本空间计算()PAB和()PA，再按

公式()()()

PABPBAPA=

．

②缩减样本空间法：在A发生的前提下，确定B的缩减样本空间，并在其中计算B发生的概率，从

而得到()PBA．【老师备案】在做条件概率的问题时，大多数题公式法和缩减样本空间法都能用，而对于很难写出样

本空间的条件概率问题，这时就只能用公式法了，如例1；而对于我们能够很清晰的写出样本空间的题，我们大多数实行缩减样本空间法，这有利于我们很快的解决问题，如例2．本讲的条件概率只讲公式法和缩减样本空间，对于全概公式我们留到同步再去讲解．

【例1】直接用公式

甲、乙两地都位于长江下游，按照一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分离为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：⑴在乙地为雨天的条件下，甲地也为雨天的概率是多少？⑵在甲地为雨天的条件下，乙地也为雨天的概率是多少？

【解析】设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则按照题意有()0.20PA=，()0.18PB=，

()0.12PAB=，所以

⑴乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是()0.122

(|)()0.183PABPABPB===．

⑵甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是()0.12

(|)0.60()0.20PABPBAPA===．

【点评】此题我们不能写出样本空间，所以就只能用公式做题了．

【例2】缩减样本空间

一个家庭中有两个孩子．假定生男、生女是等可能的，在这个家庭有一个是女孩的前提下，求另一个小孩是男孩的概率？

【追问】假如现在这个家庭惟独一个女孩，问下一个孩子是男孩的概率是多少？由此引出自立大事．

【解析】缩减样本空间法：

一个家庭中有两个孩子，由于生男、生女是等可能的，所以基本领件空间有4种状况，又由于已经知道有一个是女孩，所以把都是男孩的状况排解，那剩下的基本领件空间就惟独3种

状况了，所以另一个是男孩的概率是2

3

P=．

公式法：设基本领件空间为Ω，A=“有女孩”，B=“有男孩”，

则()()()(){}

Ω=男，男，男，女，女，男，

女，女，()()(){}A=男，女，女，男，

女，女，学问点睛

经典精讲

()()(){}B=男，男，男，女，女，男，()(){}AB=∩男，女，女，男，由上面分析可

知()34PA=，()2

4

PAB=∩，由条件概率公式可知：()2

24334

PBA==．

【追问】1

2

【点评】由此例题我们发觉缩减样本空间比公式法容易无数，所以在能够写出样本空间的状况下，大

多数用缩减样本空间法．

【挑战五分钟】由例2我们可以看出缩减样本空间更容易，所以这时让同学多练习一下缩减样本空间

法

一个家庭中有四个孩子．假定生男、生女是等可能的，在这个家庭有两个是女孩的前提下，求另两个小孩是男孩的概率？

【解析】缩减样本空间法：一个家庭中有四个孩子，由于生男、生女是等可能的，所以基本领件空间

有16种状况（4男一种状况，4女一种状况，2男2女六种状况，3男1女四种状况，3女1男四种状况），又由于已经知道有两个是女孩，所以把都是男孩和3男1女的状况排解，那剩下的基本领件空间就惟独11种状况了，

所以另两个是男孩的概率是6

11

P=．

考点2：大事的自立性

1．设AB，为两个大事，假如()()()PABPAPB=，则称大事A与大事B互相自立．大事A是否发生

对大事B发生的概率没有影响，即(|)()PBAPB=，这时，我们称两个大事A，B互相自立，并把

这两个大事叫做互相自立大事．

2．假如大事1A，2A，…，nA互相自立，那么这n个大事都发生的概率，等于每个大事发生的概率的积，即1212()()()()nnPAAAPAPAPA=??

?，并且上式中随意多个大事iA换成其对立大事

后等式仍成立．

3．若A与B互相自立，则A与B，A与B，A与B也都互相自立．

【老师备案】⑴互相自立的两个大事实质上是一个大事发生与否对另一个大事的发生没有影响，也就

是若大事A与B互相自立，则()()PBAPB=且()()PABPA=，因而有

()()()()()PABPAPBAPAPB==

⑵“互斥大事”和“互相自立大事”是两个不同的概念，它们之间没有直接关系，前者表示不行能同时发生的两个大事，后者是指一个大事是否发生对另一个大事发生的概率没有影响，互斥大事可以看成不是互相自立的两个大事中，一个大事的发生对另一个大事的发生不仅有影响而且影响大到不行能同时发生．在详细解题时，假如混淆这两个概念极易发生错误，所以必需注重和重视．

【老师备案】在讲必修3的时候讲过互斥大事与对立大事，所以，在讲自立大事时，建议教师提问“什

么是互斥大事”、“什么是对立大事”，让同学复习一下以前学的学问点．在这里还要重点给同学讲一下互斥大事与自立大事的区分．例3是推断自立大事与互斥大事；例4是计算自立大事的概率．

【例3】推断自立大事与互斥大事

下列每对大事中，哪些是互斥大事，哪些是互相自立大事？

⑴1000张有奖销售的奖券中某1张中一等奖与该张奖券中二等奖；

经典精讲

学问点睛

⑵工会的抽奖活动中“老王抽到的两张券，1张中二等奖，另1张没中奖”与“老王抽到的两张奖券都中二等奖”；

⑶一个布袋里有3个白球，2个红球，“从中随意取1个球是白球”与“取出的球放回后，再任取2个球是白球”；

⑷一个布袋里有3个白球，2个红球，“从中随意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中随意取1个球是红球”．

【解析】⑴是互斥大事；

⑵是互斥大事；⑶是互相自立大事；

⑷既不是互斥大事，又不是互相自立大事．

【点评】这里简单错误地认为“假如两个大事不是互相自立大事，那么它们一定是互斥大事”．如题中

的第⑷题，因为第1次取的球不放回，就会对第2次取到的球的概率产生影响，但不会造成“再从中随意取1球是红球”的大事不发生，所以这两个大事既不是互斥大事，又不是互相自立大事．

【备选】推断下列各对大事是否是互相自立大事

⑴甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名学生参与演讲竞赛，“从甲组中选出1人是男生”与“从乙组中选出1人是女生”．⑵容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中随意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中随意取出1个，取出的还是白球”．

【解析】⑴“从甲组选出1人是男生”这一大事是否发生，对“从乙组选出1人是女生”这一大事发生的

概率没有影响，所以它们是互相自立大事．

⑵“从8个球中随意取出1个，取出的是白球”的概率为5

8，若这一大事发生了，则“从剩下的

7个球中随意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4

7

；若前一大事没有发生，则后一大事

发生的概率为5

7

．可见，前一大事是否发生对后一大事发生的概率有影响，所以二者不是

互相自立大事．

提高班学案1

【铺1】已知A，B，C为三个自立大事，若大事A发生的概率是12，大事B发生的概率是2

3

，大事

C发生的概率是3

4

，求下列大事的概率：

⑴大事A，B，C均发生；⑵大事A，B，C均不发生；⑶大事A，B，C不都发生．

【解析】⑴记“大事A，B，C均发生”为1A，则因为A，B，C相互自立，故1AABC=，从而

11231()()()()2344PAPAPBPC==??=．故大事A，B，C均发生的概率为1

4

．

⑵记“大事A，B，C均不发生”为2A，则2AABC=??，因为A，B，C互相自立，故A，

B，

C也自立，故2()()()()()PAPABCPAPBPC=??=1231

11123424

??????=-?-?-=

?????????，∴大事A，B，C均不发生的概率为1

24

．

⑶记“大事A，B，C不都发生”为3A，则从正面考虑大事A，B，C中可以有1个不发生，

可以有2个不发生，也可以3个都不发生，状况较多，但从反面考虑，3A的反面为“大事

都发生”，故31AA=，从而3313

()1()1()4

PAPAPA=-=-=，∴大事A，B，C不都发生

的概率为3

4

．

【例4】

计算自立大事的概率

已知A，B，C为三个自立大事，若大事A发生的概率是

12，大事B发生的概率是2

3

，大事C发生的概率是3

4

，求下列大事的概率：

⑴大事A，B，C至少发生一个；⑵大事A，B，C只发生一个；⑶大事A，B，C只发生两个；⑷大事A，B，C至多发生两个．

【解析】⑴记“大事A，B，C至少发生一个”为4A，其对立大事为4A：“大事A，B，C一个也不

发生”，即大事2A，故42AA=，从而442()1()1()PAPAPA=-=-123

12424

=-=

，∴大事A，B，C至少发生一个的概率为23

24

．

⑵记“大事A，B，C只发生一个”为5A，则大事5A包括三种状况，第一种是只发生A大事，

大事B，C不发生（即ABC??大事发生）；其次种只发生大事B，大事A，C不发生（即大事ABC??发生）；第三种是只发生大事C，大事A，B不发生（即大事ABC??发生）而这三种状况是不行能同时发生的，即大事ABC??，ABC??，ABC??彼此互斥，按照互斥大事的概率加法公式和互相自立大事的概率乘法公式，

所求的概率为51231

()()()()2424244

PAPABCPABCPABC=??+??+??=++=，

∴大事A，B，C只发生一个的概率为1

4

．

⑶记“大事A，B，C只发生两个”为6A，则大事6A包括三种彼此互斥的状况，

ABC??；ABC??；ABC??，由互斥大事概率的加法公式和互相自立大事的概率乘法公

式，所求的概率为623611

()()()()24242424

PAPABCPABCPABC=??+??+??=++=

，∴大事A，B，C只发生两个的概率为11

24

．

⑷记“大事A，B，C至多发生两个”为7A，则包括彼此互斥的三种状况：大事A，B，C一

个也不发生，即2A；大事A，B，C只发生一个，即5A，大事A，B，C只发生两个，

即6A，故72561611183

()()()()242424244PAPAPAPA=++=++==．

大事A，B，C至多发生2个的概率为3

4

．（也可由713AAA==立即得到答案）

尖子班学案1

【拓2】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被

淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分离为45、35、25、1

5

，且

各问题能否正确回答互不影响．

⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．

【解析】⑴记“该选手能正确回答第i轮的问题”的大事为(1234)iAi=，，，，则

14()5PA=，23()5PA=，32()5PA=，41

()5

PA=．

该选手进入第四轮才被淘汰的概率：

12341234432496

()()()()()5555625

PAAAAPAPAPAPA==???=

．⑵该选手至多进入第三轮考核的概率：112123()PAAAAAA++142433101

555555125

=+?+??=．

目标班学案1

【拓3】某公司聘请员工，指定三门考试课程，有两种考试计划．

计划一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

计划二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分离是abc，，，且三门课程考试是否及格互相之间没有影响．

⑴分离求该应聘者用计划一和计划二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种计划下考试通过的概率的大小．（说明理由）

【解析】记该应聘者对三门指定课程考试及格的大事分离为ABC，，，

则()()()PAaPBbPCc===，，．⑴应聘者用计划一考试通过的概率

()()()

()1pPABCPABCPABCPABC=??+??+??+??

()()()1112abcabcabcabcabbccaabc=??-+-??+?-?+=++-

应聘者用计划二考试通过的概率

()()()()()211111

33333

pPABPBCPACabbccaabbcca=?+?+?=??+?+?=++

⑵()()1212

2333

ppabbccaabcabbccaabbccaabc-=++--++=++-

()()()211103

abcbcaacb=-+-+-????≥∴12pp≥．

考点3：离散型随机变量的分布列及其性质

1．离散型随机变量

假如在实验中，实验可能浮现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着实验的结果的不同而

变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写英文字母,,XY或小写希腊字母ξη，，表示．

假如随机变量X的全部可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

【老师备案】①量的取值范围叫做随机变量．②随机变量与函数的关系：

a．联系：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机实验结果到实数的映射，

函数是实数到实数的映射；随机实验的结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做

4.2离散型随机变量

学问点睛

随机变量的值域．

b．区分：函数()fx的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量

是实验结果（即样本点）

③对随机变量的理解：

a．随机变量是将随机实验的结果数量化．

b．随机变量的取值对应于随机实验的某一随机大事．如：“掷一枚骰子”这一随机实验中所得点数是一随机变量ξ，随机变量“2ξ=”，即对应随机大事：“掷一枚骰子，浮现2点”；而“3ξ=或4ξ=”，即对应随机大事：“掷一枚骰子浮现3点或4点”．④并不是全部的随机变量的取值都能一一列出，如电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，我们是无法一一列出的．普通地，假如随机变量可以取某一个区间内的随意一个值，则称这样的随机变量为延续型随机变量．⑤离散型随机变量与延续型随机变量的区分：

对于离散型随机变量而言，它全部可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可取值按一定次序一一列举出来．而延续型随机变量可取某一区间的随意值，我们无法对其中的值一一列举．

⑥延续型随机变量可转化为离散型随机变量．如X为电灯泡寿命（单位：小时），则

()()

010*******XYX?，可见乙的技术比较稳定．

设大事A与B互相自立，两个大事中惟独A发生的概率与惟独B发生的概率都是

1

4

，求()

PA、()

PB．

【思路】惟独A发生，即AB

?发生；惟独B发生，即AB

?发生．

∵A、B互相自立，∴A、B；B、A也互相自立．

∴

1

()()()()[1()]

4

PABPAPBPAPB

?=?=-=，

1

()()()()[1()]

4

PABPAPBPBPA

?=?=-=，

即

1

()()()

4

1

()()().

4

PAPAPB

PBPAPB

?

-?=

??

?

?-?=

??

，

解得

1

()

2

1

().

2

PA

PB

?

=

??

?

?=

??

，

【失分警示】误区：

1

()()

4

PAPB

==．

以上错误在于对题意理解错位，误认为惟独A、B发生的概率与A、B的概率是一回事，没有把惟独A发生转化为AB，把惟独B发生转化为AB．

【演练1】已知ξ的分布列为：

实战演练

A．13-

B．5

9

C．109

D．209

【解析】D

()11111012363Eξ=-?+?+?=-，()2

2

2

11111151013233369Dξ?

?????=-+?++?++?=????

?????，

∴()()()4520

22499

DDDηξξ?=+===

．

【演练2】一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回．求

若已知第一只是好的前提下，其次只也是好的概率．

【解析】公式法：设{}iAi=第只是好的(12)i=，．由题意知要求出21(|)PAA．

由于163()105PA=

=，12651

()1093

PAA?==?，所以12211()5(|)()9PAAPAAPA=

=．缩减样本空间法：在取出的第一只是好的条件下，盒子里还剩下9只晶体管，其中5只是好

的，因而215

(|)9

PAA=．由此进一步验证了条件概率公式．

【演练3】甲、乙、丙三台机床各自自立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床

加工的零件不是一等品的概率为1

4

，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一

等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2

9

．分离求甲、乙、丙

三台机床各自加工的零件是一等品的概率．

【解析】设A、B、C分离为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的大事．

由已知条件有：112

()()()4129

PABPBCPAC?=?=?=，，．

即112

()[1()]()[1()]()()4129PAPBPBPCPAPC-=-==，，．

不难解得112

()()()343

PAPBPC===，，．

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分离是112

343

，，．