中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与直角三角形问题（含答案）

中考数学二轮压轴培优专题二次函数与直角三角形问题1.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝eq\f(1,2)x＋1与x轴交于点E，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；(3)M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．2.如图，抛物线y＝x2＋2x﹣8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．(1)求直线AC的函数表达式；(2)求线段DE的最大值；(3)当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．(3)如图2，若点E坐标为(2，0)，EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．4.抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c(a＜2且a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M(m，n)在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．(1)若m＝2，n＝﹣3，求a的值；(2)记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；(3)将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx＋b(k≠0)，与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣eq\f(20,9)，交y轴于点A，交x轴于B(﹣1，0)，C(5，0)两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．(1)求直线AC的函数表达式；(2)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；(3)过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR(点R，点G分别位于直线CD的两侧)，GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为．6.已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(﹣1，0)，C(4，0)，AC＝BC．(1)求抛物线的解析式；(2)请画出抛物线的图象；(3)点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求直线BC的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求P点的坐标和S1﹣S2的最大值；(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A'C'(线段A'C'始终在直线l左侧)，是否存在以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．10.如图，抛物线y＝x2＋bx＋12(b＜0)与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图(1)，D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图(2)，F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．

答案1.解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2＋2x＋3；(2)令x＝0，则y＝eq\f(1,2)x＋1＝1，∴OD＝1，如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，则∠COA＝∠PHO＝90°，∴PH∥OC，∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，又Q是OP中点，∴PQ＝OQ，∴△PFQ≌△ODQ(AAS)，∴PF＝OD＝1设P点横坐标为x，则﹣x2＋2x＋3﹣(eq\f(1,2)x＋1)＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣eq\f(1,2)，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣eq\f(1,2)时，y＝eq\f(7,4)，∴点P的坐标是(2，3)或(﹣eq\f(1,2)，eq\f(7,4))；(3)令x＝0，则y＝﹣x2＋2x＋3＝3，∴OC＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2，设M(a，eq\f(1,2)a＋1)，∴CM2＝a2＋(3﹣eq\f(1,2)a﹣1)2＝eq\f(5,4)a2﹣2a＋4，DM2＝a2＋(eq\f(1,2)a＋1﹣1)2＝eq\f(5,4)a2，①当∠CMD＝90°时，∴CD2＝CM2＋DM2，∴22＝eq\f(5,4)a2﹣2a＋4＋eq\f(5,4)a2，解得：a1＝eq\f(4,5)，a2＝0(舍去)，当a＝eq\f(4,5)时，eq\f(1,2)a＋1＝eq\f(7,5)，∴M(eq\f(4,5)，eq\f(7,5))；②当∠DCM＝90°时，∴CD2＋CM2＝DM2，∴22＋eq\f(5,4)a2﹣2a＋4＝eq\f(5,4)a2，解得：a＝4，当a＝4时，eq\f(1,2)a＋1＝3，∴M(4，3)；综上所述：点M的坐标为(eq\f(4,5)，eq\f(7,5))或(4，3)．2.解：(1)在y＝x2＋2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C(0，﹣8)，令y＝0，得x2＋2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A(﹣4，0)，B(2，0)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；(2)设D(m，m2＋2m﹣8)，则E(m，﹣2m﹣8)，∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣(m2＋2m﹣8)＝﹣m2﹣4m＝﹣(m＋2)2＋4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；(3)∵y＝x2＋2x﹣8＝(x＋1)2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F(﹣1，n)，又A(﹣4，0)，C(0，﹣8)，∴AF2＝32＋n2＝n2＋9，AC2＝42＋82＝80，CF2＝12＋(n＋8)2＝n2＋16n＋65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2＋CF2＝AC2，∴n2＋9＋n2＋16n＋65＝80，解得：n1＝﹣4﹣eq\r(19)，n2＝﹣4＋eq\r(19)，∴F(﹣1，﹣4﹣eq\r(19))或(﹣1，﹣4＋eq\r(19))；②当∠CAF＝90°时，∵AF2＋AC2＝CF2，∴n2＋9＋80＝n2＋16n＋65，解得：n＝eq\f(3,2)，∴F(﹣1，eq\f(3,2))；③当∠ACF＝90°时，∵CF2＋AC2＝AF2，∴n2＋16n＋65＋80＝n2＋9，解得：n＝﹣eq\f(17,2)，∴F(﹣1，﹣eq\f(17,2))；综上所述，点F的坐标为(﹣1，﹣4﹣eq\r(19))或(﹣1，﹣4＋eq\r(19))或(﹣1，eq\f(3,2))或(﹣1，﹣eq\f(17,2))．3.解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，∴，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；(2)过点M作HG∥y轴，交x轴于点H，过点N作NG⊥HG交于点G，∴∠AMH＋∠NMG＝90°，∵∠AMH＋∠MAH＝90°，∴∠NMG＝∠MAH，∵AM＝MN，∴△AMH≌△MNG(AAS)，∴AH＝MG，HM＝NG，设M(t，t2﹣2t﹣3)，∴HM＝﹣t2＋2t＋3，NG＝t，∴﹣t2＋2t＋3＝t，∴t＝eq\f(1,2)±eq\f(\r(13),2)，∵点M是抛物线上B，C之间，∴0＜t＜3，∴t＝eq\f(1,2)±eq\f(\r(13),2)，∴M(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(13),2)，﹣eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(13),2))，∴AH＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(\r(13),2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(13),2)，∴HG＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(13),2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(\r(13),2)＝2＋eq\r(13)，∴N(0，﹣2﹣eq\r(13))；(3)存在使△ACE'为直角三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，设△BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，∵E(2，0)，∴E'(2＋t，t)，①如图2，当∠ACE'＝90°时，过点E'作E'H⊥y轴交于点H，∴∠ACO＋∠E'CH＝90°，∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠E'CH＝∠CAO，∴△ACO∽△CE'H，∴＝，∵AO＝1，CO＝3，CH＝﹣3﹣t，E'H＝﹣2﹣t，∴＝，解得t＝﹣eq\f(7,2)，∴E'(﹣eq\f(3,2)，﹣eq\f(7,2))；②如图3，当∠CAE'＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CN⊥MN交于N点，过点E'作E'M⊥MN交于M点，∴∠MAE'＋∠NAC＝90°，∵∠MAE'＋∠ME'A＝90°，∴∠NAC＝∠ME'A，∴△AME'∽△CNA，∴＝，∵NC＝1，AN＝3，AM＝t，ME'＝3＋t，∴＝，解得t＝eq\f(3,2)，∴E'(eq\f(7,2)，eq\f(3,2))；当E'点与N重合时，△ACE'为直角三角形，∴E'(﹣1，﹣3)；③如图3，当∠AE'C＝90°时，过点E'作ST⊥x轴交于S点，过点C作CT⊥ST交于T点，∴∠AE'S＋∠CE'T＝90°，∵∠AE'S＋∠E'AS＝90°，∴∠CE'T＝∠E'AS，∴△ASE'∽△E'TC，∴＝，∵AS＝3＋t，SE'＝﹣t，CT＝2＋t，E'T＝t＋3，∴＝，解得t＝﹣1，∴E'(1，﹣1)；综上所述：E'的坐标为(﹣eq\f(3,2)，﹣eq\f(7,2))或(eq\f(7,2)，eq\f(3,2))或(1，﹣1)或(﹣1，﹣3)．4.解：(1)将点A(﹣1，0)代入抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c中，∴a＋2a＋c＝0，∴c＝﹣3a，∴抛物线y1＝ax2﹣2ax﹣3a．当m＝2，n＝﹣3时，M(2，﹣3)，∴4a﹣4a﹣3a＝﹣3，解得a＝1；(2)证明：过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，∵点P为y1＝ax2﹣2ax﹣3a的最低点，∴P(a，﹣4a)，令y1＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B(3，0)，∴直线BP的解析式为：y＝2ax﹣6a，设M(m，am2﹣2am﹣3a)，∴Q(m，2am﹣6a)，∴QM＝2am﹣6a﹣(am2﹣2am﹣3a)＝﹣am2＋4am﹣3a，∴S＝eq\f(1,2)|xB﹣xP|•QM＝﹣am2＋4am﹣3a＝﹣a(m﹣2)2＋a，∵﹣a＜0，开口向下，∴当m＝2时，S的最大值为a，∵a＜2，∴当1＜m＜3时，S＝a＜2．(3)解：∵当x＜﹣1时，总有y1＜y2，∴直线l必经过点A(﹣1，0)，将点A代入直线l：y2＝kx＋b，∴﹣k＋b＝0，∵直线l：y2＝kx＋b由直线PB：y＝2ax﹣6a向上平移t个单位长度得到，∴k＝b＝2a，b＝﹣6a＋t＝2a，∴t＝8a，∴y2＝2ax＋2a，点C(0，2a)，令2ax＋2a＝ax2﹣2ax﹣3a，解得x＝﹣1或x＝5，∴E(5，12a)．①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，∴△FEC∽△OCD，∴EF：OC＝CF：OD，即5：2a＝10a：1，∴a＝eq\f(1,2)或a＝﹣eq\f(1,2)(舍)；∴t＝8a＝4≥4，符合题意；②当∠CDE＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，∴△OCD∽△FDE，∴EF：OD＝DF：OC，即12a：1＝4：2a，解得a＝eq\f(\r(6),6)或a＝﹣eq\f(\r(6),6)(舍)，∴t＝8a＝＜＝4，不符合题意；③当∠CED＝90°时，显然不存在．综上，存在，且t的值为eq\f(1,2)．5.解：(1)设直线AC的函数表达式为：y＝kx＋c，∵抛物线y＝ax2＋bx﹣eq\f(20,9)，交y轴于点A，∴A(0，﹣eq\f(20,9))，将A(0，﹣eq\f(20,9))，C(5，0)分别代入y＝kx＋c，得：，解得：，∴直线AC的函数表达式为：y＝eq\f(4,9)x﹣eq\f(20,9)，(2)∵抛物线y＝ax2＋bx﹣eq\f(20,9)经过B(﹣1，0)，C(5，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(4,9)x2﹣x﹣eq\f(20,9)，∵y＝eq\f(4,9)x2﹣eq\f(16,9)x﹣eq\f(20,9)＝eq\f(4,9)(x﹣2)2﹣4，∴顶点D的坐标为(2，﹣4)；(3)①如图1，∵△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，∴∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，当∠GHK＝90°时，∠GHD＝90°，点R落在直线DC上，不符合题意，当∠HGK＝90°时，∠DGH＝∠HGK＝90°，点R，点G位于直线CD的同侧，不符合题意，当∠GKH＝90°时，点R，点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，∴∠GKH＝90°，∠DGH＝∠RGH，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，∵D(2，﹣4)，DG⊥x轴，∴G(2，﹣eq\f(4,3))，F(2，0)，∴DG＝﹣eq\f(4,3)﹣(﹣4)＝eq\f(8,3)，CF＝5﹣2＝3，DF＝4，∴CD＝5，∵∠DFC＝∠GKH＝90°，∠GDK＝∠CDF，∴△GDK∽△CDF，∴＝＝，即＝＝，∴GK＝，DK＝，∵S△GKH＋S△GDH＝S△GDK，∴××HK＋××HL＝××，故答案为：eq\f(4,5)；②∵△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，∴PQ＝DQ或PQ＝DP，当PQ＝DQ时，如图2，由旋转知：点H到PQ、DQ的距离相等，∴QH⊥DP，DH＝HP，由①知HL＝HK＝eq\f(4,5)，∵HL∥CF，∴＝，即＝，∴DL＝，∴L的纵坐标为﹣4＝﹣，即H的纵坐标为﹣，∵H为D、P的中点，∴P的纵坐标为﹣，当PQ＝DP时，如图3，点P为DQ的垂直平分线与CD的交点，∵H(，﹣)，∴经过点H平行MN的直线为y＝﹣eq\f(4,3)x＋eq\f(4,5)，∵点H到直线MN的距离为eq\f(4,5)，∴直线MN的解析式为y＝﹣eq\f(4,3)x﹣eq\f(8,15)，∵直线CD的解析式为y＝eq\f(4,3)x﹣eq\f(20,3)，∴P(，﹣)；综上所述，点P的纵坐标为﹣或﹣．6.解：(1)∵点A(﹣1，0)，C(4，0)，∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B(4，5)，把A(﹣1，0)和B(4，5)代入二次函数y＝x2＋bx＋c中得：，解得，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)由函数的表达式，取值列表如下：根据表格数据，绘制函数图象如下：(3)存在，y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴设P(1，m)，分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2＋AB2＝PA2，∴(4﹣1)2＋(m﹣5)2＋(4＋1)2＋52＝(1＋1)2＋m2，解得：m＝8，∴P(1，8)；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2＋AB2＝PB2，∴(1＋1)2＋m2＋(4＋1)2＋52＝(4﹣1)2＋(m﹣5)2，解得：m＝﹣2，∴P(1，﹣2)；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2＋PA2＝BA2，∴(1＋1)2＋m2＋(4﹣1)2＋(m﹣5)2＝(4＋1)2＋52，解得：m＝6或﹣1，∴P(1，6)或(1，﹣1)；综上，点P的坐标为(1，8)或(1，﹣2)或(1，6)或(1，﹣1)．7.解：(1)对抛物线y＝﹣eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2，当x＝0时，y＝2，∴C(0，2)，当y＝0时，﹣eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2=0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，设直线BC的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，把点C(0，2)，B(3，0)代入得：，解得：．∴直线BC的解析式为：y＝﹣eq\f(2,3)x＋2．(2)∵AD∥BC，直线BC的解析式为：y＝﹣eq\f(2,3)x＋2．设AD的解析式为，y＝﹣eq\f(2,3)x＋m，把点A(﹣1，0)代入得：解得：m＝﹣eq\f(2,3)，∴AD的解析式为：y＝﹣eq\f(2,3)x﹣eq\f(2,3)，由解得：，∴D(4，﹣eq\f(10,3))，∴直线CD的解析式为：y＝﹣eq\f(4,3)x＋2，当y＝0时，﹣eq\f(4,3)x＋2=0，解得：x＝eq\f(3,2)，记直线CD与x轴交于点N，则：N(eq\f(3,2),0)，BN＝3﹣eq\f(3,2)＝1.5，过点P作PM⊥AB交BC于点M，设P(a，﹣eq\f(2,3)a2＋eq\f(4,3)a＋2)，∴M(a，﹣eq\f(2,3)a＋2)，∴PM＝﹣eq\f(2,3)a2＋2a，∴S1＝S△ABC＋S△PCM＋S△PBM＝﹣a2＋3a＋4，S2＝S△BNC＋S△BND＝4，∴S1﹣S2＝﹣a2＋3a＋4﹣4＝﹣a2＋3a＝﹣(a﹣eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)，∴当a＝eq\f(3,2)时，S1﹣S2的最大值为eq\f(9,4)，此时，点P的坐标为(eq\f(3,2),eq\f(5,2))．(3)抛物线y=﹣eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2的对称轴为：x＝1，∵抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，∴直线l为：x＝2，(i)当等腰三角形以∠A'C'G1＝90°，A'C'＝C'G1时，如图，过点C'作C'H⊥l于点H，过点A'作A'Q⊥C'H于点Q，∵∠HC'G1＋∠QC'A'＝90°，∠QC'A'＋∠QA'C'＝90°，∴∠HC'G1＝∠QA'C'，又∵∠A'QC'＝∠C'HG1＝90°，A'C'＝C'G1，∴△A'QC'≌△C'HG1∴QA'＝C'H，HG1＝QC'，∵AC∥A'C'，设点A'(a，﹣eq\f(2,3)a﹣eq\f(2,3))，C'(a＋1，﹣eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3))，∴C'H＝2﹣a，A'Q＝2，HG1＝C'Q＝1，∴2﹣(a＋1)＝2，解得：a＝﹣1，∴C'(0，2)，H(2，2)，∴G1(2，1)，(ii)当等腰三角形以∠C'A'G2＝90°，A'C'＝A'G2时，如图，过点A'作A'F⊥l于点F，过点C'作C'E⊥A'F于点E，同(i)理可证：△C'A'E≌△A'G2F，设点A'(a，﹣eq\f(2,3)a﹣eq\f(2,3))，C'(a＋1，﹣eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3))，∴G2F＝A'E＝1，FA'＝2﹣a＝2，∴a＝0，∴A'(0，﹣eq\f(2,3))，∴F(2，﹣eq\f(2,3))，∴G2(2，﹣eq\f(5,3))，(iii)当等腰三角形以∠C'G3A'＝90°，C'G3＝A'G3时，如图，过点A'作A'Q⊥l于点Q，过点C'作C'P⊥l于点P，同(i)理可证：△C'PG3≌△G3A'Q，设点A'(a，﹣eq\f(2,3)a﹣eq\f(2,3))，C'(a＋1，﹣eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3))，∴A'Q＝G3P＝2﹣a，C'P＝QG3＝1﹣a，PQ＝2，∴2﹣a＋1﹣a＝2，解得：a＝0.5，∴C'(1.5，1)，G3P＝2﹣0.5＝1.5，∴G3(2，﹣0.5)，综上所述：存在点G1(2，1)，G2(2，﹣eq\f(5,3))，G3(2，﹣0.5)，使得以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G．8.解：(1)将点A(﹣2，0)、B(6，0)、C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，得，解得，∴y＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3；(2)如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx＋d，∴，∴，∴y＝eq\f(1,2)x﹣3，设P(t，eq\f(1,4)t2﹣t﹣3)，则F(t，eq\f(1,2)t﹣3)，∴PF＝eq\f(1,2)t﹣3﹣eq\f(1,4)t2＋t＋3＝﹣eq\f(1,4)t2＋eq\f(3,2)t，∵A(﹣2，0)，∴E(﹣2，﹣4)，∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2＋t＝﹣(t﹣3)2＋，∴当t＝3时，有最大值，∴P(3，﹣eq\f(15,4))；(3)∵P(3，﹣eq\f(15,4))，D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG＋∠GDB＝90°，∠DBG＋∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D(3，6)；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD＋∠OCB＝90°，∠KCD＋∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D(3，﹣9)；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T(3，﹣eq\f(3,2))，BC＝3eq\r(5)，设D(3，m)，∵DT＝eq\f(1,2)BC，∴|m＋eq\f(3,2)|＝eq\f(3,2)eq\r(5)，∴m＝eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2)或m＝﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2)，∴D(3，eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))或D(3，﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为(3，6)或(3，﹣9)或(3，﹣eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))或(3，eq\f(3,2)eq\r(5)﹣eq\f(3,2))．9.解：(1)令y＝x﹣3＝0，x＝3，∴B的坐标为(3，0)，令x＝0，y＝0﹣3＝﹣3，∴C的坐标为(0，﹣3)，将B、C代入y＝x2＋bx＋c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x²﹣2x﹣3；(2)由(1)知，OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，记抛物线对称轴交x轴于E，∵y＝x²﹣2x﹣3＝(x﹣1)²﹣4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，∴EB＝2，∴顶点D的坐标为(1，﹣4)，若∠CBP＝15°，则分两种情况，①如图，当P在直线BC下方时，此时∠EBP＝60°，∴tan∠EBP＝eq\r(3)，∴EP＝2eq\r(3)，∴DP＝4﹣2eq\r(3)，∴t＝4﹣2eq\r(3)，当P在直线BC上方时，此时∠EBP＝30°，∴tan∠EBP＝＝，∴EP＝eq\f(2\r(3),3)，∴DP＝4﹣eq\f(2\r(3),3)，∴t＝4﹣eq\f(2\r(3),3)，综上，t＝4﹣2eq\r(3)或4﹣eq\f(2\r(3),3)；②设P的坐标为(1，n)，令y＝x²﹣2x﹣3＝0，x＝3或﹣1，∴A的坐标为(﹣1，0)，此时PC²＝1＋(n＋3)²＝n²＋6n＋10，PA²＝(1＋1)²＋n²＝4＋n²，AC²＝1＋3²＝10，当∠PCA＝90°时，PC²＋AC²＝AP²，n²＋6n＋10＋10＝4＋n²，解得：n＝﹣eq\f(8,3)，∴P的坐标为(1，﹣eq\f(8,3))，DP＝4﹣eq\f(8,3)＝eq\f(4,3)，∴t＝eq\f(4,3)，当∠APC＝90°时，AP²＋PC²＝AC²，4＋n²＋n²＋6n＋10＝10，解得：n＝﹣1或﹣2，∴P的坐标为(1，﹣1)或(1，﹣2)，DP＝4﹣1＝3或DP＝4﹣2＝2，∴t＝3或2，当∠PAC＝90°时，PA²＋AC²＝CP²，n²＋4＋10＝n²＋6n＋10，解得：n＝eq\f(2,3)，∴P的坐标为(1，eq\f(2,3))，DP＝4＋eq\f(2,3)＝eq\f(14,3)，∴t＝eq\f(14,3)，综上，t＝eq\f(4,3)或3或2或eq\f(14,3)．10.解：(1)根据题意，设A(m，0)，B(3m，0)，∴y＝(x﹣m)(x﹣3m)＝x2﹣4mx＋3m2，∴3m2＝12，解得：m＝±2，∵m＞0，∴m＝2，3m＝6，∴b＝﹣4m＝﹣8，A(2，0)，B(6，0)，故答案为：﹣8，(2，0)，(6，0)；(2)由(1)知，抛物线解析式为y＝x2﹣8x＋12，OB＝6，令x＝0，得y＝12，∴C(0，12)，∴OC＝12，设D点运动时间为t秒，则OD＝2t，①当t≤6时，点D在线段OC上，如图(1)，过点E作EK∥x轴交y轴于点K，∵EK∥OB，∴＝＝，∵BE＝5DE，∴BD＝DE＋BE＝6DE，∴＝＝，∴OD＝6DK，EK＝1，∴DK＝eq\f(1,3)t，∴OK＝OD﹣DK＝2t﹣eq\f(1,3)t＝eq\f(5,3)t，∴E(1，eq\f(5,3)t)，∴eq\f(5,3)t＝12﹣8×1＋12，∴t＝3，②当t＞6时，点D在线段OC的延长线上，如图(1′)，过点E作EK∥OB交y轴于点K，∵BE＝5DE，∴BD＝BE﹣DE＝4DE，∵EK∥OB，∴＝＝，即＝＝＝，∴EK＝eq\f(3,2)，DK＝eq\f(1,2)t，∴OK＝OD＋DK＝2t＋eq\f(1,2)t＝eq\f(5,2)t，