函数极限概念

关于函数极限概念第一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日第二章极限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。第二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日第二章极限第二节函数的极限与性质三.极限定义及定理小结四.函数极限的基本性质第三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出:如何描述它？第四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日第五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？第六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日第七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日将图形对称过去后,你有什么想法?将图形对称第八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日定义第九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?第十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理.现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?第十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日定义第十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日由于

|

x|>X>0x>X

或

x<X,所以,x

按绝对值无限增大时,又包含了

x

的情形.既包含了

x+,第十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:第十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日证成立.由极限的定义可知:例1第十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日解无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例2第十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日这里想得通吗？第十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日由图容易看出：分析需要证明之处请同学们自己证一下.例3第十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例4证第十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

x

x0

时函数的极限,是描述当x无限接近

x0

时,

函数

f(x)的变化趋势.第二十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日f(x)在点

x0=0处有定义.函数f(x)在点

x0=1处没有定义.例5第二十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日定义第二十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日((第二十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日证这是证明吗？非常非常严格！例6第二十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日证例7第二十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日证？如何处理它例8第二十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为x1,所以,从某时候开始x

应充分地接近

1

.(

)0x21111+1••••••••••分析结论第二十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日证证毕例8第二十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日在极限定义中：1)

与

和x0有关,即=

(

,x0).一般说来,

值越小,相应的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要对任意的>0,同时也要对x

x0以任何方式进行都成立.3)函数f(x)以a为极限,但函数f(x)本身可以不取其极限值a.第二十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲线只能从该矩形的左右两边穿过第三十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日3.函数的左、右极限定义第三十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日定义第三十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：第三十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日y=f(x)xOy11在x=1处的左、右极限.解例9第三十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日定理利用|xx0|<

<xx0<和极限的定义,即可证得.第三十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日解例10第三十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日解例11第三十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例12证第三十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日三、极限定义及定理小结第三十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日极限定义一览表目标不等式过程描述度量极限形式第四十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日极限定义一览表目标不等式过程描述度量极限形式第四十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日重要定理第四十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日在以后的叙述中,如果函数f(x)极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号四、函数极限的基本性质极限.函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书.第四十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日1.有界性定理若limf(x)存在,

则函数

f(x)在该极限过程中必有界.2.唯一性定理若limf(x)存在,

则极限值必唯一.3.保号性定理极限值的正负与函数值正负的关系函数值的正负与极限值正负的关系第四十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日极限值的正负与函数值正负的关系该定理也称为第一保号性定理第四十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日极限值正负与函数值正负关系的推论作辅助函数F(x)=f(x)c

再利用定理的结论即可得证.第四十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日函数值的正负与极限值正负的关系该定理也称为第二保号性定理第四十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日第二保号性定理成立.运用反证法,设f(x)0

(f(x)0)时,有a<0(a>0),则由第一保号性定理将推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,该矛盾就证明了第四十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日注意:当f(x)>0

(f(x)<0)时,按照第二保号性定理也只能得到a0(a0)结论.第四十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例13第五十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日函数值正负与极限值正负关系的推论若极限limf(x)=a,

limg(x)=b存在,即

limf(x)limg(x).且在该极限过程中

f(x)