高中数学必修一人教版函数的应用

高中数学必修一人教版函数的应用第一页，共19页。函数的应用3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点第二页，共19页。1.思考：一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？先观察下面几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，如：第三页，共19页。容易知道，方程有两个实根;函数的图像与x轴有两个交点（-1,0），（3,0）,这样方程方程有两个相等的实根第四页，共19页。2．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根及其相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写第五页，共19页。Δ＝b2－4ac函数y＝ax2＋bx＋c图象方程的实根y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点结论Δ>0

方程的实根即函数图象与x轴交点的横坐标Δ＝0

Δ<0无无第六页，共19页。3.对于函数y＝f(x)，我们把使

的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与

有交点⇔函数y＝f(x)有

点．f(x)＝0x轴零由此可知，求方程f(x)的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点。第七页，共19页。例1

1.指出下列函数的零点：①②③第八页，共19页。第九页，共19页。探究：观察二次函数的图像（如下图）我们发现函数在区间[-2,1]上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区[2,4]上是否也具有这样的特点呢？第十页，共19页。可以发现，，函数在区间（-2,1）内有零点x=-1,它是方程的一个根.同样地，，函数在（2,4）内有零点x=3,它是方程的另一个根。一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数性质找出零点，从而求出方程的根。第十一页，共19页。1．一般结论如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．零点c通常称作函数f(x)的变号零点．注意：f(x)的图象必须在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0时，才可确定f(x)在[a，b]上有零点．第十二页，共19页。2．函数变号零点的性质．对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有：①当它通过变号零点时，函数值变号．如函数的图象在零点－1的左边时，函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正．②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号．第十三页，共19页。3．方程的根与函数的零点的作用另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点或所在范围，从而求出方程的根或根的近似值．一方面，函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步．例如，求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图．第十四页，共19页。例2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 (

)A．2个B．3个C．4个D．5个x123456f(x)123.5621.45－7.8211.57－53.76－126.49[答案]

B第十五页，共19页。探究：讨论方程的根的个数（提示：先构造一个函数，可以借助计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表，并且利用此函数的单调性来说明）第十六页，共19页。随堂练习：1、利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：答案：（1）有，两个（2）无（3）有，一个（4）有，两个第十七页，共19页。2、函数的两个零点是2和-4，求a、b3、函数仅有一个零点，求实数a的取值范围。3．若a＝0，则f(x)＝－x－1仅有一个零点－1；若a≠0，由Δ＝1＋4a＝0得a＝