文科高中数学所有知识点(定稿)

千里之行，始于脚下。第2页/共2页精品文档推荐文科高中数学所有知识点(定稿)≠?高中文科数学学问点

必修1数学学问点

集合：

1、集合的定义：普通地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合中的元素

2、集合元素的特征：①确定性②互异性③无序性

3、集合的分类：①有限集②无限集③空集，记作?

4、集合的表示法：①列举法②描述法③文氏图法④特别集合⑤区间法

常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为N正整数集记为*N或+N

②整数集记为Z③实数集记为R④有理数集记为Q

5、元素与集合的关系：①属于关系，用“∈”表示；②不属于关系，用“?”表示

6、集合间的关系：①包含：用“?”表示②真包含：用“”表示③相等④不相等

7、集合的交、并、补

交集的定义：由全部属于集合A且属于集合的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作BA，

即{}BxAxxBA∈∈=且

并集的定义：由全部属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作BA，即{}BxAxxBA∈∈=或

8、全集与补集：对于一个集合A，由全集U中不属于A的全部元素组成的集合称为集合A相对于集合U

的补集，记作ACU，即{}

AxUxxACU?∈=且,9、交集、并集、补集的运算：

(1)交换律：ABBAABBA==

(2)结合律:)()()

()(CBACBACBACBA==(3)分配律:.)()()()

()()(CABACBACABACBA==(4)0-1律：,,,AAAUAAUAUΦ=ΦΦ===

(5)等幂律：AAAA

AA==(6)求补律：AACCUCUCUACAACAUUUUUU=====)(φφφ

(7)反演律：)()()(BCACBACUUU=)()()(BCACBACUUU=

10、文氏图的应用：交集、并集、补集的文氏图表示

11、重要的等价关系：BABBAABA??=?=

12、一个由n个元素组成的集合有n2个不同的子集，其中有12-n个非空子集，也有12-n

个真子集

函数：

1、映射：设BA、是两个集合,假如根据某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中

都有唯一的元素b和它对应,则这样的对应（包括集合BA、以及A到B的对应法则f）叫做

从集合A到集合的映射，记作BAf→:，其中b叫做a的象，a叫做b的原象

假如在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合中有不同的象，而且B中的每一个元素

都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射

UCUAAABA∩BA∪B

2、函数：设BA、是两个非空数集，那么从A到B的映射BAf→:就叫做函数，记作)(xfy=，其

中ByAx∈∈,，x叫做自变量,y是x的函数值．自变量的取值集合A叫做函数的定义域，函

数值的集合C叫做函数的值域，值域BC?，函数三要素：定义域、值域、对应法则;两个函数相同：

定义域和对应关系都分离相同

3、函数的表示办法：（1）列表法（2）图象法（3）解析法

4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数

5、（1）函数的定义域的常用求法：

①分式的分母不等于零②偶次方根的被开方数大于等于零③对数的真数大于零

④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1

⑤三角函数正切函数tanyx=中()2xkkZπ

π≠+∈，余切函数cotyx=中,)(Zkkx∈≠π

⑥假如函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围

（2）值域的求法：①直接法②分别常数法③图象法④换元法⑤判别式法⑥不等式与对勾函数

6、求函数解析式的办法:

①直代②凑配法③换元法④待定系数法⑤列方程组法⑥特别值法

7、增减函数的定义：对于函数)(xf的定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值21,xx

①若当21xx,则说)(xf在这个区间上是减函数

8、（1）单调性的证实：研究函数的增减性应先确定单调区间,用定义证实函数的增减性,有“一设,二

差,三推断”三个步骤

（2）函数单调性的常用结论：

①若(),()fxgx均为某区间上的增（减）函数,则()()fxgx+在这个区间上也为增（减）函

数

②若()fx为增（减）函数，则()fx-为减（增）函数

③若()fx与()gx的单调性相同，则[()]yfgx=是增函数；若()fx与()gx的单调性不同，

则[()]yfgx=是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减”

④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反

9、（1）奇、偶函数的定义：对于函数)(xf

①假如对于函数定义域内随意一个x，都有)()(xfxf=-，那么函数)(xf就叫做偶函数

②假如对于函数定义域内随意一个x，都有)()(xfxf-=-,那么函数)(xf就叫做奇函数

注重：①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称

②)()()()(xfxfxfxf=--=-或是定义域上的恒等式

③若奇函数)(xf在0=x处故意义，则0)0(=f

④奇函数的图像关于原点成XXX对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形

（2）函数奇偶性的常用结论：

①假如一个奇函数在0x=处有定义，则(0)0f=，假如一个函数()yfx=既是奇函数又是

偶函数，则()0fx=（反之不成立）

②两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数

③一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数

④两个函数()yfu=和()ugx=复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函

数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数

基本初等函数

1、（1）普通地，假如axn

=，那么x叫做a的n次方根。其中+∈>Nnn,1

①负数没有偶次方根②0的任何次方根都是0，记作00=n

③当n是奇数时，aann=，当n是偶数时，???∈>mNnma(2)()01>=

-na

ann（2）对数的定义：设0>a且1≠a,对于数0>N,若能找到实数

b,使得Nab=,那么数b称为以a为

底的N的对数,记作Nbalog=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数注：（1）负数和零没有对数（由于0>=baN）（2）1log,01log==aaa（0>a且1≠a）

（3）将Nbalog=代回Nab=得到一个常用公式logaNaN=（4）xNNaax=?=log

（3）幂函数的定义：普通地，我们把形如axy=函数称为幂函数．其中x是自变量,α是常数

2、（1）①()Qsraaaasrsr∈>=+,,0②()()Qsraaarss

r∈>=,,0

③()()Qrbabaabrrr∈>>=,0,0（2）当0,0,1,0>>≠>NMaa时：

①()NMMNaaalogloglog+=②NMNMaaalogloglog-=???

??③MnManaloglog=④换底公式：a

bb

ccalogloglog=()0,1,0,1,0>≠>≠>bccaa，利用换底公式推导下面的结论：（1）bm

nbanamloglog=（2）abbalog1log=3、（1）指数函数的定义：函数)1,0(≠>=aaayx叫做指数函数.函数的定义域是实数集R

（2）对数函数的定义：普通把函数()10log≠>=aaxya且叫做对数函数,它的自变量为x,其定义域

是()+∞,0，底数a为常数表1

指数函数()0,1xyaaa=>≠对数数函数()log0,1ayxaa=>≠定义

域

xR∈()0,x∈+∞值域()0,y∈+∞

yR∈图象

性质过定点(0,1)

过定点(1,0)减函数

增函数减函数增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)

xyxy∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，(0,1)(,0)

(1,)(0,)xyxy∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，

零点、二分法：

1、（1）函数的零点：

①对于函数)(xfy=，我们把使0)(=xf的实数叫做函数)(xfy=的零点

方程0)(=xf有实根?函数)(xfy=的图象与x轴有交点?函数)(xfy=有零点

②假如函数0)(==xfy在区间[]ba,上的图象是延续不断的一条曲线，并且0)()(ab

表2幂函数()yxRαα=∈

pqα=0α1α=

pq为奇数

为奇数

奇函数

pq为奇数

为偶数

pq为偶数

为奇数

偶函数第一象限性

质减函数增函数过定点01（，）

高中数学必修2学问点

立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等

表示：用各顶点字母,如五棱柱'

'

'

'

'E

D

C

B

A

ABCDE-或用对角线的端点字母,如五棱柱'

AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥'

'

'

'

'E

D

C

B

A

P-

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像，其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台'

'

'

'

'E

D

C

B

A

P-

几何特征：①上下底面是相像的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆②母线与轴平行③轴与底面圆的半径垂直

④侧面绽开图是一个矩形

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆②母线交于圆锥的顶点③侧面绽开图是一个扇形

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆②侧面母线交于原圆锥的顶点③侧面绽开图是一个弓形（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆②球面上随意一点到球心的距离等于半径

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光芒从几何体的前面对后面正投影）；侧视图（从左向右）、鸟瞰图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度

鸟瞰图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①本来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变

②本来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为本来的一半

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和

（2）特别几何体表面积公式（C为底面周长，h为高，h'为斜高，l为母线）：

chS=直棱柱侧面积rhSπ2=圆柱侧'21chS=正棱锥侧面积rlSπ=圆锥侧面积')(2

121hccS+=正棱台侧面积lRrSπ)(+=圆台侧面积()lrrS+=π2圆柱表()lrrS+=π圆锥表()

22RRlrlrS+++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式：

VSh=柱2VShrhπ==圆柱13VSh=锥hrV23

1π=圆锥''1()3

VSSSSh=++台''2211()()33VSSSShrrRRhπ=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：3R3

4π=

球V2R4Sπ=球面

5、空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

①平面的概念：、A描述性说明、B平面是无限舒展的

②平面的表示：通常用希腊字母γβα、、表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用

两个相对顶点的字母来表示，如平面BC

③点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα?

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：lA∈；点A在直线l外，记作lA?

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作α?l；直线l不在平面α内，记作α?l

（2）公理1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平；推断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：,,,AlBlABlααα∈∈∈∈??

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且惟独一个平面

推论：向来线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证实平面重合的依据

（4）公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且惟独一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作a=βα符号语言：,PABABlPl∈?=∈

公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的办法

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点

③它可以推断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交

③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间随意一点O，分离引直线aa//'

bb//'，则把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所

成角的范围是(]

0090,0，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线相互垂直说明：（1）判定空间直线是异面直线办法：①按照异面直线的定义②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关

（3）求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特别的位置，顶点选在

特别的位置上

B、证实作出的角即为所求角

C、利用三角形来求角

（7）等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分离平行，那么这两角相等或互补

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有很多个公共点

三种位置关系的符号表示：ααα

//aAaa=?（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点：βα//相交——有一条公共直线：b=βα

6、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行

线线平行?线面平行

线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行?线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

(线面平行?面面平行）

（2）假如在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行

（线线平行?面面平行）

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行

两个平面平行的性质定理

（1）假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行（面面平行?线面平行）

（2）假如两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行?线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线相互垂直

②线面垂直:假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直

③平面和平面垂直：假如两个平面相交，所成的二面角（从一条直线动身的两个半平面所组

成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理:假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面

性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直

性质定理：假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另

一个平面

8、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为0

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角

③两条异面直线所成的角：过空间随意一点O，分离作与两条异面直线ba,平行的直线

ba'',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直

角的角叫做两条异面直线所成的角

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为

0②平面的垂线与平面所成的角：规定为90

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这

个平面所成的角

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注重挖

掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线

（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面

角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二

面角的面

②二面角的平面角：以二面角的棱上随意一点为顶点，在两个面内．．分离作垂直于．．．

棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面假如所组成的

二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，假如两

个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的办法

定义法：在棱上挑选有关点，过这个点分离在两个面内作垂直于棱的射

线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个

面的交线所成的角为二面角的平面角

直线与方程

1、直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特殊地，当直线与x轴平

行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是001800-+FED时，方程表示圆，此时圆心为)2,2(ED--

，半径为FEDr42122-+=当0422=-+FED时，表示一个点；当0422；相切与Clrd?=；相交与Clrd??0

注：假如圆心的位置在原点，可使用公式2

00ryyxx=+去解直线与圆相切的问题，其中()00,yx表示切点坐标，r表示半径

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆222ryx=+，圆上一点为),(00yx，则过此点的切线方程为2

00ryyxx=+②圆2

22)()(rbyax=-+-，圆上一点为),(00yx，则过此点的切线方程为200))(())((rbybyaxax=--+--

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定

设圆()()221211:rbyaxC=-+-，()()222222:RbyaxC=-+-

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定

当rRd+>时两圆外离，此时有公切线四条

当rRd+=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条

当rRdrR+，则sinyrα=

，cosxrα=，()tan0y

xx

α=≠10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，其次象限正弦为正，第三象限

正切为正，第四象限余弦为正

11、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT

12、同角三角函数的基本关系：()221sincos1αα+=()

2222sin1cos,cos1sinαααα=-=-

()

sin2tancosα

αα=sinsintancos,costanαααααα?

?==???

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin2sinkπαα+=，()cos2coskπαα+=，()()tan2tankkπαα+=∈Z()()2sinsinπαα+=-，()coscosπαα+=-，()tantanπαα+=()()3sinsinαα-=-，()coscosαα-=，()tantanαα-=-()()4sinsinπαα-=，()coscosπαα-=-，()tantanπαα-=-()5sincos2παα??-=

???，cossin2παα??-=???()6sincos2παα??+=???，cossin2παα??

+=-???

口诀：奇变偶不变，符号看象限

14、函数sinyx=的图象上全部点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()sinyx?=+的图象；再

将函数()sinyx?=+的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到本来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sinyxω?=+的图象；

再将函数()sinyxω?=+的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到本来的A倍（横坐标不变），得到函数()sinyxω?=A+的图象函数sinyx=的图象上全部点的横坐标伸长（缩

短）到本来的1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数sinyxω=的图象；再将函数sinyxω=的图象上全部点向左（右）平移?

ω

个单位长度，得到函数()sinyxω?=+的图象；再将函数()sinyxω?=+的

图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到本来的A倍（横坐标不变），得到函数()sinyxω?=A+的图

象

函数()()sin0,0yxω?ω=A+A>>的性质：

①振幅：A②周期：2π

ωT=

③频率：12fω

π

=

=

T④相位：xω?+⑤初相：?函数bxAy++=)sin(?ω，当1xx=时，取得最小值为miny；当2xx=时，取得最大值为maxy，则

)(21minmaxyyA-=，)(21minmaxyyb+=，)(2

2112xxxxT

时，aλ的方向与a的方向相同；当0λ，则90C

7、数列：根据一定挨次罗列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列13、常数列：各项相等的数列

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列15、数列的通项公式：表示数列{}na的第n项与序号n之间的关系的公式

16、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na-（或前几项）间的关系的公式

17、假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这

个常数称为等差数列的公差

18、由三个数bAa,,组成的等差数列可以看成最容易的等差数列，则A称为a与b的等差中项．若

2

ac

b+=

，则称b为a与c的等差中项19、若等差数列

{}na的首项是1

a，公差是d，则()11n

a

and=+-

20、通项公式的变形：①()nmaanmd=+-②()11naand=--③1

1

naadn-=

-

④1

1naand

-=+⑤nmaadnm-=-

21、若{}na是等差数列，且mnpq+=+（m、n、p、*q∈N），则qpnmaaaa+=+；若{}na是等

差数列，且2npq=+（n、p、*

q∈N），则qpnaaa+=2

22、等差数列的前n项和的公式：①2

)

(1nnaanS+=②()112nnnSnad-=+23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为()*2nn∈N，则)(12++=nnnaanS，且

1

S,

+=

=-nn

aaSndSS偶

奇奇偶②若项数为()

*21nn-∈N，则()2121nnSna-=-，且nSSa-=奇偶，1

Sn

Sn=

-奇偶（其中nSna=奇，()1nSna=-偶）

24、假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这

个常数称为等比数列的公比25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若2

Gab=则称G为a与b的等比中项

26、若等比数列{}na的首项是1a，公比是q，则1

1nnaaq-=

27、通项公式的变形：①()nmaanmd=+-②()11naand=-

-③1

1

naadn-=-④11naand-=

+⑤nm

aadnm

-=-28、若{}na是等比数列，且mnpq+=+（m、n、p、*

q∈N），则mnpqaaaa?=?；若{}na是

等比数列，且2npq=+（n、p、*q∈N），则qpnaaa?=2

29、等比数列{}na的前n项和的公式：()

()()11111111nnnnaqSaqaaqqq

q=??

=-?-=≠?

--?

30、等比数列的前n项和的性质：①若项数为()*

2nn∈N，则SqS=偶奇

②mnnmnSqSS?+=+

③nS，2nnSS-，32nnSS-成等比数列

31、求通项公式的办法：①套用公式法：适用于已知数列是等差或等比数列的题目

②已知数列}{na前n项和nS，则???≥-==-2111

nSSnSann

n（注重：不能遗忘讨

论1=n）

③累加法：适用于)(1nfaann+=-④累乘法：)(1nfaann?=-

⑤辅助数列法：（1）m

amaann

n+=+1（两边同时取倒数）

（2）),(1为常数qpqpaann+=+用待定系数法：

)1

,(1-=

+=++pq

apannλλλλ且为系数）（数列求和的办法：（1）套用公式法：普通适用于直接求等差数列和等比数列的前n项和①等差数列求和公式：()()

11122nnnaannSnad+-=

=+②等比数列求和公式：()()()11111111nnnnaqSaqaaqqq

q?=?

=-?-=≠?

--?

（2）倒序相加法

（3）分组求和法：普通适用于通项nnncba+=，其中

为等差或等比数列）为等差或等比数列，（nncb

（4）裂项相消法：普通适用于通项①

()1111nnkknnk??

=-?++??

②

()

11

nknk

nkn=+-++（5）错位相减法：普通适用于通项nnncba?=，其中（nb为等差数列,nc为等比数

列）

32、0abab->?>0abab-=?=0abab-?>?>③abacbc>?+>+④,0abcacbc>>?>，,0abcacbc>>?+>+⑥0,0abcdacbd>>>>?>⑦()0,1n

n

ababnn>>?>∈N>

⑧()0,1nnababnn>>?>∈N>

34、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对(),xy，全部这

样的有序数对(),xy构成的集合

38、在平面直角坐标系中，已知直线0xyCA+B+=，坐标平面内的点()00,xyP①若0B>，000xyCA+B+>，则点()00,xyP在直线0xyCA+B+=的上方②若0B>，000xyCA+B+0?=0?的图象

一元二次方程

有两个相异实数

有两个相等实数

没有实数根

2

0axbxc++=

()0a>的根

根1,22bxa

-±?

=

()12xx

()0a>

{}

1

2

xxxxx或

2bxxa??≠-???

?

R

20axbxc++

{}1

2xx

xx，则0xyCA+B+>表示直线0xyCA+B+=上方的区域；0xyCA+B+表示直线0xyCA+B+=下方的区域；0xyCA+B+，0b>，则2abab+≥，即2

ab

ab+≥

43、常用的基本不等式：①()22

2,abababR+≥∈②()22,2

abababR+≤∈

③()20,02ababab+??

≤>>???④()2

22,22abababR++??≥∈???

44、极值定理：设x、y都为正数，则有

⑴若xys+=（和为定值），则当xy=时，积xy取得最大值2

4

s

⑵若xyp=（积为定值），则当xy=时，和xy+取得最小值2p

选修1－1、1-2数学学问点

容易规律用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句.真命题：推断为真的语句

假命题：推断为假的语句2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论3、原命题：“若p，则q”逆命题：“若q，则p”

否命题：“若p?，则q?”逆否命题：“若q?，则p?”4、四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系5、若pq?，则p是q的充分条件，q是p的须要条件

若pq?，则p是q的充要条件（充分须要条件）

利用集合间的包含关系：例如：若BA?，则A是B的充分条件或B是A的须要条件；若BA=，则A是B的充要条件

6、规律联结词：⑴且(and)：命题形式pq∧⑵或（or）：命题形式pq∨

⑶非（not）：命题形式p?

p

q

pq

∧

pq

∨p

?真真真真假真假假真假假

真

假

真真

假假假

假

真7、⑴全称量词——“全部的”、“随意一个”等，用“?”表示；

全称命题p：)(,xpMx∈?；全称命题p的否定p?：)(,xpMx?∈?

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示

特称命题p：)(,xpMx∈?；特称命题p的否定p?：)(,xpMx?∈?

圆锥曲线

1、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆

即：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF>=+,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质：

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

()22

2210xyabab+=>>()22

2210yxabab

+=>>范围

axa-≤≤且

byb-≤≤bxb-≤≤且aya-≤≤

顶点

()1,0aA-、()2,0aA

()10,bB-、()20,bB

()10,aA-、()20,aA()1,0bB-、()2,0bB

轴长短轴的长2b=长轴的长2a=

焦点

()1,0Fc-、()2,0Fc()10,Fc-、()20,Fc

焦距()222122FFccab==-

对称性关于x轴、y轴、原点对称

离心率

()2

2101cbeeaa

==->=+。当BA时焦点在y轴上），这种形式用起来更便利

4、

如图，aCBAF42=?2

tan

2

12

21BFFbSBFF∠?=?

5、平面内与两个定点1F,2F的距离之差的肯定值等于常数（小于12FF）

的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF>()22

22

10,0yxabab-=>>范围xa≤-或xa≥，yR∈ya≤-或ya≥，xR∈

顶点()1,0aA-、()2,0aA()10,aA-、()20,aA

轴长虚轴的长2b=实轴的长2a=

焦点()1,0Fc-、()2,0Fc()10,Fc-、()20,Fc

焦距()222122FFccab==+

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点XXX对称

离心率()2

211cbeeaa

==+>

渐近线方程

byxa

=±

ayxb

=±

7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线

1F

2F

A

B

8、

2

tan

1

212

21MFFbSMFF∠?

=?

9、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，

定直线l称为抛物线的准线10、抛物线的几何性质：

标准方程

22ypx

=

()

0p>

22ypx

=-

()0p>22xpy

=

()0p>22xpy

=-

()0p>

图形

顶点()0,0

对称轴

x轴

y轴

焦点

,02pF??

???

,02pF??

-???

0,2pF?

??

?

?

0,2pF?

?-?

?

?

准线方程

2

p

x=-

2

px=

2

py=-

2

py=

离心率1e=

范围

0x≥

0x≤

0y≥0y≤

11、焦点弦(了解)：对于pyy22

=,过焦点的弦),(),,(2211yxByxA有

,sin22

21α

ppxxAB=++=2

21pyy-=，4221pxx=通径：过焦点垂直于对称轴的弦长为2p

12、①涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：

（1）涉及相交弦的长，弦所在直线的方程等时，可利用“设而不求、韦达定理、整体代入”求解（2）涉及弦的中点及斜率时也可用“点差法”求解

②弦长公式：圆锥曲线与直线bkxy+=交于),(),,(2211yxByxA,则弦长2212))(1(xxkAB-+=

③求曲线方程（轨迹方程）常用办法：直接法，定义法，参数法，相关点法注重：求轨迹方程后要检验某些特别点是否可取

导数及其应用

1、求导数的概念：设函数)(xfy=在0xx=处附近有定义，假如0→?x时，y?与x?的比

x

y

??（也叫函数的平均变化率）有极限即

x

y

??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy=在0→?x处的导数，记作0

0000/)()(lim)()(limlim

)(0xxxfxfxxfxxfxy

xfxxoxox--=?-?+=??=→→?→?2、导数的几何意义：函数)(xfy=在0x处的导数的几何意义，就是曲线)(xfy=在点),(00yx处的切

线的斜率，即斜率为)(0xf'，过点P的切线方程为：))((000xxxfyy-'=-

3、求导数的办法:(1)求导公式(2)导数的四则运算法则(3)复合函数的求导公式(4)导数定义

1、依定义求导数的办法：（1）求函数的转变量)()(xfxxfy-?+=?

（2）求平均变化率

xxfxxfxy?-?+=

??)()(（3）取极限，得导数/

y＝()fx'=x

yx??→?0lim2、几种常见函数的导数：0'=C(C为常数)1

)'(-=nnnxx(Qn∈)xxcos)'(sin=

xxsin)'(cos-=xx1)'(ln=exxaalog1

)'(log=xxee=)'(aaaxxln)'(=

4、导数的四则运算法则：)()()]()(['

''xvxuxvxu±=±[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx'=+

[()]'()CuxCux'='

2

''

(0)uuvuvvvv-??=≠???5、复合函数的导数：设函数)(xu?=在点x处有导数)(xux?'='，函数)(ufy=在点x的对应点u处

有导数)(ufyu'='，则复合函数))((xfy?=在点x处也有导数，且xuxuyy'''?=或)()(xufyx?'?'='

6、推断函数的单调性：

（1）函数)(xfy=在某个区间内可导，若0)(>'xf，则)(xf为增函数；若0)(），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值，称0x为极大（小）值点

（2）求可导函数)(xf极值的步骤：

①求导数)(xf'②求方程0)(='xf的根

③检验)(xf'在方程0)(='xf的根的左右的符号，假如根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处

取得极大值；假如在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得微小值

8、求函数的最大值与最小值：

（1）设)(xfy=是定义在区间[]ba,上的函数，并在),(ba内可导，求函数在[]ba,上的最值可分两步

举行：

①求)(xfy=在),(ba内的极值

②将)(xfy=在各极值点的极值与)()(bfaf、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值

（2）若函数)(xf在[]ba,上单调递增（或递减），则)(af为函数的最小值（或最大值），)(bf为函数

的最大值（或最小值）

复数

1、虚数单位：我们把字母i称为虚数单位，并规定：①12

-=i②实数可以与i举行四则运算，举行运

算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立

2、虚数：把形如),(Rbabia∈+的数叫做复数，全体复数组成的集合叫做复数集，记作C

3、实部、虚部：复数通常用z表示，即),(Rbabiaz∈+=，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的

虚部

4、复数的分类：①当0=b时，az=，它是实数②当0,0≠≠ba时，biaz+=叫做虚数③当0,0≠=ba时，biz=叫做纯虚数