第-章-Z变换优秀文档

第6章Z变换6.1z变换基础6.2传输函数6.3逆z变换6.4传输函数与稳定性返回6.2.1传输函数和差分函数6.2.2传输函数很脉冲响应6.2.3计算滤波器输出6.2.4传输函数的级联和并联6.2传输函数返回6.3逆z变换6.3.1标准式6.3.2简单的逆z变换6.3.3长除法求逆z变换6.3.4部分分式展开法求逆z变换返回6.4传输函数与稳定性6.4.1极点与零点6.4.2稳定性6.4.3一阶系统6.4.4二阶系统返回专业词汇ztransformz变换regionofconvergence收敛域inverseztransform逆z变换transferfunction传输函数partialfractionexpansion部分分式展开cover-upmethod覆盖法zero零点pole极点marginallystable临界稳定unstable不稳定6.1z变换基础序列x[n]的z变换定义为X(z)=∑x[n]z-nx[n]的z变换处于z域，z域是含有复数的频域z实部为横轴，虚部为纵轴的复平面上的复变量，把序列x[n]的z变换记为Z{x[n]}=X(z)由X(z)计算x[n]进行z的逆变换x[n]=Z-1{X(z)}Z变换n=0∞称为单边Z变换，其特点是可考虑起始条件，更易收敛，实际中应用较多。n=-∞∞称为双边Z

变换，由-∞起无法考虑起始条件，在理论上的意义更大。

∞n=0Z变换的收敛域Z变换是Z-1的幂级数，只有当此级数收敛，Z变换才有意义，而且同一个Z变换是式，收敛域不同，可以代表不同序列的Z变换函数。∴Z变换收敛域是定义Z变换函数极其重要的因素。使此级数收敛的所有Z值的集合称为Z变换的收敛域

∑|x[n]Z-n|<∞

∞n=0

∞n=0比值法判定：若有一正项级数∑|an|，其后项与前项比值极限为lim=R，R<1时级数收敛。

n→∞

an+1an例6.1计算序列x[n]=δ[n]的z变换X(z)。解：信号δ[n]只在n=0处有非零值，因此：Z{x[n]}=X(z)=∑

δ[n]z-n=δ[0]=1此z变换对所有的z值都有定义，故其收敛为整个z平面。

∞n=0例6.2计算序列x[n]=δ[n-1]的z变换。解：信号只在n=1一个地方有非零值，因此：Z{x[n]}=X(z)=∑

δ[n-1]z-n=δ[0]z-1=z-1

除了z=0外其余的z都有意义，因此其收敛域为z≠0的整个平面。

∞n=0例6.3计算x[n]=u[n]的X(z)。解：X(z)=∑

x[n]z-n=∑

u[n]z-n=∑

z-n

=1+z-1+z-2+z-3+z-4+z-5+…这是首项a=1及乘数r=z-1的a+ar+ar2+…几何级数。如附录A.16所示，无穷几何级数的和为：S∞=若|r|<1，因此：X(z)==

∞n=0

∞n=0

∞n=0

a1-r

11–z-1

zz-1例6.4信号x[n]如图6.1所示，计算信号的z变换。解：信号可以写成：x[n]=2δ[n]+δ[n-1]+0.5δ[n-2]它只有三个非零值，因此z变换的项数相同，其z变换为：X(z)=∑

x[n]z-n=x[0]+x[1]z-1+x[2]z-2=2+z-1+0.5z-2z≠0时，此式有定义。

∞n=0例6.5计算序列x[n]=(-0.5)nu[n]的z变换。解：因为在n≥时，u[n]=1，所以：X(z)=∑

x[n]z-n=∑

(-0.5)nz-n=∑

(-0.5z-1)n

=1–0.5z-1+0.25z-2–0.125z-3+…如例6.3所示，这是无穷几何级数，其中a=1，r=-0.5z-1

，因此其和为：X(z)==此z变换的收敛域为|-0.5z-1|<1或|z|>0.5。

∞n=0

∞n=0

∞n=0

11+0.5z-1

zz+0.5

信号x[n]x(z)收敛域

δ[n]1zu[n]|z|>1ßnu[n]|z|>|ß|nu[n]|z|>1cos(nΩ)u[n]|z|>1sin(nΩ)u[n]|z|>1ßncos(nΩ)u[n]|z|>|ß|ßnsin(nΩ)u[n]|z|>|ß|

zz–1

zz–ß

z(z–1)2

z2-zcosΩz2–2zcosΩ+1

z2-zsinΩz2–2zcosΩ+1

z2-ßzcosΩz2–2ßzcosΩ+ß2

ßzsinΩz2–2ßzcosΩ+ß2

例：6.6求信号x[n]=2u[n-2]的z变换。解：因为Z{u[n]}=，

Z{u[n-2]}=z-2=故有：X(z)=

zz-1

zz-1

zz(z–1)

2z(z–1)返回6.2传输函数6.2.1传输函数和差分方程。若计算差分方程z变换,则对方程中的每一项都要进行z变换。若Z{y[n]}=Y(z)Z{y[n-2]}=Z-2Y(z)Z{x[n]}=X(z)Z{x[n-2]}=Z-2X(z)对差分方程每项z变换后，Z域中的输入输出比为

H(z)==

H(z)称为传输函数。输出输入

Y(z)X(z)对差分方程一般式：a0y[n]+a1y[n-1]+…+aNy[n-N]=b0x[n]+b1x[n-1]+…+bMx[n–M]逐项进行变换，得：a0Y(z)+a1z-1

Y(z)+…+aNz-NY(z)=b0X(z)+b

z-1

X(z)+…+

bMz-M

X(z)

H(z)===

Y(z)X(z)

b0+b1z-1

+…+bMz-Ma0+a1z-1+…+aNz-N∑

bkz-k∑

akz-k

Mk=0

Nk=0关于解此方程，得到传输函数：

Y(z)X(z)例：6.8求下列差分方程所描述系统的传输函数：2y[n]+y[n-1]+0.9yn{n-2]=x[n-1]+x[n-4]解：逐项进行z变换得：2Y(z)+z-1

z-2Y(z)=z-1X(z)+z-4

X(z)Y(z)是滤波器输出y[n]的z变换，X(z)是滤波器输入x[n]的z变换，左右两边分别提取公因式Y(z)和X(z)有：(2+z-1z-2)Y(z)=(z-1

+z-4)X(z)关于解此方程，得到系统传输函数为：H(z)===

Y(z)X(z)输出输入

Y(z)X(z)

z-1+z-42+z-1+0.9z-2例6.9由下列差分方程计算系统传输函数：y[n]–0.2y[n-1]=x[n]+0.8x[n-1]解：通过观察可得：H(z)=1+0.8z-11–0.2z-1

例6.10计算下列差分方程的系统传输函数：y[n]=0.75X[n]–0.3x[n-2]–0.01x[n-3]解：这个非递归差分方程所对应的传输函数为：z-2-3

例6.11求下列系统传输函数的差分方程：

H(z)=z-11z-1解：传输函数是Y(z)和X(z)之比：=叉乘得到：Y(z)(1–0.5z-1)=X(z)(1+0.5z-1)或Y(z)–0.5z-1Y(z)=X(z)+0.5z-1X(z)逐项进行逆z变换得到差分方程：y[n]–0.5y[n-1]=x[n]+0.5x[n-1]Y(z)X(z)1+0.5z-11–0.5z-1例6.12求下列系统传输函数的差分方程：H(z)=z(2z-1)(4z–1)解：将分母展开得：H(z)==Y(z)zX(z)8z-1–6z+1叉乘得：Y(z)(8z2–6z+1)=X(z)(z)逆z变换得：8y[n+2]–6y[n+1]+y[n]=x[n+1]此差分方程看起来不熟悉，最新的输出为y[n+2]，而不是y[n]；然而差分方程简单表示了相对不同时刻的数据联系。只要每一项都进行相同的移位，差分方程不变。全部向后移两位，差分方程为：8y[n]–6y[n-1]+y[n-2]=x[n-1]或y[n]–0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=0.125x[n-1]返回6.2.2传输函数和脉冲响应图6.4差分方程，脉冲响应，传输函数描述系统时域的卷积等效频域点积；时域的点积等效频域卷积对卷积z变换，得脉冲响应与传输函数的关系y[n]=∑h[k]x[n-k]=h[n]*x[n]

Y(z)=H(z)X(z)=X(z)H(z)∞n=0H(z)=x[n]的z变换处于z域，z域是含有复数的频域y[n]+ay[n-1]=x[n]224z-2–0.u[n]|z|>175X[n]–0.1若计算差分方程z变换,则对方程中的每一项都要进行z变换。靠近圆心，输出稳定越快。z-2ßnsin(nΩ)u[n]|z|>|ß|向后移两位，差分方程为：z-1z-2z-3-…H(z)是脉冲响应的z变换，也就是滤波器的传输函数是其脉冲响应的z变换。Z{h(n)}=H(z)=∑

h(n)z-n

脉冲响应h(n)是传输函数的逆z变换

h(n)=z-1{H(z)}

∞K=-∞例6.13数字滤波器的脉冲响应为：h[n]=δ[n]+0.4δ[n-1]+0.2δ[n-2]+0.05δ[n-3]求此滤波器的传输函数。

解：滤波器的传输函数就是脉冲响应的z变换：z-1-2-3

注意，此传输函数得到差分方程：y[n]=x[n]+0.4x[n-1]+0.2x[n-2]+0.05x[n-3]返回6.2.3计算滤波器输出用传输函数H(z)=

Y(z)X(z)Y(z)=H(z)X(z)y[n]=Z-1{Y(z)}返回6.2.4传输函数的级联和并联例6.14求图6.6所示级联所对应的差分方程图6.6解：例4.7已经分析了相同的级联系统，当时得出的各级差分方程为：y1[n]=x111[n-2]y2[n]=x222[n-2]y3[n]=x33[n-1]并已将这些差分方程合并整理，得出了级联滤波器的差分方程。此例中，用传输函数可以更容易地获得相同的结果。三个滤波器的传输函数分别为：H1z-1-2H2z-1-2H3z-1则总的传输函数是它们的积：H(z)=H1(z)H2(z)H3(z)z-1z-2z-3z-5

例6.15求图6.7所示滤波器转置直接2型实现的传输函数。解：图中所示为两个二阶滤波器的级联组合。用4.6.2.2节的方法，两个滤波器的差分方程为：y1111[n]11[n-2]y2122[n]22[n-2]将每节的传输函数相乘，可以很容易得出此滤波器的差分方程：H(z)=H1(z)H2(z)z-1z-21.2+0.5z-1z-2-1-2-1-2z-1z-2z-3z-4-1-2-3-4==返回分子的次数小于分母的次数。2y[n]+y[n-1]+0.产生传输函数分母的一个因子，则传输函数为：逐项进行逆z变换得到差分方程：z2–0.因为在n≥时，u[n]=1，所以：z-2x[n]=Z-1{X(z)}=(0.0.每一项乘以z-2，传输函数变为：转换为严格真有理函数。叉乘得到：Y(z)(1–0.0.8y[n]–6y[n-1]+y[n-2]=x[n-1]每个零点产生传输函数分子的一个因子，每个极点6.3逆z变换6.3.1标准式z变换中所有z的指数均为正，分子分母最高次幂项的系数为1。例6.17将下面的传输函数变化为标准式：H(z)=

z-14–2.5z-1+z-2解：变换为标准式的第一步是将所有延迟项的指数化为正。如果最负指数项为z-N，则传输函数每一项乘以z-N，从而使所有指数为正。此例中，最大的延迟是分母中的z-2项，每一项乘以z-2，传输函数变为：H(z)=

z4z2–2.5z+1变换的第二步是确保分母最高次幂的系统为1，为此，传输函数分子分母同除以4得到标准式：

H(z)=0.25zz2真有理函数(properrationalfunction)：分子的次数小于或等于分母的次数。严格真有理函数(strictlyrationalfunction)：分子的次数小于分母的次数。假有理函数(improperrationalfunction)：分子次数高于分母的次数。真有理数或假有理数严格真有理数长除法例6.18将真有理函数传输函数：H(z)=转换为严格真有理函数。

z2z2解：用长除方法，得：z2–0.5z+0.91z2+0.1z+0.3z2–0.5z+0.90.6z+0.6则：H(z)=1+

0.6z+0.6z2–0.5z+0.9传输函数的分式部分是严格真有理函数。返回6.3.2简单的逆z变换所列，因此收敛域不予特殊说明。为了确定信号，查表求逆z变换时，要从表中找出其z变换。例6.19求出z变换X(z)=对应的信号x[n]。

zz–0.8解：由表6.1得到逆z变换：x[n]=Z-1{X(z)}=(0.8)nu[n]例6.20求出函数：X(z)=的逆z变换。

z2–0.9zz2–1.8z+1解：表6.1中，与X(z)相似的z变换形式为：X(z)=

z2–zcosΩz2–2zcosΩ+1其中cos，则Ω=cos-1，逆z变换为x[n]=cos(nΩ)u[n]=cos(0.451n)u[n]。例6.21系统的传输函数为：a.求系统的差分方程b.求系统的脉冲响应H(z)=解：a.系统的差分方程是y[n]+0.25y[n-1]=x[n-2]。b.系统的脉冲响应是传输函数的逆z变换，将传输函数整理分解出表6.1中所列的形式：

z-2

1z-1

z-2

1+0.25z-1H(z)==z-2=z-2

11+0.25z-1

zz+0.25例6.22数字滤波器的输入为x[n]=u[n]，其输出为y[n]=(0.89)nu[n]。a.计算滤波器的传输函数b.计算滤波器的脉冲响应解：a.由表6.1得X(z)=和Y(z)=，因此

zz-1

zz–0.89H(z)===

Y(z)X(z)

zz–0.89

z-1z

z-1z–0.89b.由所给信息求脉冲响应的惟一简便方法是求传输函数的逆z变换。首先将H(z)通过长除换为严格真有理函数的形式，然后整理分解出表6.1中的变换：H(z)==1–=1–z-1

z-1z–0.89

0.11Z–0.890.11zz–0.89由表可知，1的逆z变换为δ[n]，的逆z变换X(0.89)nu[n]，因子z-1引起一位延迟，因此脉冲响应为：0.11zz–0.89h[n]=Z-1{H(z)}=δ[n]–X(0.89)nu[n-1]例6.23计算z变换X(z)=的时域信号x[n]。

5z2解：此z变换是标准式，一种方法是分解X(z)，并分离出表6.1中所列的变换：

X(z)==z-2

5z(z+0.2)

5zz+0.25z/(z+0.2)的逆z变换为5x(-0.2)nu[n]，经过因子z-2所引起的两位延迟后，逆z变换为：

x[n]=5x(-0.2)n-2u[n-2]返回6.3.3长除法求逆z变换另一种计算逆z变换的方法是用传输函数的分子除以分母，然后对每一项进行逆变换。它的优点是比较直接，适用于任意有理函数；缺点是一般很难得到像前面例子所得到的那种闭合解，下面的例子讲述了这个方法。例6.24用长除法求H(z)=

z2–0.1zz2+0.4z+0.8解：用长除法得：1–0.5z-1–0.6z-2+0.64z-3–…z2+0.4z+0.8z2+0.1zz2+0.4z+0.8-0.5z–0.8-0.5z–0.2–0.4z-1

-0.6+0.4z-1

-0.6–0.24z-1–0.48z-2

0.64z-1+0.48z-2

0.64z-1+0.256z-2+0.512z-3

0.224z-2–0.512z-3

…所以：z-1z-2z-3-…对每一项进行逆z变换得脉冲响应：h[n]=δ[n]–0.5δ[n-1]–0.6δ[n-2]+0.64δ[n-3]-…返回6.3.4部分分式展开法求逆z变换(严格真有理数)将z的多项式分解成表6.1中的项X(z)==

zz2+0.75z+0.25

z(z+0.25)(z–1)=+Az+0.25Bz–1覆盖法来计算A，BA==0.2-0.25-0.25-1B==0.811+0.25X(z)=+=z-1+x[n]=0.2x(-0.25)n-1u[n-1]+0.8u[n-1]0.2z+0.250.8z–10.2zz+0.250.8zz–1返回

6.4传输函数与稳定性6.4.1极点与零点

极点：使传输函数分母为零时z的取值。（对数字滤波器特性影响最大）

零点：使传输函数分子为零时z的取值。（调整极点所引起的滤波器特性）例6.30求传输函数H(z)=z-14–9z-1+2z-2的数字滤波器的极点和零点。解：化成标准式计算H(z)=4z4z2-9z+2通常标准式传输函数的分子分母进行因式分解H(z)=K(z–z1)(z–z2)…(z–zM)(z–p1)(z–p1)(z–p3)…(z–pN)zj称为滤波器零点，在z复平面上用○表示；pj称为滤波器极点，在z复平面上用×表示；K称为滤波器增益。Z平面上零极点的位置可以给出滤波器特性的迹象。例6.32数字滤波器的零点为z=-0.2和z=0.4，极点为z=-0.7±j0.6，增益为0.5。a.画出滤波器的极–零点图b.求滤波器的传输函数解：a.极零点如图6.13所示。b.每个零点产生传输函数分子的一个因子，每个极点产生传输函数分母的一个因子，则传输函数为：H(z)=K(z–z1)(z–z2)…(z–zM)(z–p1)(z–p1)…(z–pN)0.5(z–(-0.2))(z–0.4)(z–(-0.7+j0.6)(z–(-0.7–j0.6))=化简得传输函数：H(z)=0.5（z2–0.2z–0.08)z2+1.4z+0.850.5–0.1z-1–0.04z-21+1.4z-1+0.85z-2

=返回

6.4.2稳定性对于滤波器的设计，稳定性是关键之一。稳定滤波器的输出，最终是稳定到某一规律上，不稳定滤波器的输出，输出会无限增长，并且即使微小改变输入量，输出也可以发生极大的变化。判断稳定性：滤波器所以极点都在Z平面单位圆里，则其是稳定的，|Z|<1若单位圆上有极点，临界的，若单位圆外有极点，不稳定的。传输函数H(z)都有收敛域，起收敛禹必须包含单位圆，系统才稳定。等同于极点都位于单位圆内。对于H(z)=，|z|>1不稳定。zz-1对于H(z)=，|β|<|z|，只要|β|<1稳定。zz-β返回6.4.3一阶系统一阶系统是指传输函数仅有一个极点。简单一阶系统传输函数H(z)==

11+az-1

zz+a极点z=-a,∣a∣<1图6.17(a)画出零极点图脉冲响应h[n]=(-a)nu[n]

∣a∣>1，h[n]无限↑；∣a∣<1，h[n]趋向0。图6.17(b)脉冲响应差分方程y[n]+ay[n-1]=x[n]若输入为阶跃信号，则输出阶跃响应趋于一个常数yss。n→∞y[n]≈y[n-1]x[n]=1∴yss+ayss=1

∴yss=

11+a分母，然后对每一项进行逆变换。4z2-9z+2逆z变换。字滤波器特性影响最大）1条件，更易收敛，实际中应用较多。z-14传输函数与稳定性11求下列系统传输函数的差分方程：1regionofconvergence收敛域Z平面上零极点的位置可以给出滤波器特性的迹象。64δ[n-3]-…6求信号x[n]=2u[n-2]的z变换。4z零点z=0，极点z=0.例6.35滤波器的传输函数为：H(z)=

2-1求出其极零点，并判断稳定性求出滤波器的脉冲响应求出滤波器的阶跃响应解：a)H(z)=

2zz+0.4零点z=0，极点z=0.4，∣z∣<1稳定。b)h[n]=2(-0.4)nu[n]c)Y(z)=H(z)X(z)==2z8z-1=2z2+=z+-5/75/7z-1-10/7z10/7zz-1∴s[n]=y[u]=-(-0.4)n+1u[n+1]+u[n+1]107107此滤波器的差分方程为y[n]+0.4y[n-1]=2x[n]输入为阶跃，输出趋于常数yssss=2∴yss=1.428(如图6.20)返回6.4.4二阶系统