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文档简介
中考数学二轮压轴培优专题二次函数与直角三角形问题1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=eq\f(1,2)x+1与x轴交于点E,与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)P为抛物线上的点,连接OP交直线DE于Q,当Q是OP中点时,求点P的坐标;(3)M在直线DE上,当△CDM为直角三角形时,求出点M的坐标.2.如图,抛物线y=x2+2x﹣8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点D在直线AC下方的抛物线上运动,过点D作y轴的平行线交AC于点E.(1)求直线AC的函数表达式;(2)求线段DE的最大值;(3)当点F在抛物线的对称轴上运动,以点A,C,F为顶点的三角形是直角三角形时,直接写出点F的坐标.3.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式.(2)若点M是抛物线上B,C之间的一个动点,线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN,当点N恰好落在y轴上时,求点M,点N的坐标.(3)如图2,若点E坐标为(2,0),EF⊥x轴交直线BC于点F,将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F',在△B'E'F'移动过程中,是否存在使△ACE'为直角三角形的情况?若存在,请直接写出所有符合条件的点E′的坐标;若不存在,请说明理由.4.抛物线y1=ax2﹣2ax+c(a<2且a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B两点,抛物线的对称轴与x轴交于点D,点M(m,n)在该抛物线上,点P是抛物线的最低点.(1)若m=2,n=﹣3,求a的值;(2)记△PMB面积为S,证明:当1<m<3时,S<2;(3)将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2=kx+b(k≠0),与y轴交于点C,与抛物线交于点E,当x<﹣1时,总有y1>y2.当﹣1<x<1时,总有y1<y2.是否存在t≥4,使得△CDE是直角三角形,若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.5.如图,抛物线y=ax2+bx﹣eq\f(20,9),交y轴于点A,交x轴于B(﹣1,0),C(5,0)两点,抛物线的顶点为D,连接AC,CD.(1)求直线AC的函数表达式;(2)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标;(3)过点D作x轴的垂线交AC于点G,点H为线段CD上一动点,连接GH,将△DGH沿GH翻折到△GHR(点R,点G分别位于直线CD的两侧),GR交CD于点K,当△GHK为直角三角形时.①请直接写出线段HK的长为;②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°),得到△MHN,若直线MN分别与直线CD,直线DG交于点P,Q,当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时,请直接写出点P的纵坐标为.6.已知二次函数y=x2+bx+c经过A、B两点,BC垂直x轴于点C,且A(﹣1,0),C(4,0),AC=BC.(1)求抛物线的解析式;(2)请画出抛物线的图象;(3)点P是抛物线对称轴上一个动点,是否存在这样的点P,使三角形ABP为直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.7.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣eq\f(2,3)x2+eq\f(4,3)x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点.(1)求直线BC的解析式;(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D,连接CA,CD,PC,PB,记四边形ACPB的面积为S1,△BCD的面积为S2,当S1﹣S2的值最大时,求P点的坐标和S1﹣S2的最大值;(3)如图2,将抛物线水平向右平移,使得平移后的抛物线经过点O,G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点,将线段AC沿直线BC平移,平移过程中的线段记为A'C'(线段A'C'始终在直线l左侧),是否存在以A',C',G为顶点的等腰直角△A'C'G?若存在,请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程,若不存在,请说明理由.8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的表达式;(2)点P在直线BC下方的抛物线上,连接AP交BC于点M,当最大时,求点P的坐标及的最大值;(3)在(2)的条件下,过点P作x轴的垂线l,在l上是否存在点D,使△BCD是直角三角形,若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,直线y=x﹣3与x轴,y轴分别交于B、C两点.抛物线y=x2+bx+c经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)设点P从点D出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设运动的时间为t秒.①点P在运动过程中,若∠CBP=15°,求t的值;②当t为何值时,以P,A,C为顶点的三角形是直角三角形?求出所有符合条件的t值.10.如图,抛物线y=x2+bx+12(b<0)与x轴交于A,B两点(A点在B点左侧),且OB=3OA.(1)请直接写出b=,A点的坐标是,B点的坐标是;(2)如图(1),D点从原点出发,向y轴正方向运动,速度为2个单位长度/秒,直线BD交抛物线于点E,若BE=5DE,求D点运动时间;(3)如图(2),F点是抛物线顶点,过点F作x轴平行线MN,点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点,P点在直线MN上运动.若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形,请求出C点坐标,并直接写出P点的坐标.
答案1.解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,∴,解得:,∴抛物线的解析式是y=﹣x2+2x+3;(2)令x=0,则y=eq\f(1,2)x+1=1,∴OD=1,如图,作PH⊥OB,垂足为H,交ED于F,则∠COA=∠PHO=90°,∴PH∥OC,∴∠OPF=∠DOQ,∠PFQ=∠ODQ,又Q是OP中点,∴PQ=OQ,∴△PFQ≌△ODQ(AAS),∴PF=OD=1设P点横坐标为x,则﹣x2+2x+3﹣(eq\f(1,2)x+1)=1,解得:x1=2,x2=﹣eq\f(1,2),当x=2时,y=3,当x=﹣eq\f(1,2)时,y=eq\f(7,4),∴点P的坐标是(2,3)或(﹣eq\f(1,2),eq\f(7,4));(3)令x=0,则y=﹣x2+2x+3=3,∴OC=3,∴CD=OC﹣OD=2,设M(a,eq\f(1,2)a+1),∴CM2=a2+(3﹣eq\f(1,2)a﹣1)2=eq\f(5,4)a2﹣2a+4,DM2=a2+(eq\f(1,2)a+1﹣1)2=eq\f(5,4)a2,①当∠CMD=90°时,∴CD2=CM2+DM2,∴22=eq\f(5,4)a2﹣2a+4+eq\f(5,4)a2,解得:a1=eq\f(4,5),a2=0(舍去),当a=eq\f(4,5)时,eq\f(1,2)a+1=eq\f(7,5),∴M(eq\f(4,5),eq\f(7,5));②当∠DCM=90°时,∴CD2+CM2=DM2,∴22+eq\f(5,4)a2﹣2a+4=eq\f(5,4)a2,解得:a=4,当a=4时,eq\f(1,2)a+1=3,∴M(4,3);综上所述:点M的坐标为(eq\f(4,5),eq\f(7,5))或(4,3).2.解:(1)在y=x2+2x﹣8中,令x=0,得y=﹣8,∴C(0,﹣8),令y=0,得x2+2x﹣8=0,解得:x1=﹣4,x2=2,∴A(﹣4,0),B(2,0),设直线AC的解析式为y=kx+b,则,解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣8;(2)设D(m,m2+2m﹣8),则E(m,﹣2m﹣8),∵点D在点E的下方,∴DE=﹣2m﹣8﹣(m2+2m﹣8)=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,∵﹣1<0,∴当m=﹣2时,线段DE最大值为4;(3)∵y=x2+2x﹣8=(x+1)2﹣9,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,设F(﹣1,n),又A(﹣4,0),C(0,﹣8),∴AF2=32+n2=n2+9,AC2=42+82=80,CF2=12+(n+8)2=n2+16n+65,①当∠AFC=90°时,∵AF2+CF2=AC2,∴n2+9+n2+16n+65=80,解得:n1=﹣4﹣eq\r(19),n2=﹣4+eq\r(19),∴F(﹣1,﹣4﹣eq\r(19))或(﹣1,﹣4+eq\r(19));②当∠CAF=90°时,∵AF2+AC2=CF2,∴n2+9+80=n2+16n+65,解得:n=eq\f(3,2),∴F(﹣1,eq\f(3,2));③当∠ACF=90°时,∵CF2+AC2=AF2,∴n2+16n+65+80=n2+9,解得:n=﹣eq\f(17,2),∴F(﹣1,﹣eq\f(17,2));综上所述,点F的坐标为(﹣1,﹣4﹣eq\r(19))或(﹣1,﹣4+eq\r(19))或(﹣1,eq\f(3,2))或(﹣1,﹣eq\f(17,2)).3.解:(1)将A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3)代入y=ax2+bx+c,∴,∴,∴y=x2﹣2x﹣3;(2)过点M作HG∥y轴,交x轴于点H,过点N作NG⊥HG交于点G,∴∠AMH+∠NMG=90°,∵∠AMH+∠MAH=90°,∴∠NMG=∠MAH,∵AM=MN,∴△AMH≌△MNG(AAS),∴AH=MG,HM=NG,设M(t,t2﹣2t﹣3),∴HM=﹣t2+2t+3,NG=t,∴﹣t2+2t+3=t,∴t=eq\f(1,2)±eq\f(\r(13),2),∵点M是抛物线上B,C之间,∴0<t<3,∴t=eq\f(1,2)±eq\f(\r(13),2),∴M(eq\f(1,2)+eq\f(\r(13),2),﹣eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(13),2)),∴AH=1+eq\f(1,2)+eq\f(\r(13),2)=eq\f(3,2)+eq\f(\r(13),2),∴HG=eq\f(3,2)+eq\f(\r(13),2)+eq\f(1,2)+eq\f(\r(13),2)=2+eq\r(13),∴N(0,﹣2﹣eq\r(13));(3)存在使△ACE'为直角三角形,理由如下:∵OB=OC,∴∠OBC=45°,设△BEF沿x轴方向平移t个单位长,则沿y轴方向平移t个单位长,∵E(2,0),∴E'(2+t,t),①如图2,当∠ACE'=90°时,过点E'作E'H⊥y轴交于点H,∴∠ACO+∠E'CH=90°,∵∠ACO+∠CAO=90°,∴∠E'CH=∠CAO,∴△ACO∽△CE'H,∴=,∵AO=1,CO=3,CH=﹣3﹣t,E'H=﹣2﹣t,∴=,解得t=﹣eq\f(7,2),∴E'(﹣eq\f(3,2),﹣eq\f(7,2));②如图3,当∠CAE'=90°时,过点A作MN⊥x轴,过点C作CN⊥MN交于N点,过点E'作E'M⊥MN交于M点,∴∠MAE'+∠NAC=90°,∵∠MAE'+∠ME'A=90°,∴∠NAC=∠ME'A,∴△AME'∽△CNA,∴=,∵NC=1,AN=3,AM=t,ME'=3+t,∴=,解得t=eq\f(3,2),∴E'(eq\f(7,2),eq\f(3,2));当E'点与N重合时,△ACE'为直角三角形,∴E'(﹣1,﹣3);③如图3,当∠AE'C=90°时,过点E'作ST⊥x轴交于S点,过点C作CT⊥ST交于T点,∴∠AE'S+∠CE'T=90°,∵∠AE'S+∠E'AS=90°,∴∠CE'T=∠E'AS,∴△ASE'∽△E'TC,∴=,∵AS=3+t,SE'=﹣t,CT=2+t,E'T=t+3,∴=,解得t=﹣1,∴E'(1,﹣1);综上所述:E'的坐标为(﹣eq\f(3,2),﹣eq\f(7,2))或(eq\f(7,2),eq\f(3,2))或(1,﹣1)或(﹣1,﹣3).4.解:(1)将点A(﹣1,0)代入抛物线y1=ax2﹣2ax+c中,∴a+2a+c=0,∴c=﹣3a,∴抛物线y1=ax2﹣2ax﹣3a.当m=2,n=﹣3时,M(2,﹣3),∴4a﹣4a﹣3a=﹣3,解得a=1;(2)证明:过点M作x轴的垂线,交直线BP于点Q,∵点P为y1=ax2﹣2ax﹣3a的最低点,∴P(a,﹣4a),令y1=ax2﹣2ax﹣3a=0,解得x=﹣1或x=3,∴B(3,0),∴直线BP的解析式为:y=2ax﹣6a,设M(m,am2﹣2am﹣3a),∴Q(m,2am﹣6a),∴QM=2am﹣6a﹣(am2﹣2am﹣3a)=﹣am2+4am﹣3a,∴S=eq\f(1,2)|xB﹣xP|•QM=﹣am2+4am﹣3a=﹣a(m﹣2)2+a,∵﹣a<0,开口向下,∴当m=2时,S的最大值为a,∵a<2,∴当1<m<3时,S=a<2.(3)解:∵当x<﹣1时,总有y1<y2,∴直线l必经过点A(﹣1,0),将点A代入直线l:y2=kx+b,∴﹣k+b=0,∵直线l:y2=kx+b由直线PB:y=2ax﹣6a向上平移t个单位长度得到,∴k=b=2a,b=﹣6a+t=2a,∴t=8a,∴y2=2ax+2a,点C(0,2a),令2ax+2a=ax2﹣2ax﹣3a,解得x=﹣1或x=5,∴E(5,12a).①当∠ECD=90°时,过点E作y轴的垂线交y轴于点F,∴△FEC∽△OCD,∴EF:OC=CF:OD,即5:2a=10a:1,∴a=eq\f(1,2)或a=﹣eq\f(1,2)(舍);∴t=8a=4≥4,符合题意;②当∠CDE=90°时,过点E作x轴的垂线于点F,∴△OCD∽△FDE,∴EF:OD=DF:OC,即12a:1=4:2a,解得a=eq\f(\r(6),6)或a=﹣eq\f(\r(6),6)(舍),∴t=8a=<=4,不符合题意;③当∠CED=90°时,显然不存在.综上,存在,且t的值为eq\f(1,2).5.解:(1)设直线AC的函数表达式为:y=kx+c,∵抛物线y=ax2+bx﹣eq\f(20,9),交y轴于点A,∴A(0,﹣eq\f(20,9)),将A(0,﹣eq\f(20,9)),C(5,0)分别代入y=kx+c,得:,解得:,∴直线AC的函数表达式为:y=eq\f(4,9)x﹣eq\f(20,9),(2)∵抛物线y=ax2+bx﹣eq\f(20,9)经过B(﹣1,0),C(5,0)两点,∴,解得:,∴抛物线的解析式为y=eq\f(4,9)x2﹣x﹣eq\f(20,9),∵y=eq\f(4,9)x2﹣eq\f(16,9)x﹣eq\f(20,9)=eq\f(4,9)(x﹣2)2﹣4,∴顶点D的坐标为(2,﹣4);(3)①如图1,∵△GHK为直角三角形,且点R,点G分别位于直线CD的两侧,∴∠GHK=90°或∠HGK=90°或∠GKH=90°,当∠GHK=90°时,∠GHD=90°,点R落在直线DC上,不符合题意,当∠HGK=90°时,∠DGH=∠HGK=90°,点R,点G位于直线CD的同侧,不符合题意,当∠GKH=90°时,点R,点G分别位于直线CD的两侧,符合题意,∴∠GKH=90°,∠DGH=∠RGH,过点H作HL⊥DG于点L,则HL=HK,∵D(2,﹣4),DG⊥x轴,∴G(2,﹣eq\f(4,3)),F(2,0),∴DG=﹣eq\f(4,3)﹣(﹣4)=eq\f(8,3),CF=5﹣2=3,DF=4,∴CD=5,∵∠DFC=∠GKH=90°,∠GDK=∠CDF,∴△GDK∽△CDF,∴==,即==,∴GK=,DK=,∵S△GKH+S△GDH=S△GDK,∴××HK+××HL=××,故答案为:eq\f(4,5);②∵△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形,∴PQ=DQ或PQ=DP,当PQ=DQ时,如图2,由旋转知:点H到PQ、DQ的距离相等,∴QH⊥DP,DH=HP,由①知HL=HK=eq\f(4,5),∵HL∥CF,∴=,即=,∴DL=,∴L的纵坐标为﹣4=﹣,即H的纵坐标为﹣,∵H为D、P的中点,∴P的纵坐标为﹣,当PQ=DP时,如图3,点P为DQ的垂直平分线与CD的交点,∵H(,﹣),∴经过点H平行MN的直线为y=﹣eq\f(4,3)x+eq\f(4,5),∵点H到直线MN的距离为eq\f(4,5),∴直线MN的解析式为y=﹣eq\f(4,3)x﹣eq\f(8,15),∵直线CD的解析式为y=eq\f(4,3)x﹣eq\f(20,3),∴P(,﹣);综上所述,点P的纵坐标为﹣或﹣.6.解:(1)∵点A(﹣1,0),C(4,0),∴AC=5,OC=4,∵AC=BC=5,∴B(4,5),把A(﹣1,0)和B(4,5)代入二次函数y=x2+bx+c中得:,解得,∴二次函数的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;(2)由函数的表达式,取值列表如下:根据表格数据,绘制函数图象如下:(3)存在,y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴设P(1,m),分三种情况:①以点B为直角顶点时,由勾股定理得:PB2+AB2=PA2,∴(4﹣1)2+(m﹣5)2+(4+1)2+52=(1+1)2+m2,解得:m=8,∴P(1,8);②以点A为直角顶点时,由勾股定理得:PA2+AB2=PB2,∴(1+1)2+m2+(4+1)2+52=(4﹣1)2+(m﹣5)2,解得:m=﹣2,∴P(1,﹣2);③以点P为直角顶点时,由勾股定理得:PB2+PA2=BA2,∴(1+1)2+m2+(4﹣1)2+(m﹣5)2=(4+1)2+52,解得:m=6或﹣1,∴P(1,6)或(1,﹣1);综上,点P的坐标为(1,8)或(1,﹣2)或(1,6)或(1,﹣1).7.解:(1)对抛物线y=﹣eq\f(2,3)x2+eq\f(4,3)x+2,当x=0时,y=2,∴C(0,2),当y=0时,﹣eq\f(2,3)x2+eq\f(4,3)x+2=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),设直线BC的解析式为:y=kx+b(k≠0),把点C(0,2),B(3,0)代入得:,解得:.∴直线BC的解析式为:y=﹣eq\f(2,3)x+2.(2)∵AD∥BC,直线BC的解析式为:y=﹣eq\f(2,3)x+2.设AD的解析式为,y=﹣eq\f(2,3)x+m,把点A(﹣1,0)代入得:解得:m=﹣eq\f(2,3),∴AD的解析式为:y=﹣eq\f(2,3)x﹣eq\f(2,3),由解得:,∴D(4,﹣eq\f(10,3)),∴直线CD的解析式为:y=﹣eq\f(4,3)x+2,当y=0时,﹣eq\f(4,3)x+2=0,解得:x=eq\f(3,2),记直线CD与x轴交于点N,则:N(eq\f(3,2),0),BN=3﹣eq\f(3,2)=1.5,过点P作PM⊥AB交BC于点M,设P(a,﹣eq\f(2,3)a2+eq\f(4,3)a+2),∴M(a,﹣eq\f(2,3)a+2),∴PM=﹣eq\f(2,3)a2+2a,∴S1=S△ABC+S△PCM+S△PBM=﹣a2+3a+4,S2=S△BNC+S△BND=4,∴S1﹣S2=﹣a2+3a+4﹣4=﹣a2+3a=﹣(a﹣eq\f(3,2))2+eq\f(9,4),∴当a=eq\f(3,2)时,S1﹣S2的最大值为eq\f(9,4),此时,点P的坐标为(eq\f(3,2),eq\f(5,2)).(3)抛物线y=﹣eq\f(2,3)x2+eq\f(4,3)x+2的对称轴为:x=1,∵抛物线向右平移后经过点O,即:抛物线向右平移1个单位,∴直线l为:x=2,(i)当等腰三角形以∠A'C'G1=90°,A'C'=C'G1时,如图,过点C'作C'H⊥l于点H,过点A'作A'Q⊥C'H于点Q,∵∠HC'G1+∠QC'A'=90°,∠QC'A'+∠QA'C'=90°,∴∠HC'G1=∠QA'C',又∵∠A'QC'=∠C'HG1=90°,A'C'=C'G1,∴△A'QC'≌△C'HG1∴QA'=C'H,HG1=QC',∵AC∥A'C',设点A'(a,﹣eq\f(2,3)a﹣eq\f(2,3)),C'(a+1,﹣eq\f(2,3)a+eq\f(4,3)),∴C'H=2﹣a,A'Q=2,HG1=C'Q=1,∴2﹣(a+1)=2,解得:a=﹣1,∴C'(0,2),H(2,2),∴G1(2,1),(ii)当等腰三角形以∠C'A'G2=90°,A'C'=A'G2时,如图,过点A'作A'F⊥l于点F,过点C'作C'E⊥A'F于点E,同(i)理可证:△C'A'E≌△A'G2F,设点A'(a,﹣eq\f(2,3)a﹣eq\f(2,3)),C'(a+1,﹣eq\f(2,3)a+eq\f(4,3)),∴G2F=A'E=1,FA'=2﹣a=2,∴a=0,∴A'(0,﹣eq\f(2,3)),∴F(2,﹣eq\f(2,3)),∴G2(2,﹣eq\f(5,3)),(iii)当等腰三角形以∠C'G3A'=90°,C'G3=A'G3时,如图,过点A'作A'Q⊥l于点Q,过点C'作C'P⊥l于点P,同(i)理可证:△C'PG3≌△G3A'Q,设点A'(a,﹣eq\f(2,3)a﹣eq\f(2,3)),C'(a+1,﹣eq\f(2,3)a+eq\f(4,3)),∴A'Q=G3P=2﹣a,C'P=QG3=1﹣a,PQ=2,∴2﹣a+1﹣a=2,解得:a=0.5,∴C'(1.5,1),G3P=2﹣0.5=1.5,∴G3(2,﹣0.5),综上所述:存在点G1(2,1),G2(2,﹣eq\f(5,3)),G3(2,﹣0.5),使得以A',C',G为顶点的等腰直角△A'C'G.8.解:(1)将点A(﹣2,0)、B(6,0)、C(0,﹣3)代入y=ax2+bx+c,得,解得,∴y=eq\f(1,4)x2﹣x﹣3;(2)如图1,过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E,过P作PF⊥x轴交直线BC于点F,∴PF∥AE,∴=,设直线BC的解析式为y=kx+d,∴,∴,∴y=eq\f(1,2)x﹣3,设P(t,eq\f(1,4)t2﹣t﹣3),则F(t,eq\f(1,2)t﹣3),∴PF=eq\f(1,2)t﹣3﹣eq\f(1,4)t2+t+3=﹣eq\f(1,4)t2+eq\f(3,2)t,∵A(﹣2,0),∴E(﹣2,﹣4),∴AE=4,∴===﹣t2+t=﹣(t﹣3)2+,∴当t=3时,有最大值,∴P(3,﹣eq\f(15,4));(3)∵P(3,﹣eq\f(15,4)),D点在l上,如图2,当∠CBD=90°时,过点B作GH⊥x轴,过点D作DG⊥y轴,DG与GH交于点G,过点C作CH⊥y轴,CH与GH交于点H,∴∠DBG+∠GDB=90°,∠DBG+∠CBH=90°,∴∠GDB=∠CBH,∴△DBG∽△BCH,∴=,即=,∴BG=6,∴D(3,6);如图3,当∠BCD=90°时,过点D作DK⊥y轴交于点K,∵∠KCD+∠OCB=90°,∠KCD+∠CDK=90°,∴∠CDK=∠OCB,∴△OBC∽△KCD,∴=,即=,∴KC=6,∴D(3,﹣9);如图4,当∠BDC=90°时,线段BC的中点T(3,﹣eq\f(3,2)),BC=3eq\r(5),设D(3,m),∵DT=eq\f(1,2)BC,∴|m+eq\f(3,2)|=eq\f(3,2)eq\r(5),∴m=eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2)或m=﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2),∴D(3,eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))或D(3,﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2));综上所述:△BCD是直角三角形时,D点坐标为(3,6)或(3,﹣9)或(3,﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))或(3,eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2)).9.解:(1)令y=x﹣3=0,x=3,∴B的坐标为(3,0),令x=0,y=0﹣3=﹣3,∴C的坐标为(0,﹣3),将B、C代入y=x2+bx+c,得:,解得:,∴抛物线的解析式为:y=x²﹣2x﹣3;(2)由(1)知,OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°,记抛物线对称轴交x轴于E,∵y=x²﹣2x﹣3=(x﹣1)²﹣4,∴抛物线对称轴为直线x=1,∴EB=2,∴顶点D的坐标为(1,﹣4),若∠CBP=15°,则分两种情况,①如图,当P在直线BC下方时,此时∠EBP=60°,∴tan∠EBP=eq\r(3),∴EP=2eq\r(3),∴DP=4﹣2eq\r(3),∴t=4﹣2eq\r(3),当P在直线BC上方时,此时∠EBP=30°,∴tan∠EBP==,∴EP=eq\f(2\r(3),3),∴DP=4﹣eq\f(2\r(3),3),∴t=4﹣eq\f(2\r(3),3),综上,t=4﹣2eq\r(3)或4﹣eq\f(2\r(3),3);②设P的坐标为(1,n),令y=x²﹣2x﹣3=0,x=3或﹣1,∴A的坐标为(﹣1,0),此时PC²=1+(n+3)²=n²+6n+10,PA²=(1+1)²+n²=4+n²,AC²=1+3²=10,当∠PCA=90°时,PC²+AC²=AP²,n²+6n+10+10=4+n²,解得:n=﹣eq\f(8,3),∴P的坐标为(1,﹣eq\f(8,3)),DP=4﹣eq\f(8,3)=eq\f(4,3),∴t=eq\f(4,3),当∠APC=90°时,AP²+PC²=AC²,4+n²+n²+6n+10=10,解得:n=﹣1或﹣2,∴P的坐标为(1,﹣1)或(1,﹣2),DP=4﹣1=3或DP=4﹣2=2,∴t=3或2,当∠PAC=90°时,PA²+AC²=CP²,n²+4+10=n²+6n+10,解得:n=eq\f(2,3),∴P的坐标为(1,eq\f(2,3)),DP=4+eq\f(2,3)=eq\f(14,3),∴t=eq\f(14,3),综上,t=eq\f(4,3)或3或2或eq\f(14,3).10.解:(1)根据题意,设A(m,0),B(3m,0),∴y=(x﹣m)(x﹣3m)=x2﹣4mx+3m2,∴3m2=12,解得:m=±2,∵m>0,∴m=2,3m=6,∴b=﹣4m=﹣8,A(2,0),B(6,0),故答案为:﹣8,(2,0),(6,0);(2)由(1)知,抛物线解析式为y=x2﹣8x+12,OB=6,令x=0,得y=12,∴C(0,12),∴OC=12,设D点运动时间为t秒,则OD=2t,①当t≤6时,点D在线段OC上,如图(1),过点E作EK∥x轴交y轴于点K,∵EK∥OB,∴==,∵BE=5DE,∴BD=DE+BE=6DE,∴==,∴OD=6DK,EK=1,∴DK=eq\f(1,3)t,∴OK=OD﹣DK=2t﹣eq\f(1,3)t=eq\f(5,3)t,∴E(1,eq\f(5,3)t),∴eq\f(5,3)t=12﹣8×1+12,∴t=3,②当t>6时,点D在线段OC的延长线上,如图(1′),过点E作EK∥OB交y轴于点K,∵BE=5DE,∴BD=BE﹣DE=4DE,∵EK∥OB,∴==,即===,∴EK=eq\f(3,2),DK=eq\f(1,2)t,∴OK=OD+DK=2t+eq\f(1,2)t=eq\f(5,2)t,
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