高三数学复习函数的奇偶性和周期性课件

高三数学复习函数的奇偶性和周期性课件第一页，共90页。第三节函数的奇偶性与周期性第二页，共90页。第三页，共90页。第四页，共90页。第五页，共90页。第六页，共90页。第七页，共90页。奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示:定义域关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．第八页，共90页。第九页，共90页。1.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选D.f(x)=为奇函数，但f(0)不存在；对函数f(x)=x2，有f(0)=0，但f(x)为偶函数，故选D．第十页，共90页。2.下列四个函数①y=x3+1；②y=sin3x；③y=x+；④中，奇函数的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选C.由奇函数定义知，函数②、③、④都是奇函数，函数①既不是奇函数又不是偶函数，因此C选项正确．第十一页，共90页。3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是()(A)单调递减的偶函数(B)单调递减的奇函数(C)单凋递增的偶函数(D)单调递增的奇函数【解析】选B.∵f(x)=x3在其定义域上为奇函数，∴y=f(-x)在其定义域上也为奇函数．∵f(x)=x3在其定义域上为增函数，∴y=f(-x)在其定义域上为减函数．第十二页，共90页。4.已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0，1)时，f(x)=x+1，则函数f(x)在(1，2)上的解析式为()(A)f(x)=3-x(B)f(x)=x-3(C)f(x)=1-x(D)f(x)=x+1【解析】选A．当1＜x＜2时，-1＜x-2＜0,∵x∈(0，1)时，f(x)=x+1，f(x)是以2为周期的偶函数，∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x+1=3-x．第十三页，共90页。5.函数f(x)对于任意实数x满足条件若f(1)=-5，则f(f(5))=_____.【解析】∵∴f(f(5))=f(-5)=f(-1)=答案:

第十四页，共90页。1.奇偶函数的有关性质(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.第十五页，共90页。(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．第十六页，共90页。2.用奇偶函数的性质来判断组合函数的奇偶性注意：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题须先证明再利用.第十七页，共90页。3.既是奇函数又是偶函数的函数的个数既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个，即f(x)=0，定义域是关于原点对称的任意一个数集.第十八页，共90页。4.对称性与周期函数的关系(1)若函数f(x)关于直线x=a和直线x=b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期；(2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期；(3)若函数f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a-b|是它的一个周期．

第十九页，共90页。第二十页，共90页。函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=lgx2+lg；(2)f(x)=(x-1)；(3)(4)f(x)=第二十一页，共90页。【审题指导】本题是判断函数的奇偶性，由奇偶函数的定义可知，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性．【自主解答】(1)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，又∵f(x)=lgx2+=lgl=0(x≠0)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数；第二十二页，共90页。(2)使f(x)=(x-1)有意义，则有≥0，解之得函数的定义域为［-1,1)，不关于原点对称，因此，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数；第二十三页，共90页。(4)易知函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1)，∴f(x)=又∵f(-x)==-f(x)，∴函数f(x)为奇函数．第二十四页，共90页。【规律方法】利用定义判断函数奇偶性的步骤：第二十五页，共90页。提醒：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．第二十六页，共90页。【变式训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x2-|x|+1,x∈［-1,4］；(2)f(x)=lg()；(3)f(x)=(4)f(x)=【解析】(1)∵f(x)=x2-|x|+1,x∈［-1,4］的定义域不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.第二十七页，共90页。(2)显然函数的定义域为R，又∵f(-x)=lg()==-lg()=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数.(3)由得x=或x=，∴函数f(x)的定义域为{,}.又对于定义域内的任意x，f(-x)=0=±f(x)；∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.第二十八页，共90页。(4)由得-2≤x≤2且x≠0．∴函数f(x)的定义域关于原点对称，f(x)=又∵f(-x)=∴函数f(x)为奇函数.第二十九页，共90页。抽象函数的奇偶性【例2】已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．第三十页，共90页。【审题指导】判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x)；用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系．第三十一页，共90页。【自主解答】(1)显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，又∵f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由f(-3)=a，f(x+y)=f(x)+f(y)及f(x)是奇函数，得f(12)=f(6)+f(6)=2f(6)=2［f(3)+f(3)］=4f(3)=-4f(-3)=-4a．第三十二页，共90页。【规律方法】抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(-x)、f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出f(-x)与f(x)的关系，得出结论.提醒：抽象函数奇偶性的判断，关键是要充分理解题意，灵活选取变量的值．第三十三页，共90页。【互动探究】如果本例中增加条件“当x>0时，f(x)<0”，判断函数f(x)的单调性.【解析】任取x1、x2∈R，且x1<x2，则f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1).∵当x>0时，f(x)<0,而x2-x1>0，∴f(x2-x1)<0，即f(x2)<f(x1)，函数f(x)在R上为减函数.第三十四页，共90页。【变式训练】函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠0}，对一切x、y∈R，都有f(xy)=f(x)+f(y)．(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)如果f(4)=1，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.第三十五页，共90页。【解析】(1)函数f(x)为偶函数.证明：在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0，令x=y=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，∴f(-1)=0，令y=-1得，f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，因此该函数为偶函数.第三十六页，共90页。(2)依题意得：2=1+1=f(4)+f(4)=f(16)，3=1+2=f(4)+f(16)=f(64)，又∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3，又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，解得：3<x≤5，即不等式的解集为：{x|3<x≤5}．第三十七页，共90页。函数的周期性及其应用【例3】(2010·重庆高考)已知函数f(x)满足：f(1)=，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R)，则f(2010)=____.【审题指导】本题已知函数f(x)是抽象函数，所求f(2010)的值与已知函数值的变量相差距离较大，可能与函数的周期性有关，因此可由归纳得出结论求值，需要求出多个函数值才发现规律；也可据递推关系推导出周期函数的结论，进而解决问题.第三十八页，共90页。【自主解答】方法一：令x=1,y=0，则4f(1)f(0)=f(1)+f(1)，所以f(0)=；令x=y=1，则4f(1)f(1)=f(2)+f(0)，所以f(2)=；令x=2,y=1，则4f(2)f(1)=f(3)+f(1)，所以f(3)=；令x=y=2，则4f(2)f(2)=f(4)+f(0)，所以f(4)=；第三十九页，共90页。令x=4，y=1则4f(4)f(1)=f(5)+f(3)，所以f(5)=；令x=y=3，则4f(3)f(3)=f(6)+f(0)，所以f(6)=；令x=6，y=1，则4f(6)f(1)=f(7)+f(5),所以f(7)=；……函数值以6为周期循环出现，又因为所以f(2010)=f(335×6+0)=f(0)=第四十页，共90页。方法二：令y=1，则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)，∵f(1)=,∴f(x)=f(x+1)+f(x-1)，∴f(x+1)=f(x)+f(x+2)=f(x+1)+f(x-1)+f(x+2)，∴f(x-1)=-f(x+2)，即f(x)=-f(x+3)，∴f(x+6)=f(x)，即函数f(x)是周期为6的函数，又∵令x=1,y=0，则4f(1)f(0)=f(1)+f(1)，∴f(0)=，∴f(2010)=f(335×6+0)=f(0)=.答案:

第四十一页，共90页。【规律方法】关于周期函数的常用结论：(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：①f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；②f(x+a)=，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x+a)=则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；第四十二页，共90页。(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；②若已知区间［m,n］(m<n)上的图象，则可画出区间［m+kT,n+kT］(k∈Z,k≠0)上的图象.第四十三页，共90页。【变式训练】已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)+f(x-1)=1,当x∈［0,1］时，有f(x)=x2，现有三个命题：①f(x)是以2为周期的函数；②当x∈［1,2］时，f(x)=-x2+2x;③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是______.第四十四页，共90页。【解析】①正确.∵f(x)+f(x-1)=1(1)∴f(x+1)+f(x)=1(2)(2)-(1)得f(x+1)-f(x-1)=0,∴f(x+1)=f(x-1),则f(x+2)=f(x),∴f(x)是以2为周期的函数.第四十五页，共90页。②正确.当x∈［1,2］时，x-1∈［0,1］,∴f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2(x∈［0,1］时，f(x)=x2).③错误.当x∈［-1,0］时，x+1∈［0,1］.∴f(x)=1-f(x+1)=1-(x+1)2,∴f(x)=-x2-2x,又∵-x∈［0,1］,∴f(-x)=(-x)2=x2,∴f(x)≠f(-x)，f(x)不是偶函数.答案：①②第四十六页，共90页。函数奇偶性与周期性的综合应用【例】已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)且在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0，(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2011,2011］上根的个数，并证明你的结论．第四十七页，共90页。【审题指导】(1)判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，但本题不易出现f(-x)与f(x)，但可先假设该函数是奇函数或偶函数，看能否得出不正确的结论，进而得出结论(即举反例来判断函数的奇偶性).(2)先求函数的周期，然后在它的一个周期内求解，再由其周期性求出定义域内的全部解．第四十八页，共90页。【规范解答】(1)若y=f(x)为偶函数，则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x)，∴f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数，则f(0)=f(-0)=-f(0)，∴f(0)=0,这与f(x)在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数.综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.第四十九页，共90页。(2)∵f(x)=f［2+(x-2)］=f［2-(x-2)］=f(4-x)，f(x)=f［7+(x-7)］=f［7-(x-7)］=f(14-x)，∴f(14-x)=f(4-x),即f［10+(4-x)］=f(4-x)∴f(x+10)=f(x),即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)=f(3)=0，∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z)，f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z)，第五十页，共90页。即x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)均是方程f(x)=0的根.由-2011≤1+10n≤2011及n∈Z可得n=0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；由-2011≤3+10n≤2011及n∈Z可得n=0，±1，±2，±3，…，±200，-201，共402个；所以方程f(x)=0在闭区间［-2011,2011］上的根共有805个.第五十一页，共90页。【规律方法】(1)如何判断函数不具有某性质判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可；(2)奇偶函数根的个数问题由于奇偶函数的定义域关于原点对称，且f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，所以，除去根为零外，如果有解，则解的个数为偶数个.提醒:方程f(x)=A(其中A为非零常数)的解的个数，如果函数f(x)为偶函数时解的个数为偶数个，如果函数f(x)为奇函数时解的个数不一定为偶数个．第五十二页，共90页。【变式备选】已知函数f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，当x1、x2∈［0,3］，且x1≠x2时，都有.给出下列命题：①f(3)=0；②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；③函数y=f(x)在［-9,-6］上为增函数；④函数y=f(x)在［-9,9］上有四个零点.其中所有正确命题的序号为______.第五十三页，共90页。【解析】∵f(x+6)=f(x)+f(3)，令x=-3得，f(-3+6)=f(-3)+f(3)，又f(x)是R上的偶函数，所以f(3)=0，即①正确；∴f(x+6)=f(x)，即6是函数f(x)的一个周期，由x1、x2∈［0,3］，且x1≠x2时，都有知函数f(x)在［0,3］上单调递增，综上可知，可画出函数f(x)在［-9,9］上的简图.第五十四页，共90页。由简图可知②④也正确.答案:①②④第五十五页，共90页。第五十六页，共90页。运算错误【典例】(2010·山东高考)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=()(A)-3(B)-1(C)1(D)3【审题指导】先根据奇函数的性质求出b的值，再求出f(1)，最后根据f(1)与f(-1)的关系求出f(-1).第五十七页，共90页。【规范解答】选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，所以当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3，故选A．第五十八页，共90页。【误区警示】在解答本题时有两个误区：一是审题不细致，没有注意奇函数这一条件，不能求出f(-1)的值，因而不能得出正确结论；二是在利用奇函数这一条件时，忽略举特例，造成运算量过大，出现计算失误.第五十九页，共90页。除此之外，解决函数奇偶性问题时，还有以下误区：1.没有注意到奇偶函数的定义域关于原点对称，思路受阻或得出错误结论；2.奇偶函数在对称区间上的单调性记混，得出错误结论；3.在解题时，如果举特例，应验证一般情况下结论是否正确.第六十页，共90页。【变式训练】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f()的值是()(A)0(B)(C)1(D)【解析】第六十一页，共90页。第六十二页，共90页。第六十三页，共90页。1.(2010·广东高考)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则()(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数【解析】选D.f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x).故选D.第六十四页，共90页。2.(2010·重庆高考)函数f(x)=的图象()(A)关于原点对称(B)关于直线y=x对称(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称【解析】选D.∵f(-x)==f(x)，∴f(x)是偶函数，因此图象关于y轴对称，故选D．第六十五页，共90页。3.(2011·长沙模拟)已知函数f(x)=2x+2-xP(x∈R)为奇函数，则下列结论正确的是()(A)P=1,f(x)为R上的减函数(B)P=-1,f(x)为R上的减函数(C)P=1,f(x)为R上的增函数(D)P=-1,f(x)为R上的增函数第六十六页，共90页。【解析】选D.由f(-x)=-f(x)得2-x+2xP=-2x-2-xP,∴P=-1,∴f(x)=2x-，故f(x)是R上的增函数.第六十七页，共90页。4.(2010·江苏高考)设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数，则实数a=______．【解析】由题意得g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=-1．答案:-1第六十八页，共90页。第六十九页，共90页。一、选择题(每小题4分，共20分)1.(2011·郑州模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2+x)=f(2-x)，则f(4)=()(A)4(B)2(C)0(D)不确定【解析】选C.∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.又∵f(2+x)=f(2-x)，∴f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0.第七十页，共90页。2.已知f(x)=x2，g(x)=()x-m，若对任意x1∈［0，2］，存在x2∈［1，2］，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()(A)［，+∞)(B)(-∞，］(C)［，+∞)(D)(-∞，)【解析】选A.“对任意x1∈［0，2］，存在x2∈［1，2］，使得f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在［1，2］上的最小值-m不大于f(x)在［0，2］上的最小值0”，即-m≤0，所以m≥.因此实数m的取值范围是［，+∞)，故选A.第七十一页，共90页。3.已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=()(A)-2(B)2(C)-98(D)98【解析】选B．∵f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期为4，又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(7)=f(-1)=f(1)=2．第七十二页，共90页。4.(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则｛x|f(x-2)>0｝=()(A){x|x<-2或x>4}(B){x|x<0或x>4}(C){x|x<0或x>6}(D){x|x<-2或x>2}【解析】选B.因为函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)>0,需满足|x-2|>2,得x>4或x<0,故选B.第七十三页，共90页。【方法技巧】与函数有关的不等式的求解方法：解与函数有关的不等式的基本思路是把函数不等式转化为一般的不等式求解，通常有两种转化方法.(1)是代入法，直接代入已知函数消去函数符号；(2)是利用函数单调性、奇偶性转化消去函数符号，特别是抽象函数更适用于此方法.函数不等式的解须满足函数定义域.第七十四页，共90页。5.(2011·长沙模拟)已知函数f(x+)为奇函数，设g(x)=f(x)+1，则=()(A)1005(B)2010(C)2011(D)4020【解析】选B.∵函数f(x+)是奇函数，∴函数f(x)关于点(，0)对称，∴f(x)+f(1-x)=0.第七十五页，共90页。第七十六页，共90页。二、填空题(每小题4分，共12分)6.若f(x)=是奇函数，则a=_____．【解析】∵f(x)=是奇函数，∴f(-x)=-f(x).而f(-x)=即∴a=.答案:

第七十七页，共90页。7.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间［0,2］上是增函数,则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为______．【解题提示】确定f(x)的周期,把f(-25)、f(11)、f(80)转化到区间［0,2］上比较.【解析】因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),第七十八页，共90页。f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,所以f(1)>f(0)=0,所以-f(1)<0,即f(-25)<f(80)<f(11).答案:f(-25)<f(80)<f(11)第七十九页，共90页。8．(2011·淄博模拟)设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为_______.①f(4)=0;②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于x=1对称；④f(x)的图象关于x=2对称.第八十页，共90页。【解析】∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4)，即f(x)的周期为4，②正确.∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数)，即①正确.又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),∴f(x)的图象关于x=1对称,∴③正确,又∵f(1)=-f(3),当f(1)≠0时，显然f(x)不关于x=2对称，∴④错误.答案：①②③第八十一页，共90页。三、解答题(每小题9分，共18分)9．已知f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，若对任意的a、b∈［-1,1］，当a+b≠0时，总有(1)判断函数f(x)在［-1,1］上的单调性，并证明